книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

ri дХ X 1 при помощи отображения к". Используя отображение

отображения g~rg' . Следовательно, а (х , х') не зависит от выбора отображения g.

Используя указанный выше гомоморфизм а, предположим, что

состоящая только из начальных объектов, и пусть F — вложение. Тогда гомоморфизм ß является эпиморфизмом и однозначно опре­ деляет гомоморфизм а. Полугруппа относительных кобордизмов совпадает в этом случае с полугруппой кобордизмов категории ÎT.

ГЛАВА II

МНОГООБРАЗИЯ СО СТРУКТУРОЙ.

ТЕОРЕМА ПОНТРЯГИНА - ТОМА

Стандартные теории кобордизмов основаны на многообразиях с дополнительной структурой в касательном или нормальном расслоении. В этой главе мы следуем в основном работе Лашофа [1].

Расслоение уг является универсальным 7-мерным векторным рас­ слоением.

О п р е д е л е н и е . Пусть /„: Вп ВОп — некоторое рас­ слоение и £ — некоторое ?г-мерное векторное расслоение над про­

индуцированного касательным расслоением к Rn+r, по подрасслое-

Прим, перев.

нию т (М) cz і*т (R1l+r). Задав в пространстве т (R n+r) = Rn+r X X Rn+r риманову метрику, определяемую обычным скалярным произведением в евклидовом пространстве, мы получаем, что пространство N нормального расслоения может быть отождествле­

может быть отождествлен с подпространством пространства Rn+r X

два вложения іь г2 многообразия М п в Rn+r регулярно гомотопны и каждые две такие регулярные гомотопии гомотопны в классе

гомотопными в классе гомотопий, оставляющих неподвижными конечные точки. Таким образом, существует вполне опре­ деленная эквивалентность двух нормальных расслоений. Приме­ няя теперь теорему о накрывающей гомотопии для расслоения /г: RT ВОг, легко получить требуемое взаимно однозначное соот­

называется класс эквивалентности последовательностей (В Т, /г)- структур на нормальных расслоениях {|г} многообразия М"; две такие последовательности называются эквивалентными, если

Рассмотрим многообразие Ww и подмногообразие М"1, лежащее в W, с тривиальным нормальным расслоением. Вложим М в В т+Г, где г—большое число, и продолжим, используя тривиализацию нормального расслоения М а W, это вложение до такого вложе­ ния окрестности многообразия М в W в пространство Rw+r = _ п т+г X Rw~m, что эта окрестность пересекается с R m+r вдоль М ортогонально. Тогда вложение окрестности можно продолжить до вложения многообразия W в Rw+r, причем нормальные плоско­ сти вложения М в R m+r в этом случае совпадают с ограничением на М нормальных плоскостей вложения W в Rw+r.

Если v: W ВТ— поднятие нормального отображения W -*■

-*■ ВОГ, то отображение ѵ|дг является поднятием нормального отображения многообразия М. Таким образом, (В, /)-структура на многообразии W индуцирует вполне определенную (В, /)- структуру на многообразии М.

З а м е ч а н и я . 1. Индуцированная (В, /)-структура зависит только от класса эквивалентности тривиализаций, а не от конкрет­ ного выбора тривиализации.

2. Если /: М W — изоморфизм многообразий, то нормаль­ ное расслоение отображения / является тривиальным, так как оно нульмерно. Если і: М W — вложение границы, то существуют две тривиализации в зависимости от выбора внутренней или внеш­ ней нормали. Если j: М W — вложение на прямое слагаемое, то нормальное расслоение опять нульмерно и поэтому тривиально.

О п р е д е л е н и е . Категорией кобордизма (В, /)-многообра­ зий называется категория, объектами которой являются компакт­ ные гладкие многообразия с (В, /)-структурой и морфизмами в ко­ торой являются такие гладкие вложения с тривиальными нормаль­ ными расслоениями, которые переводят границы в границы и инду­ цируют (В, /)-структуры, совпадающие с данными (В , ^-структура­ ми на подмногообразиях.

Функтор д переводит (В, ^-многообразие W в многообразие dW с {В, /)-структурой, индуцированной тривиализацией, определен­

ной внутренней нормалью, а морфизм i: W j —> \Ѵг переводит в мор­ физм і |а : dW{ dW2. Естественное преобразование і опреде­ ляется вложением границы с тривиализацией, определенной внут­ ренней нормалью.

Полугруппа кобордизмов этой категории будет обозначаться через Q (В, /). Подполугруппу, образованную классами эквива­ лентности ?г-мерных замкнутых многообразий, будем обозначать через Qn (В , /). Ясно, что группа Q (В, /) является прямой сум­ мой групп Qn (В, /).

Нормальное отображение для многообразия М X I представ­ ляет собой композицию проекции на М ~ М X 0 н нормального отображения для М. Следовательно, поднятие нормального ото­ бражения для М определяет (В, /)-структуру на М X I, которая индуцирует на подмногообразии М X 0 исходную структуру на М. Выбор внутренней нормали вдоль М X 1 определяет индуциро­

Рассматривая ВОг как пространство r-мерпых плоскостей, каждая из которых содержится в некотором конечномерном под­ пространстве R* пространства R со, и взяв обычное скалярное про­ изведение на подпространстве пространства R °°, состоящем из век­ торов с конечным числом ненулевых координат, мы получаем риманову метрику на универсальном расслоении уг.

Если £ —векторное г-мерное расслоение над пространством X, классифицируемое отображением ç: X —>- ВОг, то оно имеет рима­ нову метрику, индуцированную метрикой расслоения уг. (3 а м е- ч а н и е. Для нормального расслоения многообразия эта метрика совпадает с метрикой на нем, определенной ранее.)

Пространством Тома ТЕ, расслоения Е называется простран­ ство, полученное из пространства расслоения ç стягиванием в точ­

вить с суммой Уитни расслоения уг и тривиального одномерного

Туг и Tff (уг).

Основной' теоремой этой главы является обобщенная теорема Понтрягина —Тома :

Т е о р е м а . Группа кобордизмов п-мерных (В, /)-многообра­ зий Qn (В, /) изоморфна группе lim яп+г (ТВГ, оо).

г — уоо

ние на М — М X Осz N совпадает с вложением і. Для некоторого

ру Sn+r в виде пространства Rn+T [J 00 и рассмотрим отображение

странства расслоения N на М, является послойным отображением

ского класса отображения Ѳ, так как все отображения вида е-1 °с гомотопны между собой. Замена ѵ на эквивалентное поднятие при­

водит к отображению, гомотопному отображению Т (п X (ѵ°іх)), и поэтому не изменяет гомотопического класса отображения 0.

пией, и для его нормального отображения существует накрываю­

щее отображение AT X I -> Вг, совпадающее с ѵ на AT X 0. Так как нормальное отображение постоянно по второй координате вблизи AT X 1, то поднятие можно изменить так, чтобы оно совпа­

дало с V на AT X 1. Так как (В , /)-структура на dW индуцирована (В, /)-структурой на W, то можно найти поднятие нормального

Взяв в качестве W пустое множество, мы получаем, что гомото­ пический класс отображения Ѳне зависит от вложения многообра­

~ Ѳ{M'), следовательно, гомотопический класс отображения Ѳ зависит только от класса кобордизмов многообразия М.

B) Отображение Ѳ является гомоморфизмом.

Пусть Мі и М 2 —представители некоторых двух элементов группы (В, /). Выберем вложения іа‘ Ма ->■ R"+r, а = 1, 2, такие, что последняя координата отображения ц положительна, а отображения г2 отрицательна. Если трубчатые окрестности вло­ женных многообразий выбрать достаточно малыми, так, чтобы они лежали в тех же полупространствах, что и многообразия, то пред­

C) Гомоморфизм Ѳ является эпиморфизмом.

Пусть Ѳ: (Sn+r, р) (ТВТ, оо), где г велико, —представи­ тель некоторого элемента группы lim я п+г (ТВГ, оо). Рассмотрим

= Тут = lim Tyl и сфера Sn+r компактна, то TfTо Ѳ(Sn+r) cz Tyl

S—Уоо

для некоторого s. Отображение Tfr»0 может быть прогомотопировано в отображение /г,-, такое, что

1) hr является гладким отображением на прообразе некоторого открытого множества пространства Туі, содержащего многообразие Грассмана 6>, s, и трансверсально регулярным на Gr,s.

З а м е ч а н и е . TyTs— оо является гладким многообразием.

2) hr является отображением расслоений на нормальной трубча­ той окрестности многообразия М п = /гД (Gr s), вложенного в

вBn+r = Sn*r —p.

3)hr совпадает с отображением Tfr°Ѳ на прообразе V некото­ рой замкнутой окрестности точки оо.

Так как отображение hr\M классифицирует нормальное рас­ слоение многообразия М, то можно предположить (используя дальнейшую гомотопию, если необходимо), что hr\Mесть нормаль­ ное отображение ѵ: М ->- G>, n ^ Gr,s и что hr на нормальной труб­ чатой окрестности многообразия М совпадает со стандартным ото­ бражением, определяемым переносом векторов в начало координат.

Далее, отображение Tfr: ТВт-*■ ТВОтвне точки оо является расслоением, атак как Tfr°Ѳ (Sn+r—(внутренность F)) не содер­

жит точку оо, то, применяя теорему о накрывающей гомотошш, можно гомотопшо отображения Tfr о 0 в отображение hr на S n+r—

—(внутренность V) накрыть гомотопией отображения Ѳна £ п+г—

—(внутренность F), которая является неподвижной на границе множества V. Взяв гомотопию постоянной на V, можно накрыть гомотопшо отображения Tfr °Ѳ в отображение h,, гомотопией ото­

при отображении hr, т. е. является многообразием М. Кроме того, отображение Ѳ]|ЛІесть поднятие нормального отображения hr\M.

многообразия М в пространство й п+|' с поднятием Ѳі|м, полу­ чаем, что класс Ѳ ([Л/]) определяется отображением Ѳ2, совпадаю­ щим с отображением 0j на окрестности N e многообразия М в R n+'\

Rn+r X I и пересекается с R71*1' X 0 ортогонально вдоль М. Мож­

нием, определяемым переносом векторов в начало координат. Применяя теперь теорему о накрывающей гомотопии, можно отображение L прогомотопировать в отображение 0: <S,n+r х I

ТВт, такое, что 0( = Ѳ0 для малых 2, Ѳі = Ѳ lsn+rxl, и отобра­

туру на многообразии М cz W. Таким образом, М -j- <90 aé 0 + + dW и класс кобордизмов [М] является нулем в группе Qn (В, /). В

Структуры в касательном расслоении

Часто бывает желательно определять (В, /)-структуры на мно­ гообразиях при помощи структур на стабильном касательном рас­ слоении.

Положим В = lim (5Г, gr), ВО — lim (ВОГ, /,.) и / = 1 іт /г: В —>ВОш Отображение Іп, N: Gn, N -> GN,n, сопоставляющее каж­ дой «-мерной плоскости ее іѴ-мерное ортогональное дополнение, индуцирует отображение 7: В О —>ВО, причем 72—тождественное

совпадает с пространством В. Отображения индуцированных рас­

велико. Отображения ѵ_ѵ: М п -> GN, п и T y : Мп -> Gn, N, опреде­ ляемые переносом нормальных и касательных векторов, связа­ ны соотношением т л- = 7 ѴіПѵЛг. Взяв композицию этих отображе­

(В, /)-структура на многообразии М в предыдущем определении представляет собой в точности послойный гомотопический класс поднятия отображения ѵ: М -> ВО до отображения М -> В. Отоб­ ражения Г и 7* устанавливают, очевидно, взаимно однозначное соответствие между такими классами поднятий отображения ѵ и послойными гомотопическими классами поднятий отображения т: І17 -V ВО до отображения М -> В*. Такой класс поднятий ото­ бражения т называется {В*, /*)-структурой на стабильном каса­

-> ВОг можно заменить гомотопически эквивалентными им рас­ слоениями. Получающиеся при этом отображения gr можно, последовательно используя теорему о накрывающей гомотопии,