книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

[Элемент ст;- является полиномом степени / от элементов а,-, опре-

деляемым из соотношения 1 + У, аг =

Д о к а з а т е л ь с т в о , Очевидно, существует отображение описанного выше факторкольца в кольцо /f*(Gn, r; А). Доказа­ тельство того, что это отображение является изоморфизмом, про­ ведем индукцией по п. Если п = 1, то Gj. г — Р (Кг+1), и, следо­ вательно, кольцо //* (Gi, г; А) порождается элементом а — cri

Допустим, что изоморфизм уже доказан для всех Gn, г с п <С s. Рассмотрим многообразие Gs,/. Точка в P (yf) является одномер­ ным подпространством а в s-мерной плоскости р. Ортогональным дополнением к а в р является (s— 1)-мерная плоскость а-Ц т. е. точка многообразия Gs_i, ,+1. Таким образом, построено отображе­

в точности одномерные подпространства, ортогональные к плоско­ сти v. Таким образом, пространство Р (уf) можно отождествить

с пространством Р (уі+І), получив диаграмму

пространство расслоения над Gs_ll/+1, получаем, что кольцо Н*(Р(уі);А) порождается характеристическими классами рас­ слоений I, I и т], которые связаны только соотношениями, нало­ женными размерностями расслоений |, I и т) и тем, что их сумма тривиальна. Рассматривая Р( yf) опять как пространство рас­ слоения над Gs, t, получаем, что кольцо H*(Gs, t; Л) порождается характеристическими классами расслоения yf, которые связаны только соотношениями, наложенными размерностью расслое­

ния yf. Это завершает шаг индукции, я

Используя Вп = Ііш Gn, т, В — lim Вп и обратный предел колец

когомологий (именно эти объекты связаны с характеристическим it числами), мы получаем

П р е д л о ж е н и е. а) II* (Вп\ Л) является кольцом формаль­ ных степенных рядов над II* (pt; А), порожденным универсальны­ ми характеристическими классами а,-, 1 ^ і ^ п.

Ь) II* (В] А) является кольцом формальных степенных рядов над H* (pt; _4), порожденным, универсальными характеристически­ ми классами <л, 1

Сумма Уитии векторных расслоений индуцируется отображе­ нием Вп X В т Вп+т или, в пределе, В X В В. Используя формулу суммы Уитни для характеристических классов, получаем

является свободным H* (pt; Н)-модулем. Доказательство можно найти в книге Коннера и Флойда [3], стр. 205. Кроме того, необхо­ димо отметить, что II* (В X В; А) является пополненным

тензорным произведением Н* (В; А)®н* (pt; л)Н* (В‘, -И). Часто бывает удобно использовать другие характеристические

классы, образованные из с*. Для любого множества со = (гь . . .

можно единственным образом представить в виде полинома с цеі лыми коэффициентами от элементарных симметрических функций

ципу расщепления, характеристический класс щ можно рассмат­ ривать как і-ю элементарную симметрическую функцию от «-мер­ ных классов ai (lj) (lj — линейные расслоения), то S® (а) можно рассматривать как симметрическую функцию S® от этих классов.

Полезность этих классов объясняется следующим предложе­ нием:

П р е д л о ж е н и е. В алгебре Хопфа Н* (В\ А) имеет место

формула ASa(o) = У S 10'(а) и S 0г (а). где сумма берется

0)'|jC0"=M

митивны относительно коумножения А. Двойственное кольцо

физмов, принимающих ненулевые значения только на конечном числе

М О Н О М О в tfij ... О і Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если набор переменных {z;} предста­ вить в виде объединения двух наборов переменных {и£} и {щ},

(z) = S S a. (u).Sa» (V) .Если расслоения £ и г) расщепляются Cù'Uw"=ü>

в сумму линейных расслоений lt и mh, то расслоение £ ® т] расщеп­ ляется в сумму двух наборов линейных расслоений, и поэтому

чение диагонального гомоморфизма на характеристическом классе S a (о). Если Хі, как и выше, — элемент, двойственный к S (£) (а), то по формуле для диагонального гомоморфизма получаем, что

[Очевидно, что кольцо Нотд^рц ..() (Н* (В\ А),Н* (pt; Л)) можно отождествить с прямым пределом колец Ношя*(Рц л) (H * (б>, s; Л), H* (pt; Л)). Ясно также, что гомоморфизмы, определяемые характеристическими числами многообразий, принадлежат к это­ му множеству гомоморфизмов.]

З а м е ч а н и е . Существует другая конструкция, часто исполь­ зуемая для вычисления кольца H* (GT,S\ А) в том случае, когда

.1 — «хорошая» теория когомологий (т. е. теория, в которой можно вычислить когомологии расслоений на сферы). Рассмот­

используя которую можно отождествить пространства расслоений

Е о (Ys) и Е о (YS+Î)- Ограничение расслоения n*y's на Е 0 (yrs) рас­ щепляется в сумму линейного расслоения, определяемого сечением л-*- (X, х) над Е о, и ортогонального дополнения к этому сечению,

которое можно отождествить с расслоением л'* (уі+і)- Считая s произвольно большим, получаем диаграмму

■Отображение я является гомотопической эквивалентностью, обрат­ ной к которой будет нулевое сечение; отображение л' является слабой гомотопической эквивалентностью, так как «бесконечно­ мерная» сфера стягиваема по себе.

Тогда имеет место точная последовательность

Так как гомоморфизм а соответствует отображению, при котором расслоение у’ индуцирует расслоение y r ~1 ® 1, то а является эпи­ морфизмом. Далее, гомоморфизм ß можно отождествить с гомомор­ физмом, индуцированным нулевым сечением. Используя теперь тот факт, что ߣ7 = ог (уг), получаем, что кольцо Н* (Туг; А ) изоморфно идеалу в Н* (В г; А), порожденному элементом аг.

Соотношения между полями

Пусть К и К' — пара, взятая из совокупности полей 31, С и тела

образующих 1, і, у, /с), так что отображение срг: К ->■ К , определен­ ное соотношением xi - t — ср; (t)-Xi, является автоморфизмом поля К (ер? = 1).

Пусть V есть /г-мерное векторное пространство над полем К', а следовательно, также и векторное пространство над полем К размерности пг. Сопоставление одномерному //-подпространству р пространства V одномерного ^'-подпространства К'р, содержаще­ го его, определяет отображение л: KP (F)-»- К'Р (У). Если g — некоторое одномерное //'-подпространство пространства V, то л -1 (g) состоит из всех одномерных //-подпространств b, лежащих

Таким образом, пространство KP (У) можно отождествить с про­ странством KP (X'). Кроме того, очевидно, что if-линейное рас­ слоение I (X') совпадает с каноническим расслоением X над KP (У).

и полулинейным иад полем К относительно автоморфизма cpÉ поля К. Б частности, отображение Ѳ,- переводит одномерное К -под­ пространство в одномерное if-подпространство и, таким образом,

= о; (я*?і/) является t-й элементарной симметрической функцией от классов ai (Ѳ*А,) = 0*Gi {X).

Случай I. К = R. Тогда К является центральным подполем в поле if', поэтому все автоморфизмы ср; являются просто тожде­ ственными отображениями и я*Ѵ = гХ. В частности, л*аг (X') — = осу, все классы G; более низких размерностей равны нулю, так как /• = 2 или 4, а все элементы А -когомологий имеют поря­ док 2. Так как (ау-)п=ауп=0, то кольцо Н* (К'Р (У); И) содержит

1, . . ., а'у1, поэтому И* (К'Р (У); А) является свободным H* (pt; *Т)-модулем от степеней класса or (X').

Отображение я: KP (ifr<n+1>) -у К'Р (К,п+1) определяет ото­

Таким образом, Н* (К'Р (У); А) имеет правильные когомоло­ гии, и определенный в этой теории і-й К '-характеристический класс

ОіК сводится к ir-му характеристическому классу ап.

Случай II. К = С, К' = [Н. В этом случае действие автомор­ физма фі на коэффициенты при xt = j является комплексным сопряжением. При отображении Ѳі: KP (F) ->- KP (F) расслоение

X индуцирует комплексно сопряженное расслоение X; теперь зада­ ча — вычислить класс 0* (аѵ).

Так как отображение 0j естественно относительно вложений

то CP (F) совпадает с двумерной сферой 52 и отображение 0j имеет степень —1, поэтому aj = —1. О коэффициентах при более высоких степенях х ничего определенного нельзя сказать, если нет допол­ нительных ограничений на теорию когомологий А , так как, в част­ ности, они зависят от выбора класса аѵ. (Далее будет видно, что уже для комплексной Х-теории вид этого ряда достаточно произ­ вольный^).)

ных в случае I гомоморфизмах класс ( — l)2ni Ç Н іп (Sin; А) пере­

правильные когомологии, и определенный в этой теории і-й харак­ теристический класс о^ сводится к характеристическому классу

Существуют два интересных случая, в которых а , — 0 для і > > 1 . Тривиально это условие выполняется, когда Hj (pt; А) = 0 для всех j < 0. Другой случай, в котором выполняется это усло­

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть ( , ) обозначает обычное Х-скалярное произведение на векторном пространстве Кп+1,

причем Re ( , ) (его вещественная часть) задает обычное R-скаляр- ное произведение. Можно рассматривать многообразие KP (п)

группы (S’1-1 совпадает с пространством Е (т) расслоения т, сле­

поле К коммутативно, то это отождествление пар совместимо с дей­

ствием группы S*-1 на я*т, поэтому т является .ff-векторным рас­ слоением.

с* {I), задаваемую парой: одномерное подпространство, проходя­ щее через точку х, и точка sx в образе этого подпространства при

отождествить с подрасслоением расслоения (п + 1) £, определяе­ мым как послойное ортогональное дополнение к множеству всех пар (u, su), которое образует тривиальное одномерное расслоение. Следовательно, {п + 1) Н= т © І.в

Итак, нормальное расслоение многообразия KP (п), заданное как «обратное» касательное расслоение, допускает структуру ста­ бильного ^-векторного расслоения и тем самым определяет {В, /)- структуру на многообразии KP {п). Так как И-когомологии пространства В = lim Вп известны и класс ориентации U уже построен, то можно вычислить характеристические числа многооб­ разия KP {п).

Пусть KP (га) а £ г+кп — вложение с нормальным расслое­ нием V , имеющим структуру /і-векторного расслоения, и пусть [KP (га)] 6 Н кп (KP (га); H.) — фундаментальный класс г о м о л о г и й многообразия KP (/г), определенный ориентацией U пространства Тома Тѵ.

\

Sm А s r

в которой отображения после надстроек заданы развернутым опре­ делением упомянутых выше классов когомологий. После надстрой­ ки диаграмма является гомотопически коммутативной. Следова­ тельно, отображение, представляющее класс ап [KP (га)] (верхняя линия), дает тот же класс когомологий, что и отображение (— J)'1 (нижняя линия), ffî

П р е д л о ж е н и е. Касательные характеристические числа многообразия KP (га) задаются формулой