книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

кущую плоскость задают двумя параллель­

§ 34. В з а и м н о е п е р е с е ч е н и е м н о г о г р а н н и к о в

Линию пересечения двух многогранни­ ков можно построить двумя способами.

П е р в ы й с п о с о б позволяет опреде­ лить линию пересечения многогранников по точкам пересечения ребер одного многогран­ ника с гранями другого и наоборот. Это из­ вестная задача на определение точки пере­ сечения прямой с плоскостью.

как линию пересечения граней многогран­ ников. Это — задача на построение линии пересечения двух плоскостей.

Преимущество отдается тому из Спосо­ бов, который в зависимости от условия за­ дания дает наипростейшее и наиболее точное решение. Эти два способа построения линии пересечения двух многогранников часто ком­ бинируют. Линиями пересечения двух много­ гранников в общем случае являются про­

чения могут быть один, два и более простран­ ственных многоугольников.

Линиями пересечения двух выпуклых многогранников является один или два мно­ гоугольника.

Если один многогранник частично пере­ секается, как бы неполностью врезается в поверхность другого, то имеем одну замкну­ тую ломаную линию их взаимного пересе­ чения. Такое взаимное пересечение выпук­ лых многогранников называют неполным проницанием или врезкой.

Если один многогранник полностью пере­ секается вторым многогранником, получаем две линии их пересечения — линию входа одного многогранника в другой и линию выхода. Такое взаимное пересечение геомет­ рических тел называют полным проницанием.

Линии пересечения — многоугольники — представляют собой совокупности отрезков прямых, по которым пересекаются грани двух многогранников.

Вершины многоугольников являются точками пересечения ребер одного много­ гранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Стороны многоугольни­ ков строятся как отрезки прямых, соединяю­ щих только те пары вершин, которые при­ надлежат одной и той же грани первого мно­ гогранника, а также и одной грани второго многогранника.

При определении сторон многоугольника строго соблюдается последовательность со­ единения его вершин. Иногда в трудных слу­ чаях используются даже диаграммы или таблицы. Проекции линии пересечения двух многогранников располагаются внутри кон­ тура наложения одноименных проекций мно­ гогранников.

Если проекция какого-либо ребра одного из многогранников не пересекает общий кон­ тур — контур проекций, то ребро не пере­ секает другой многогранник. Однако, если проекция ребра одного из многогранников пересекает даже и две проекции контура на­ ложения, это еще не означает, что это ребро пересекает второй многогранник.

Г л а в а V I . М н о г о г р а н н и к и

f

\ \ -

'8'

1

Рассмотрим пример неполного проница­ ния многогранников, когда каждый из мно­ гогранников неполностью пересекается дру­ гим многогранником. Здесь имеется одна замкнутая ломаная линия их взаимного пе­ ресечения. Воспользуемся теми же много­ гранниками, но в ином их взаимном рас­ положении (рис. 170).

На рисунке показано, что не все ребра боковой поверхности пирамиды пересекают призму. Стороны многоугольника пересе­

Р и с . 170

ки 52, 5'2'; 24, 2'4' и 46, 4'6' сторон этого треугольника, принадлежащие граням приз­ мы, являются сторонами искомого много­ угольника пересечения.

Затем определяем линию пересечения второй вертикальной грани призмы с тетра­ эдром. Горизонтально-проецирующая плос­ кость RH этой грани пересекает тетраэдр по четырехугольнику. Отрезки 15, Г5'; 17,1'7' и 68, 6 8' принадлежат соответственно каж­ дый двум граням многогранников — гра­ ням призмы и граням пирамиды. Они явля­ ются сторонами линии пересечения много­ гранников.

Проецирующая плоскость Тн третьей вертикальной грани призмы пересекается с тетраэдром по треугольнику. Отрезки 38, 3'8' и 37, 3'7' сторон этого треугольника также представляют стороны пространст­ венного многоугольника пересечения задан­

ки 52, 5'2'; 15, 1'5'\ 68, 6'8' и 46, 4'6' видимы во фронтальной проекции. Каждый из них принадлежит двум видимым граням много­ гранников. Отрезки 24, 2'4' ; 17, Г 7'; 38, 3'8'

и 37, 3'7' невидимы во фронтальной проек­ ции. Покажем их условно штриховыми ли­ ниями. Теперь легко определить и видимость участвующих в пересечении ребер много­ гранников — видимость двух ребер тетра­ эдра, пересекающих призму, а также види­ мость двух ребер призмы, пересекающих грани тетраэдра. Выделяя видимые грани, чертежу можно придать большую нагляд­ ность.

Покажем схемы построения линий пере­ сечения пирамид и призм, основания кото­ рых лежат в проецирующих плоскостях. Пусть даны пересекающиеся между собой пирамиды с вершинами S и Si. Основания пирамид лежат в одной плоскости Q. Вспо­ могательные секущие плоскости, которые проводят через ребра одной пирамиды при определении точек пересечения их с другой пирамидой, выбирают проходящими через вершины обеих пирамид (рис. 171).

Проведем через вершины S и Si пирамид прямую и построим ее след К на плоскос­ ти С.Эта прямая и ребро пирамиды, которое пересечет вторую пирамиду, определяют вспомогательную секущую плоскость. Пусть такая плоскость проходит через ребро Si F пирамиды с вершиной Si.

След секущей плоскости пересекает ос­ нование пирамиды с вершиной S в двух точ­ ках, а сама секущая плоскость пересекает грани этой пирамиды по двум прямым . Прямые пересекают ребро SiF в двух точ­ ках, которые принадлежат линии пересече­ ния многогранников.

Выбирая секущую плоскость, проходя­ щую через ребро SiE второй пирамиды, определяем точки пересечения ребра Si Е с первой пирамидой.

Секущая плоскость ребра S{D второй пирамиды дает возможность определить две точки его пересечения с первой пирамидой — точки, общие для заданных многогранников.