книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

ками abc, a'b'c' и dek, d'е'к'. Определить ви­ димость сторон треугольников (рис. 113).

Р е ш е н и е . Способом замены плоскос­ тей проекций строим дополнительный чер­ теж треугольников так, чтобы один из тре­ угольников, например abc, a'b'c', являлся бы проецирующим. Направление горизонтали al, а'Г указывает направление плоскости проекций. Определяем новые проекции а\Ьхс{ и d\'e{k{ треугольников, причем проекция a\'bi'c\ представляется в виде пря­ мой линии. Это будет след плоскости тре­

угольника на перпендикулярной к нему плос­ кости проекций. Плоскости двух треуголь­ ников пересекаются по прямой линии. Одна из проекций этой линии принадлежит слеДУ QVl плоскости треугольника abc, a'b'c'. Основные проекции ху, х'у' линии пересече­ ния треугольников определяются построе­ ниями в обратном порядке, т. е. восстанов­ лением плоскости. Видимость сторон тре­ угольников относительно плоскостей про­ екций H и V определяем по направлению стрелок методом конкурирующих точек.

1. Вращение вокруг проецирующих прямых линий

Для одного и того же геометрического образа способом замены плоскостей проек­ ций можно построить множество чертежей,

6*

выбирая для каждого из них соответствую­ щую систему плоскостей проекций. Способ вращения вокруг проецирующих прямых ли­ ний дает возможность строить такое же множество чертежей в одной системе плос­ костей проекций. При этом плоскости про-

екций остаются неизменными. Рассматрива­ емый предмет путем вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций, приводится в новое положение. В этом новом положении строят его ортогональные про­ екции, т. е. строят чертеж предмета.

Геометрически оба способа равноценны, но они выполняются на чертеже различными способами. Способ вращения применяется не только для преобразования проекций. Он широко используется в технике при рас­ смотрении и исследовании различных вра­

является исследование траекторий точек вра­ щающихся элементов конструкций.

Вращение точки вокруг оси рассмотрим на ортогональном чертеже, когда ось враще­ ния перпендикулярна к плоскости проекций. Если ось занимает произвольное положе­ ние относительно плоскостей проекций, за­ дача значительно усложняется.

Пусть точка аа' (рис. 114) вращается вокруг горизонтально-проецирующей пря­

движения точки аа' горизонтальная и перпен­ дикулярна к оси вращения.

Центром вращения точки аа' является точка оо' пересечения плоскости Sv движения осью вращения. Радиус вращения точки аа' определяется отрезком ао, а'о', равным рас­ стоянию от этой точки до оси.

Радиус вращения — горизонтальная пря­ мая линия — проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость про­ екций. Зная натуральную величину радиуса вращения точки аа', можно построить ее смещенные проекции аіа-t', а2а2'. Горизон­ тальные проекции а-і и а2 точки аа' переме­ щаются по дуге окружности, а фронтальные

в том же направлении на угол Ь2.

б*

Р и с . 115

84вращения является точка оо', радиусом вра­ щения — ао, а'о .

Плоскость Sy пересекает данную плос­ кость bed, b'e'd' по горизонтали 12, Г2'. Дугу окружности точки аа' пересекает гори­ зонталь 12, 1'2' данной плоскости в двух точках aiüi и а2а{. Эти точки определякл искомые положения вращающейся вокруг оси точки аа'.

Вращение какой-либо фигуры вокруг про­ ецирующих прямых сводится к вращению точек этой фигуры.

На рис. 116 методом вращения определе­ на натуральная величина треугольника abc, а'Ъ'с', принадлежащего горизонтально-прое­ цирующей плоскости NH • Здесь ось враще­ ния — горизонтально-проецирующая пря­ мая, проходящая через вершину аа' тре­ угольника.

Треугольник вращением вокруг оси на угол ß доводим до положения, параллельно­ го фронтальной плоскости проекций V.

Все вершины треугольника перемещаем по дугам окружностей, которыми определя­ ются горизонтальные плоскости движения этих точек. След Nw может быть смещенным следом плоскости NH . За точку наблюдения принята точка сс'. Следом плоскости дви­ жения этой точки является Scv; центром вра­ щения является точка оо'; радиус вращения ос, о'с'. Натуральная величина радиуса вра­ щения представляется горизонтальной его проекцией ос.

Вращением вокруг оси определяем сме­ щенные проекции СІ и С\ точки сс'. Анало­ гично определяем и смещенные проекции Ъ\ и Ы вершины ЬЪ' данного треугольника. Треугольник abc, а'Ь'с' в смещенном поло­ жении представляется проекциями ab\c\ и a'bi'ci; фронтальная проекция a' bi'ci' опре­ деляет его натуральную величину. Наметим в смещенном положении треугольника точку кік\'. Чтобы определить основные (началь­ ные) проекции этой точки, плоскость тре­ угольника необходимо привести в исходное его положение. Намечаем след Хдуплоскости перемещения точки. Фронтальная проекция к' точки кк' находится на этом следе плос­ кости. Горизонтальная проекция точки пе-

Р и с. 116

ремещается по дуге окружности вокруг цент­ ра на угол ß до совмещения со следом NH плоскости треугольника. Имея горизонталь­ ную проекцию к, определяем недостающую фронтальную проекцию к' точки кк'.

Покажем прием перевода произвольно расположенной плоскости в горизонтальноили фронтально-проецирующую плоскость. Вращая отсек произвольно расположенной плоскости вокруг проецирующей прямой, можно заметить, что плоскость данного от­ сека может быть и перпендикулярна к плос­ кости проекций.

Известно, что две плоскости взаимно пер­ пендикулярны, если прямая линия одной плоскости перпендикулярна к другой плос­ кости. Учитывая это, можно определить одно из положений вращающейся плоскости, когда она перпендикулярна к плоскости проекций. Выбирая, например, в плоскости отсека горизонталь и вращая отсек вокруг

е'1 Ъ

Мѵ

е*а

Р и с . 117

Чтобы перевести произвольно располо­ женную плоскость в горизонтально-проеци­ рующую плоскость, за ось вращения следует принять прямую, перпендикулярную к фрон­ тальной плоскости проекций V.

На рис. 117 показан пример перевода способом вращения произвольно располо­ женной плоскости abc, a'b'c' во фронтальнопроецирующую плоскость. За ось вращения принята прямая ае, а'е', перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций Н. Ось проходит через вершину аа' треуголь­ ника вес, a'b'c'. Намечена горизонталь al, а'Г данной плоскости. Угол поворота плоскости определяется углом <5 между начальным и конечным положениями горизонтали.

86углом а наклона следа Мѵ плоскости к на­ правлению оси проекций.

2. Плоскопараллельные перемещения

Плоскопараллельное перемещение мож ­ но рассматривать как вращение вокруг невыявленных проецирующих прямых. Здесь все точки геометрического образа переме­ щаются во взаимно параллельных плос­ костях.

0

Р и с .

ремещаются по прямым, параллельным на­ правлению оси проекций.

Пользуясь этой теоремой, можно при­ менить известный способ вращения, не зада­ ваясь изображением оси вращения и не уста­ навливая величины радиусов вращения то­ чек геометрического образа.

ная проекция горизонтали совпала с направ­ лением проецирования. В этом случае гори-

118

зонталь перпендикулярна фронтальной плос­ кости проекций V, а треугольник представ­ ляется во фронтально-проецирующей плос­ кости.

Фронтальной проекцией треугольника в новом положении является прямая а\'Ъ\С\ . Затем перемещаем треугольник в положение, параллельное плоскости проекций Н, т. е. перемещаем фронтальную проекцию a\b^C\ в положение агЪгСг', параллельное направ­ лению оси проекций. Это соответствует то­ му, что в пространстве треугольник парал­ лелен горизонтальной плоскости проекций Н. Проекция 02^2^2 представляет собой нату­ ральную величину данного треугольника.

Горизонтальную проекцию aibyCi тре­ угольника можно получить и поворотом на некоторый угол вокруг центра. Этот центр (точка о) получается на пересечении перпен­ дикуляров, восставленных из середин отрез­ ков ааи bbi и сс\.

Фронтальную проекцию агЪг'сг (отре­ зок прямой) можно получить поворотом на некоторый угол вокруг центра о\ (на чер­ теже не показано). При этом углы поворота проекций вершин треугольника равны меж­ ду собой.

Проводя через точку о горизонтальнопроецирующую прямую, а через точку о{— фронтально-проецирующую прямую и при­ нимая их за оси вращения, можно получить конечное перемещение плоской фигуры, ког­ да она будет параллельна плоскости проек­ ций. Н а чертеже показаны построения основ­ ных проекций к и к' точки кк' плоскости тре­ угольника по заданным ее проекциям к2кк{.

Плоскопараллельное перемещение имеет перед вращением некоторое преимущество: оно позволяет более свободно располагать проекции геометрических форм, исключать оси вращения и вспомогательные дуги; од­ нако чертеж занимает большую площадь.

3. Вращение вокруг прямых, параллельных плоскостям проекций

Натуральную величину плоского геомет­ рического образа можно определить враще­ нием вокруг оси, параллельной плоскости

При этом все точки геометрического образа вращаются вокруг оси по окружностям в

проекций, радиусы вращения его точек па­ раллельны этой плоскости, т. е. проециру­ ются на плоскость проекций в натуральную величину.

Намечаем ось вращения — горизонталь al, а'Г. Вершины ЬЪ' и сс' треугольника пе­

Р и с. 119

88костью SBH- Радиус вращения определяется отрезком ob, o'V— линией наибольшего на­ клона плоскости к горизонтальной плоскос­ ти проекций.

Натуральная величина радиуса враще­ ния определена способом построения прямо­ угольного треугольника.

От центра оо' вращения точки ЪѴ по на­ правлению следа плоскости ее движения от­ кладываем натуральную величину радиуса вращения. Отмечаем горизонтальную про­ екцию Ьі точки bb', смещенной до плоскости уровня. Точка аа' находится на оси враще­ ния. Она не изменяет своего положения при вращении треугольника. Смещенную проек­ цию ci точки сс' определяем аналогичными построениями. Однако можно исходить и из условия, что точка Ci принадлежит прямой tu 1 и следу плоскости SQH движения этой точ­ ки.

Смещенная горизонтальная проекция abiCi определяет на чертеже натуральную величину треугольника abc, а'Ь'с'.

Р и с . 120

Пользуясь указанными построениями, но в обратном порядке, определяем основные проекции к и к' точки кк', произвольно помеченной в смещенном положении тре­ угольника.

Пример. Построить равносторонний тре­ угольник, если отрезок ак, а'к' является ли­ нией наибольшего наклона плоскости к го­ ризонтальной плоскости проекций и высо­ той треугольника (рис. 120).

Р е ш е н и е . Отрезок ак, а'к', как линия наибольшего ската плоскости, составляет прямой угол с горизонталью плоскости. Проводим горизонталь через точку кк'. Вра­ щением вокруг горизонтали определяем ис­ тинную величину данного отрезка.

Из точки аоао проводим две прямые под углом 60° к горизонтали. Они пересекают горизонталь в точках bb' и сс' и являются сторонами равностороннего треугольника. Строим основные проекции ас, а'с' и ab, а'Ь' сторон искомого равностороннего треуголь­

костью можно определить как дополнитель­ ный до 90° острого угла между прямой и на­ правлением плоскости. Через точку ff про­

определяем величину угла при вершине ff' между прямыми ef e'f и fk,fk'. Угол ô, дополнительный до 90° острого угла eofok, определяет угол наклона прямой ef e'f к

тями определяется острым углом между направлениями этих плоскостей. Через про­ извольно выбранную точку tt' проводим прямые, перпендикулярные к данным плос­ костям. Они определяют направления этих плоскостей. Вращением вокруг горизонтали 12, Г2' определяем истинную величину угла <5 при вершине tt' между прямыми .