книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

определяются ^-когомологиями (см. Коннер и Флойд [3]). Кого­ мологические операции в этой теории определили Лаидвебер 1.1],

(А , А) интенсивно изучалась Коннером и Флойдом [2], [4], кото­

изучались Ландвебером [4]. Существует интересное применение,

определяется своими целочисленными когомологическими харак­ теристическими числами. Связь групп (А) с комплексной /ѵ-те- орией пространства А изучалась Коннером и Флойдом [8]. Кого­ мологические операции в -теории исследовали Новиков [5], [6] и Лаидвебер [3].

Прим ер 7. Специальные унитарные кобордизмы:

Об ъ е к т ы . Многообразия с фиксированным классом экви­

валентности специальной унитарной структуры в пормалыюм

унитарной группы SU r u отображения / определяются, как и в слу­ чае комплексных коборднзмов.

левой группой, если п ф 1 или 2 (mod 8), а группа Qgk+i изоморф-

сГТ

на группе Qgk+ 2 и является Z-2 -векториым пространством размер­ ности, равной числу разбиений числа к в сумму положительных

ческие числа дают полный набор инвариантов класса коборднзмов (Андерсон, Браун, Петерсон [1]). С точностью до элементов конеч­ ного порядка класс коборднзмов определяется своими целочпслеи-

иыми когомологическими числами, все соотношения между кото­ рыми задаются подходящей теоремой Римана — Роха (Стонг [2]).

дается квадратами классов кобордизмов, имеющих представителя­ ми ориентированные многообразия, у которых все числа Понтря­

первый класс Чжэня Cj которых индуцирован отображением много­

когомологические характеристические числа полностью опреде­ ляют класс кобордпзмов.

С в я з ь с й^. Группа ІГѴМмономорфно отображается в Й^" на группу, порожденную классами кобордизмов, у которых все характеристические числа, делящиеся иа с2, равны нулю.

валентности Spin-структуры на нормальном расслоении. (Группа Spin,! определяется как односвязное накрытие группы SOn; см. Атья, Ботт, Шапиро [1] и Милнор [9].)

над пространством BSO,..

В ы ч и е л е H и я. Предварительные результаты были полу­ чены Новиковым [2]. Основное вычисление было проведено Андер­ соном, Брауном и Петерсоном [2], [3], которые показали, что груп­

па Tors Q*pm является 2 г-векторным пространством и состоит из элементов двух типов: элементы первого типа возникают при умножении классов кобордизмов на класс кобордизмов оснащен­ ной окружности S1 (как н в случае б’Н-кобордизмов), а элементы второго тппа мономорфио отображаются в группу неориентирован­

ных кобордизмов. Кольцо Q®pin/Tors является подкольцом кольца полиномов над Z от классов х,й (размерпостп 4і), порожденным всеми классами размерности, делящейся на 8, и двукратными классами, размерность которых не делится па 8.

Х а р а к т е р и с т и ч е с к и е ч и с л а . Классы кобордиз­ мов полностью определяются Z2-когомологическими и АО-харак- теристическпми числами. Все соотношения между целочисленны­ ми когомологическими характеристическими числами задаются теоремой Римана —Роха.

только в размерностях вида 8к + 1 и 8к -[- 2 и порождено осна­ щенными многообразиями.

С в я з ь с 91*. Образ Q*pin в 91* состоит из всех классов кобордизмов, у которых Ж2-когомологпческие характеристические числа, делящиеся на и ш2, равны нулю. Предварительная работа в этом направлении была сделана Милнором [11], П. Г. Андерсо­ ном [1] и Стонгом [3], показавшими, что класс кобордизмов квадрата ориентированного многообразия содержит некоторое спинорное многообразие.

В Spin0 получается из BSO превращением класса ша в целочислен­ ный, В Pin0 получается из ВО превращением класса и>2в целочис­ ленный и В Pin получается из ВО аннулированием класса и>2.)

Р е з у л ь т а т ы . Вычисления были проделаны Андерсоном, Брауном и Петерсоном (анонсировано в [3]) в связи с задачей изу­

чения Spin-кобордизмов. Кольцо Q fin /Tors рассматривалось в работе Стонга [2].

З а м е ч а и и е. Реззьльтаты о группах Й^т и Q*m еще не опубликованы. Известно, что эти грзшпы являются 2-прпиар­ ными и содержат элементы произвольно больпюго порядка. Обра­ зы этих групп в 91* состоят из классов кобордпзмов, у которых

в которой касательные и нормальные структуры имеют разный

касательного расслоения равен іѵ\ и, следовательно, касательное расслоение не обязательно имеет Ріп-стрз^ктзфз^.

П ример 11. Комплексные Spin-кобордизмы: Q ^s .

Об ъ е к т ы. Многообразия с фиксированным классом экви­ валентности одновременно комплексной и Spin-стрз'ктз'ры в его нормальном расслоении.

Оп р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где В —расслоение

группы Q'r,u и свободной абелевой группы (Стонг [6]).

3 а м е ч а и и е. Теория Q^s полезна при исследовании связи между SU и Spin-кобордизмами.

валентности структуры кватернионного расслоения в нормальном расслоении.

О п р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где B,lT = B i r + 1 = = В іг+2 = B,lT+з—классифицирующие пространства BSpr для симплектической группы Spr унитарных кватернионных (г X г)-

является кольцом полиномов от 4j-мерных образующих, и вычис­ лил группы й®р для малых п. Люлевичус [4] продолжил вычисле­ ние групп ßftp для малых п методом спектральной последователь­

кобордизмах 91* нулевой в размерностях меньших 24 (Стонг [8]). З а м е ч а н и е . Теорию iSp-бордизмов изучал Лаидвебер [6].

разлагается в сумму тензорных произведений кватернионных век­

торных расслоений. [Тензорное произведение кватерниониых рас­ слоений—это всего лишь вещественное расслоение.]

З а м е ч а н и е . Введенная Ландвебером [5], эта группа коборднзмов является подгруппой в 91*, состоящей из четвертых сте­ пеней всех элементов из 91*. Опа предназначена для заполнения

бреши, связанной с тем фактом, что образ группы Q*J' в 9t* лежит в группе, состоящей из четвертых степеней элементов из 91* , но не совпадает с пей (как казалось бы на первый взгляд). В частности, кватерниоппьте проективные пространства являются почти спмплектпческпмп, но не спмплектическнми (см. Хирцебрух [1], Конпер п Флойд [6] и Крейнес [I])1).

рых фиксирован класс эквивалентности действий алгебры Клиф-

О п р е д е л е н и е . (В , /)-кобордпзмы, где Вт— соответству­ ющее классифицирующее пространство. Их можно выразить через

гообразий, нормальное расслоение которых является комплексифпкацией вещественного расслоения;

Нестабильный вариант случая (f), который встречается в точной последовательности кобордизмов иммерсий (см. пример 20 ниже), изучался Р. Уэллсом.

ратором, задающим изоморфизм комплексной структуры в нор­ мальном расслоении со структурой, ей комплексно сопряженной.

О п р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где В — Bsc —клас­ сифицирующее пространство для самосопряженной Ä-теорин, определенное Д. Андерсоном [1] и Грином [1].

х) См . прим е ча н и е переводчика ( ') в ко н ц е к н и г и .— П р и м , перво.

Р е з у л ь т а т ы . Группа Q*c ® Z [1/2] совпадает с группой симплектических бордпзмов группы Sp (изучалась Лаидвебероы [6]), которые являются симплектическим аналогом самосопряжен­ ных кобордизмов. За исключением малых размерностей, 2-примар-

ческими группами.

О б ъ е к т ы . (В, ^-многообразия, где В определяется следую­ щим образом. Пусть G и И — топологические группы, Ѳ: G-*-H, р: G О — представления (О — ортогональная группа). Обозна­ чим через II!G обобщенное однородное пространство, которое опре­ деляется как слой расслоения BQ -.BG -^BH, II/Gcz BG. Тогда

(В, f) = (HIG, л), где я —композиция отображений II/G

BG — ВО.

Р е з у л ь т а т ы . Если р и 0 являются вложениями класси­ ческих групп, то получаются оснащенные бордпзмы пространства HiG. Случай, когда 0 является гомоморфизмом комплексификации, изучался в работе Смита и Стонга [2]. Эта группа кобордизмов, умноженная тензорно иа Z [1/2], совпадает с оснащенными бо’р- дизмами пространства IIIG, тогда как 2-примарная структура является прямым слагаемым в группе £2^.

З а м е ч а н и е . Многие стандартные случаи могут быть опи­

петель пространства Bsc, и мы получаем теорию, связанную с само­

изоморфна группе гомотопических сфер (см. Кервер, Милнор [1]). В противном случае она совпадает с группой /с-параллелизуемых кобордизмов, являющихся (В, /)-кобордизмами, где Вг есть к-связ­ ное накрытие пространства ВОг. Особенно интересными здесь являются относительные группы и образы одной группы в другой.

З а м е ч а н и е . Почти ничего не известно, и задача вычисле­ ния трудная. (При к = 2 получаются Spin-кобордизмы, а как изве­ стно, уже этот случай нелегкий.) Образы в группе неориентирован­ ных кобордизмов являются нулевыми для малых (но больших, чем

можно было бы предполагать) размерностей (Стоиг [1], [2]). Комп­ лексный аналог этих кобордизмов изучался Лашофом [1].

П ример 18. Кобордизмы с классом By. Qj,vh).

О б ъ е к т ы . Многообразия с «редукцией» убивания класса

By vh.

О п р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где В г— простран­ ство расслоения над ВОг, индуцированного расслоением путей над

и использованы Браудером [1] в его работе об Арф-ипварианте Кервера. Аналогичные вопросы убивания классов изучались Лашофом [1] и Петерсоном [1].

Все перечисленные выше примеры заданы в основном многооб­ разиями, и поэтому не было значительных трудностей при опреде­ лении теории кобордизмов. Следующий ряд примеров относится

Vkcz М '\ структурная группа нормального расслоения которых

вМ п редуцируется к группе Gn~h-

Оп р е д е л е н и е . Кобордизмы пар изучались Уоллом [2].

Задача требует рассмотрения только класса (В, /)-кобордизмов многообразия М и класса (В х BGn_lt, / X л)-кобордизмов много­

и Map (R, D) = 0 , т. е. кобордизмы категории морфизмов кате­ гории (В, f) (напомним, что эти морфизмы являются вложениями с тривиализованным нормальным расслоением).

При м ер 20. Кобордизмы иммерсий'. 81* {к).

Об ъ е к т ы . Многообразия вместе с фиксированной иммерси­

ей их в евклидово пространство, имеющие коразмерность к.

О п р е д е л е н и е . Изучались Уэллсом [1], Используя работу Хирша [1] об иммерсиях, задачу можно свести к изучению стабиль­ ных гомотопических групп пространств Тома классифицирующих пространств конечномерных расслоений, т. е. 81„ ( к) = п^+к(ТВОи).

размерностей, т. е. порядка п = к. В случае к = 1 задача сводится к стабильным гомотопическим группам проективного пространстства, которые изучались Люлевичусом [3].

дпзмов полностью определяется Ж2-когомологическими характе­ ристическими числами, легко получаемыми из отображений в себя (Стонг [4]).

3 а м е ч а и и е. Можно зафиксировать на многообразиях дополнительную структуру. Интересные примеры получаются, если рассматривать только отображения многообразий в себя (91 в этом случае состоит из одного объекта X , такого, что Мар (X , X) зё Z+) или только диффеоморфизмы (91 в этом случае состоит из одного объекта X, такого, что Map (X, X) SË Z). Послед­ ние кобордизмы сводятся к кобордизмам расслоений над окруж­ ностью S 1 (рассматривается тор отображения), которые изучались Коннером и Флойдом [5], Бердиком [1], Браудером и Левином [1] и Фаррелом [1]. (Эти авторы рассматривали задачу с несколько другой точки зрения; о группах кобордизмов ничего не известно.)

П р и м е р 22. Кобордизмы с действием групп: Q* (Fun (@, 3-)), ß* (G).

Об ъ е к т ы . Гладкие многообразия, иа которых задано глад­ кое действие группы G (конечной или компактной группы Ли).

Оп р е д е л е п и е . Как уже отмечалось выше, если катего­ рия @ имеет одни объект X, такой, что Map (X, X) SË G — конеч­ ная группа, то Fun (@, 3)) дает категорию кобордизмов всевоз­ можных действий группы G. Если группа G действует на многооб­

любое гладкое отображение N ->■ BG многообразия N в классифи­ цирующее пространство BG индуцирует главное гладкое G-pас- слоение над N , п группа G свободно действует на пространстве этого расслоения. Таким образом, группу Q* (G) кобордизмов сво­ бодных G-действий можно отождествить с обычной группой бор­ дизмов пространства BG. Различные варианты групп кобордизмов G-действий можно получить, налагая условия, чтобы стационар­ ные группы Gx точек х 6 М (Gx — {g £ G \ gx = х}) принадлежа­ ли некоторым фиксированным семействам подгрупп группы G.

при помощи томных последовательностей, связывающих различные теории коборднзмов. Стандартный метод, которым пользуется тео­ рия кобордизмов, заключается в исследовании множеств непод­ вижных точек и их нормальных расслоений.

Первые работы в этой области принадлежат Коннеру и Флойду [2], [3], [4], [7] (см. также Коннер [1]), которые положили начало этому методу исследования действий групп. Другие исследования в этом направлении можно пайти в работах П. Андерсона [2],

Во всех предыдущих примерах рассматриваемые многообразия были гладкими. Многие пз простых идей теории коборднзмов непо­ средственно переносятся и па не гладкие многообразия, но в этом случае приходится преодолевать технические трудности.

ангулируемым (Дж. Г. Уайтхед [1], см. также Манкрес [1]), но данное .PL-многообразце может иметь различные гладкие струк­ туры (Милнор [1]) или вообще не иметь их (Кервер [1]). Все это оправдывает рассмотрение кобордизмов LL-многообразий.

для которых, как и в гладком случае, определена конструкция Понтрягина — Тома (Уильямсон [1]). Таким образом, группы кобордизмов неориентированных и ориентированных LL-много­ образий изоморфны стабильным гомотопическим группам спек­ тров Тома Т В P L и T B S P L .

Р е з у л ь т а т ы . Непосредственное вычисление групп кобор­ дизмов было проведено Уоллом [4] (ориентированный и неориенти­ рованный случаи в размерностях ^ 8) и Уильямсоном [1] (ори­ ентированный случай в размерностях ^ 18 без учета 2-примарных трудностей в размерностях выше 9).

Браудер, Люлевичус, Петерсон [1] показали, что QPL = = 91* © С, где С — алгебра, двойственная алгебре Хопфа неко­ торой факторалгебры алгебры Ж2-когомологий пространства BPL.

мов из QPL полностью определяется своими когомологическими І г- характеристическимичислами (Браудер, Люлевичус, Петерсон [1]). Классы Штифеля — Уитни, определенные в комбинаторном слу-

Б Ссылки вида (!) относятся к примечаниям переводчика в конце книги.— Прим, перев.

чае By H Томом [1], не дают всех £.^характеристических классов. Адамс [2] показал, что в комбинаторном случае нет новых соотно­ шений между числами Штнфеля — Уитни. Рациональные харак­ теристические классы (названные классами Понтрягина) были определены в комбинаторном случае Томом [3] и Рохлиным и Швар­ цем [1]. Недавно Брамфелем н Сулливаном была выполнена работа о целочисленных (бесконечного порядка) когомологиях простран­ ства BSPL [не опубликовано] (2).

большой интерес, но к настоящему времени практически ничего не известно. Это главным образом объясняется отсутствием транс­ версальности н, следовательно, конструкции Поитрягпиа —

но, характеристические числа. Среди когомологических Ж2-харак- теристнческих классов, как известно, содержатся и классы ІІІтифеля — Уитни (Том [1]), причем новых соотношений между числа­ ми Штнфеля — Уитни нет (Адамс [2]), так что группа 92* явля­ ется прямым слагаемым в QJop. Существуют рациональные харак­ теристические классы, отображающиеся в классы Понтрягина

Комплексы с двойственностью Пуанкаре имеют нормальное сфери­

но отображение групп кобордизмов в стабильные гомотопические группы спектра Тома не является изоморфизмом (в ориентирован­ ном случае, например, сигнатура комплексов с двойственностью Пуанкаре является инвариантом бесконечного порядка класса кобордизмов, а гомотопические группы спектра Тома конечны). Группы когомологий пространства BF изучались Милнором [13], Джнтлером и Сташефом [1]. Известны примеры комплексов с двой­ ственностью Пуанкаре, которые не являются гомотопически экви­ валентными многообразиям (Джитлер и Сташеф [1]) (3).

Прим ер 26. Кобордизмы многообразий с особенностями: £2*.

Об ъ е к т ы. Многообразия, граница которых представлена