книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

10(проецирующий конус) с вершиной в цент­ ре S. Поэтому такой метод проецирования называют также коническим. Коническая про­ екция представляет собой линию пересе­ чения проецирующей конической поверхно­ сти с плоскостью проекций. Эта линия из­ меняет свой вид и размеры в зависимости от направления плоскости проекций и поло­ жения ее относительно центра и оригинала.

Направлением плоскости называют направ­ ление прямой линии, перпендикулярной к этой плоскости. Действительно, кривая ли­ ния асЬ пересечения конической поверхности плоскостью Q хотя и сохранит свой вид, но изменится в размерах по закону подобия, если плоскость Q проекций приближать па­ раллельно ей самой к оригиналу или удалять от него. Эта линия с изменением направле­ ния плоскости проекций изменяется по виду и по размерам .

Центральной проекцией кривой линии в общем случае является кривая.

Если геометрический образ представить прямой линией, то все проецирующие лучи точек этой прямой расположатся в одной плоскости. Такую плоскость называют прое­

цирующей.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Поэтому проекцией прямой линии AB в общем случае является прямая линия ab (рис. 2).

Если точка M прямой AB принадлежит

Р и с . 2

плоскости проекций Q, то точка M и ее про­ екция m тождественны (совпадают), т. е.

М=т.

Если прямая СЕ проходит через центр

Если проецирующий луч некоторой точ­ ки D параллелен плоскости проекций, то он пересекается с плоскостью проекций в беско­ нечно удаленной точке dx, . Эту точку назы­ вают несобственной. Каждая прямая про­ странства имеет единственную принадлежа­ щ у ю ей несобственную точку. Все параллель­ ные между собой прямые пересекаются в од­ ной несобственной точке.

Пучок (связка) прямых пространства мо ­ жет иметь собственный и несобственный центры. Связку, с несобственным центром образуют все прямые, параллельные какойлибо прямой пространства. Если данная прямая DK лежит в плоскости центра S, параллельной плоскости проекций Q, она проецируется на плоскость Q в виде несоб­ ственной прямой .

Две параллельные плоскости пересека­ ются по несобственной прямой линии. Пучок плоскостей пространства может иметь соб­ ственную и несобственную оси. Пучок с не­ собственной осью образуют йсе параллель­ ные плоскости. Геометрическое место не­ собственных точек пространства принято считать несобственной плоскостью.

Собственные и несобственные элементы пространства взаимосвязаны обычными свойствами принадлежности. Метрические понятия на несобственные элементы не рас­ пространяются. Дополнение пространства несобственными элементами дает возмож ­ ность более полно, без всяких ограничений, осуществлять проецирование.

Центральное проецирование обладает большой наглядностью. Его используют в построениях перспективы различных соору­ жений. Перспективные изображения, полу­ ченные при помощи центрального проециро­ вания, очень близки зрительным представ­ лениям о предмете. Это объясняется устрой­ ством зрительного органа, работающего по принципу центрального проецирования. Оп -

является простым в графических построе­ ниях и обеспечивает высокую точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости. Он является основным при составлении технических чертежей.

Ортогональное проецирование представ­ ляет собой частный случай параллельного проецирования, когда направление проеци­ рования совпадает с направлением плоскос­ ти проекций.

Здесь все точки геометрического образа проецируют параллельными лучами на плос­ кость, перпендикулярную к ним. Однако такого изображения недостаточно для пред­ ставления самого предмета. Н о при орто­ гональном проецировании неопределенность изображения какого-либо предмета на одной плоскости можно восполнить путем изобра­ жения его на другой плоскости, перпенди­ кулярной к первой. Такие два изображения (комплекс двух ортогональных проекций)

На рис. 11 показан в двух проекциях ортогональный чертеж технической детали, выполненной из угольника. Здесь по двум проекциям можно определить все размеры детали и представить ее форму. Такие изоб­ ражения в черчении называются видами: вид спереди (на фронтальной плоскости про­ екций) и вид сверху (на горизонтальной плос­ кости проекций).

2. Аксонометрические проекции

Аксонометрические изображения* часто используют для пояснения сложных черте­ жей машин и механизмов и их отдельных деталей; пространственных кинематических схем; схем водоснабжения, отопления и вен­ тиляции; в проектах зданий, монтажных работ и т. д.

При аксонометрическом проецировании предмет связывают с пространственной сис­ темой трех взаимно перпендикулярных коор­ динатных осей. Предмет и оси координат проецируют на одну плоскость — плоскость аксонометрических проекций.

Равные масштабные отрезки, взятые на осях координат, при проецировании иска­ жаются. Между этими отрезками и их про­ екциями, лежащими на аксонометрических осях, устанавливаются некоторые соотно-

18шения (аксонометрические оси являются про­ екциями осей координат).

Зная соотношения (коэффициенты иска­ жения) для координатных осей, можно по­ строить проекции отрезков, расположенных на этих осях, или на осях, параллельных им (умножая их на соответствующие коэффи­ циенты искажения), и получить аксономет­ рическую проекцию предмета.

с координатными осями на плоскость, и косоугольные — полученные путем косо­ угольного проецирования.

В зависимости от отношений показате­ лей искажения координат аксонометриче­ ские проекции делят на три группы: изомет­ рические, диметрические и триметрические. П о соотношению общих размеров проеци­ руемого предмета и его изображения аксо­ нометрические проекции делят на точные и увеличенные.

На рис. 12 показано изображение техни­ ческой детали в аксонометрии.

Р и с . 12

3. Проекции с числовыми отметками

Метод ортогональных проекций является весьма распространенным, но его приме­ нение не всегда целесообразно, особенно при составлении чертежей пространствен­ ных форм, у которых одно измерение (в вер­ тикальном направлении) очень м а л о по срав­

а построение одной из проекций (фронталь­ ной) довольно сложно.

Более рационально здесь применять ме­ тод проекций с числовыми отметками, ос­ нованный на том, что все точки геометриче­ ского образа в пространстве ортогонально проецируют на горизонтальную плоскость проекций — плоскость нулевого уровня. Уда­ ление точек от горизонтальной плоскости проекций на чертеже указывают числовыми отметками, расположенными возле проек­ ций точек внизу справа. Если точка располо­ жена выше плоскости проекций, то ее отмет ­ ка положительна, если ниже — отрицатель­ на и при отметке ставят знак ( — ) минус.

Составленный таким образом чертеж гео­ метрического образа позволяет брать его измерения в направлении, параллельном плоскости проекций, непосредственно из чертежа, а измерения в вертикальном на­ правлении определять путем подсчета, поль­ зуясь отметками .

На рис. 13 дано построение чертежа точек в проекциях с числовыми отметками . Здесь H — плоскость проекций (плоскость нуле­ вого уровня), А, В и С — заданные точки (вершины треугольника ABC).

Отрезки Аа' ВЬ и Сс предполагаются перпендикулярными к плоскости проекций Н.

Согласно числовым отметкам, постав­ ленным около проекций точек, точка А расположена над горизонтальной плоскос­ тью проекций H на расстоянии 2 единиц принятого масштаба измерения, точка В — на расстоянии 6,5 единиц, точка С — ниже плоскости проекций на расстоянии 4,5 еди­ ниц. Заданный геометрический образ (тре-

Для удобства выполнения чертежей и решения метрических задач плоскость про­ екций лучше выбирать таким образом, чтобы отметки всех изображаемых точек были по­ ложительными. В этом случае плоскость проекций опускают ниже точки, имеющей наибольшую отрицательную отметку. Не­ удобными являются также отметки, выра­ женные крупными числами, например, трехили четырехзначными,— в случае, когда сре­ ди сравнительно спокойного рельефа имеет­ ся значительно возвышение.

Поднимая или опуская плоскость проек­ ций (плоскость нулевых отметок), ей можно придать такое положение, при котором или все точки рассматриваемого предмета будут иметь отметки одного знака, или отметки их будут уменьшены на одну и ту же вели­ чину.

При изображении поверхности Земли за плоскость проекций удобно принять уровень моря*. Все точки с положительными отмет­ ками будут тогда надводными, а с отрица­ тельными — подводными. Иногда для уп­ рощения чертежа знаки ( + ) и ( — ) перед отметкой не ставят, а применяют различный цвет точек, лежащих выше и ниже плоскости проекций.

Изображения геометрических форм в про­ екциях с числовыми отметками не обладают наглядностью. Однако эти изображения яв­ ляются обратимыми . Пользуясь изображе­ нием, можно восстановить в пространстве точное взаиморасположение всех точек гео-

* В С о в е т с к о м С о ю з е з а н у л е в у ю п л о с к о с т ь п р и н я т а п о в е р х н о с т ь Б а л т и й с к о г о м о р я . За э т а л о н « н а ч а л о в ы с о т ы » у н а с в с т р а н е п р и н я т н у л ь ^ К р о н ш т а д т с к о г о ф у т ш т о к а . О т н е г о в ы ч и с л я ю т с я все в ы с о т ы .

Р и с . 14

метрического образа, определить по имею ­ щимся проекциям форму и размеры самого оригинала.

Метод проекций с числовыми отметками широко применяют при изображении топо­ графических поверхностей в горизонталях, при проектировании гидротехнических и до ­ рожных сооружений.

4. Векториальные (федоровские) проекции

Федоровские* проекции представляют собой изображение геометрических образов на одной плоскости проекций. Удаление то-

* Н а з в а н ы по и м е н и а к а д е м и к а Е. С. Ф е д о ­ р о в а (1853 — 1919) — о с н о в о п о л о ж н и к а т е о р е т и ч е ­ с к о й к р и с т а л л о г р а ф и и .