книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

ГЛАВА VIII

^-ОГРАНИЧЕННЫЕ КОБОРДИЗМЫ

Пусть К — одно из полей !Ч или С. Рассмотрим n-мерное /ѵ-век­ торное расслоение р. Детерминантом расслоения р, (обозначение

®к Лк (р')і т- 6- детерминант суммы Уитни расслоений равен произведению детерминантов слагаемых. Это свойство в сочета­ нии с тем, что det р = р, если р — линейное расслоение, дает формулу det (р 0 1) SÉ det р ® 1 = det р, позволяющую опре­ делить детерминант стабильных /С-векториых расслоений, т. е. детерминант элементов Л-функтора.

Для любого целого числа г ^ 1 можно образовать категорию кобордизма многообразий с «Р (Л')-структурой» следующим образом:

1)объект состоит из

a)компактного многообразия М с фиксированной структурой /Г-векторного расслоения на стабильном касательном расслоении (эквивалентно на нормальном расслоении), т. е. (BG, ^-многооб­

является тривиальным линейным расслоением, и эта эквивалент­ ность есть просто тривиализация.]

2)Морфизмом ср: (М' , /') -»- (М , /) является вложение ср с тривиализацией нормального расслоения, согласованной с касатель­ ными /Г-расслоениями многообразий (т. е. морфизм в категории (BG, g)-MHoroo6pa3HÜ), такое, что /' = /ср и эквивалентность расслоений /'*£ и det х' совпадает с ограничеиим на М эквива­ лентности расслоений /* | и det т.

3)Граничный функтор сопоставляет многообразию М его гра­ ницу со структурой, индуцированной тривиализацией нормаль­ ного расслоения, заданной внутренней нормалью. Естественное преобразование вложения определяется обычным вложением с три­ виализацией, заданной внутренней нормалью.

Полугруппа кобордизмов, соответствующая этой категории,

стабильное векторное расслоение над BG. Имеем (фѵ)* | ^ del т. Любые два отображения (тр-ѵ), полученные таким способом, гомо­ топны, и существует канонический выбор этой гомотопии, опреде­ ленный изоморфизмом любых двух (BG, ^-структур для различ­ ных вложений и выбором гомотопий для отображений ф. Для отоб­ ражения /: М Р (ІС) эквивалентность расслоения /* (|) с рас­ слоением det т можно рассматривать как гомотопию отображе­ ний / іп|)-ѵ. Таким образом, «Р (/^')-структуру>> на многообразии М можно рассматривать как деформацию канонического отобра­ жения в отображение, образ которого лежит в пространстве

Р (ІС).

Так как гомотопия является частным случаем кобордизма, то ясно, что в классе кобордизмов имеет значение лишь гомотопиче­ ский класс эквивалентности, а также что гомотопически эквива­ лентные отображения / дают изоморфные семейства структур (изо­ морфизм зависит от выбора гомотопий). Далее, структура на мно­ гообразии М, индуцированная структурой многообразия М X 1 при проекции на «противоположный конец», определяет, как обычно, структуру на М, обратную к исходной.

Для того чтобы сделать предыдущее рассуждение более стро­ гим и определить указанную категорию кобордизма как некото­ рую (В, /)-категорпго, построим классифицирующее пространство.

Рассмотрим отображение р: BG X Р (К’) ^ Р (К°°), такое, что р* (X) — (det 4L) ф £, и обозначим через В К <Г) пространство рас­ слоения, индуцированное расслоением сферы S (К°°) над проек­ тивным пространством Р (К°°). Получаем коммутативную диа­ грамму

я 2 — проекция иа Р (ІС), таково, что в расслоении det ѵ 0 f* (£) существует каноническая трпвиалнзация (бесконечномерная сфе­ ра S (/Iм) является пространством расслоения на сферы расслое­ ния X, и поэтому расслоение иад ней, индуцированное расслое­ нием X, имеет естественную трпвиализацию) и эту тривиализацию

Интерес к этим теориям кобордпзмов объясняется в первую очередь тем, что они заполняют промежуток между «неориентиро­

ния det т можно деформировать в и-мерный остов, а гомотопшо, заданную двумя различными деформациями, можно деформиро­ вать в (п + 1)-мерный остов. Тем самым на любом многообразии М, dim М = п, существует единственная P (/f'’(-структура, где

тривиализация расслоения det х. Если т является га-мерным век­ торным расслоением со скалярным произведением, то каждый слой V имеет каноническую структуру n-мерного векторного про­ странства со скалярным произведением. Используя это произведе­

если ] Ф к, и

(X, Y) = del I (хі, г/г ) |,

если X — х1/\. . . f\xs, Y = і/іД. . . f\ys. Задав во внешних степе­ нях расслоения эти скалярные произведения, получаем, что тривналнзация расслоения del т может быть представлена как (непре­ рывный) выбор единичного вектора в п-й внешней степени каждого слоя. Но в этом случае структурная группа расслоения т редуци­ руется к группе линейных преобразований пространства V, остав­ ляющих неподвижным единичный вектор пространства Л” (F). Линейное преобразование Г: F —>- F индуцирует на пространстве Ап (F) преобразование, являющееся умножением на детерминант преобразования Т. Следовательно, структурная группа расслое­ ния т редуцируется к группе преобразований с детерминантом 1, т. е. к специальной ортогональной группе или к специальной унитарной группе.

З а м е ч а н и е . Группы W* {К, 1) будем обозначать через Q®G, а пространства В К <-1'>— через BSG. Хотя основной причи­ ной интереса к группам “//'Д (К , г) является задача вычисления группы 5Г, (К , 1), в этой главе будет мало результатов, непосред­ ственно связанных с этой задачей.

3) Первое исследование групп 3 ‘\ (К, г), где г ~ 1 и оо, было проведено Уоллом [1] для К =01. Применяя случай г = 2, кото­ рый можно рассматривать как случай «щ-сферическнх» кобордизмов, он использовал различные связи этой группы кобордпзмов для вычисления 2-примарной части кольца Qf°. Дополнительные результаты можно найти в работах Атья [2] и Уолла [4]. Комплек­ сный случай изучался Коннером и Флойдом [6] по схеме, тесно связанной с работой Уолла (но с использованием методов Атья). Как было указано С. П. Новиковым в связи с изучением спек­ тральной последовательности Адамса с коэффициентами в «неори­ ентированных» кобордизмах (см. Новиков [5], [6]), группы кобордизмов W\. (К, 2) естественно возникают при вычислении групп «ориентированных» кобордизмов.

Связь «Р (Х2)-теории» и теории «о^-сферических» кобордпзмов может быть установлена следующим образом.

зать это, заметим, что (р) = аг (det р), если р — линейное расслоение, и, как уже отмечалось при рассмотрении многообра­

принцип расщепления, индукцией по размерности получаем фор­ мулу (р) = a1 (det р) в общем случае).

Так как P (К2) = S h и аг (£) = і 6 H h (S1'; ~£к), то для объек­ та (М, /) с «Р (,йГ2 )-структурой» существует отображение /: М

ах (Л/) является сферическим, то существует отображение /: М —>-

расслоений полностью определяются их первым ZK-хирактери- стическим классом. Следовательно, существует эквивалентность расслоешш /* (ç) и det т.

4)Случай г > 2 ие представляет специального интереса.

Результаты для К = 51 здесь были получены Дж. Минкусом и Уоллом, но оии ие опубликованы. Подход Атья к теории бордпзмов сводит вычисления к стандартному упражнению.

Полугеометрические методы: (А', 2 )

Пусть (X, А) — некоторая пара клеточных комплексов. Опре­

МР индуцирующее det т. Ввиду компактности много­

которое является вращением плоскости на 90°, то р, очевидно, гомотопно тождественному отображению (в классе вращений), причем выбор гомотопии задает изоморфизм расслоений £ и р*|. Касательное расслоение к L является ограничением расслоения

TL изоморфно расслоению ТаГ.

вителями которых являются пары многообразие — отображение (М, g), где М — многообразие со сферическим характеристиче­ ским классом а1 (М). Это совпадает в точности с первоначальным определением Уолла [1], которое не зависит от выбора отображе­ ния в Р (А2) и эквивалентности расслоений.

коммутативна. В частности, Жк-класс гомологий представим многообразием с чР (К2)-структурой» тогда и только тогда, когда он представим чнеориентированным» многообразием.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что для каж­

дого многообразия М отображение v: L->- М х Р (К2) —>М тако­ во, что и* [L, dL] — [М, дМ]. Но это является по существу след­ ствием двойственности Пуанкаре — Лефшеца.

Пусть п = dim М = dim L, группа Нп (М , дМ; Жк) является свободным г к-модулем (по двойственности) и, следовательно, изоморфна группе Н от (Нп {М, дМ; Жк), ~1К) (по теореме об уни­ версальных коэффициентах). Таким образом, достаточно пока­ зать, что v* (х) [L, дЬ] = X \М, дМ] для всех х Ç Нп (М, дМ; Жк).

Имеем

у* (х) [L, дЬ] = л* (*) (я*CTj (М) Н- л* (0) [М X Р (К2),дМх Р {К2)]=

= л* (х) л*(і) 1(М, дМ) X P (Z*)];

так как элемент х-о\{М) имеет размерность, большую размерно­ сти многообразия М, то число v* (х) IL, дЬ] равно числу

точную последовательность Атья [2]. (Доказательство ее, приво­ димое ниже, принадлежит Уоллу [4].) Для этого необходимо обоб­ щить потятие подмногообразия, двойственного к линейному рас­ слоению.

образия М образ отображения h лежит в P (K s) для некоторого большого S. Отображение h | вм можно прогомотопировать до отображения, трансверсально регулярного вдоль P (K s~s), а за­ тем, оставляя отображения на границе дМ неподвижными, про­ гомотопировать h до отображения, трансверсально регулярного вдоль P (K s~s). Тогда многообразие й- 1 (P (Ks~s)) = N является подмногообразием в М коразмерности s -к с нормальным расслое­

ТУРУ /С-векторного расслоения ta + (s — t) а и телі самым ввести (BG, р)-структуру в многообразие N.

Многообразие N известно как подмногообразие, двойствен­

ное расслоению ta + (s — і) о. Многообразие N, конечно, не яв­ ляется единственным, но оно однозначно определено с точностью до выбора различных гомотопий, переводящих h в трансверсаль­ но регулярное отображение. Два таких трансверсально регуляр­ ных отображения гомотопны, причем можно сделать гомотопию H: М X I -> Р (Xs) трансверсально регулярной, оставляя ее неизменной на концах. Прообраз трансверсально регулярной

дизм двух представителей. Таким образом, класс бордизмов мно­ гообразия N в группе Q* (М, дМ) определен однозначно.

Пр е д л о ж е н и е . Существует гомоморфизм

d:Q °(X , A)->Q% (X, А)

где N — подмногообразие, двойственное расслоению det тдг ® ® (det %м). Далее, последовательность

О2) (X, d ) - % Q “ ( ï , 4 ) —

точна.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала необходимо показать, что гомоморфизм d корректно определен. Пусть дано отображение

det %w на M совпадает с det хм, а на М' оно совпадает с det тм--

Так как построение отображения d может быть проведено неза­ висимо на каждом слагаемом несвязного объединения, то d являет­ ся гомоморфизмом.

Докажем точность последовательности.

1) Гомоморфизм F# является мономорфизмом, что следует из

является прообразом подмногообразия Р (К °), которое представ­ ляет собой пустое множество.

3)Пусть d (а) = 0 и /: (М, дМ)-+(Х, А) — представитель

можно считать, что h трансверсально регулярно вдоль подмного­

добиться, чтобы пространство М — Т отображалось на дополне­ ние к окрестности éf в P (K s). Так как отображение h |т является трансверсально регулярным вдоль P (Z S_1), можно малой гомо­ топией отображения й,, неподвижной на Т, перевести h в отобра­ жение h, трансверсально регулярное на P (Z s-1), неправильным выбором «малости» добиться того, что h (М — Т) не будет пере­

Так как N имеет окрестность вида N X [1, 2) в N, то существует сильная деформационная ретракция пространства U на U', кото­

так, как это показано на рис. 4.