книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Функтор F забывания оснащения в нормальном расслоении

определяет гомоморфизм групп кобордизмов Е*: £2* 91* и отно­ сительную полугруппу кобордизмов £2n (F) (получаемую объеди­ нением многообразий вдоль общих границ). Тогда, как и для каждой пары (В, /)-теорий кобордизмов, имеет место точная после­ довательность

Qfr . F*.. > W

\ S

QAF)

которая соответствует гомотопической точной последовательности

lim л^+г(ТВОТ, S r, oo)

r —yoo

где F* — гомоморфизм, индуцированный вложением сферы, рас­ сматриваемой как пространство Тома слоя над отмеченной точ­ кой пространства В 0 Т.

Используя вычисление кольца 91*, можно исследовать связь между группами кобордизмов £2*г, 91* и £2* (F). Имеет место

П р е д л о ж е н и е . Любое оснащенное многообразие положи­ тельной размерности является границей неориентированного мно­

зие, то его стабильное нормальное расслоение тривиально, и по­ этому w{v) = 1. Таким образом, для п > 0 все числа Штифеля — Уитни многообразия М п равны нулю, и поэтому оно является гра­ ничным. В размерности 0 многообразие М есть объединение точек

последовательность расщепляется в короткие точные последова­ тельности, с помощью которых можно образовать следующие диаграммы:

ДЛЯ П —1 > 0 И

О= Эіі-----VQ,(F) -------- Vßjr -------- »-«о о

î i j n,j Soj înj

H^S; г гу ^ Н А Т В О ; 1 г)-^НАТВ( ) , S; Zz) ^ H 0(S-, L2)-+H0(T BO ; Z 2y + 0

Гуревича (т. е. Н„ (S; Z2)~ lim IIn+r (£"', оо; Z2) и т. д.). Так как

определяющий расщепление короткой точной последовательности

каждого оснащенного многообразия Л/п_1 многообразие Ѵп, такое, что дѴ = М и .Sи (v) IV, дѴ\ — 0 для всех недиадических разбие­

ний ю. Предположим, что расщепление уже выбрано этим спо­

собом.

Рассмотрим оснащенное многообразие Л/”-1, такое, что М п~ 1 = = дѴп и Sa (ѵ) [F, дѴ\ — 0 для недиадических разбиений <в. Вложение пары (F, М) в некоторое пространство f f n+r определяет отображение v: (F, M) ->• (BOT, *) (оснащение на М можно рас­ сматривать как фиксированный класс эквивалентности деформа­ ций отображения М в отмеченную точку). Конструкция Понтря­ гина— Тома определяет отображение (И п+Г, і?п+г_1) (ТВОг, Т*), которое мы будем рассматривать как отображение /: (Dn+r, iS'n+r_1)

(TBOr, S'), представляющее гомотопический класс, соответ­ ствующий классу кобордизмов пары (F, М).

Обозначим через X двуклеточный комплекс, полученный при­

вкоторой отображения / и g индуцированы отображением /. Напомним, что H* (X ; / 2) является векторным пространством

над Z2 с базисом 1 Ç Н° (X; Z2), а 6 H r (X ; Z2) и 6 6 # п+'' (X; Z2) (1, а и б — ненулевые элементы этих групп), таким, что j* (а) =

ствующее образующей ^-м одуля SaU, получаем, что g* (S J J ) = = 0, если п (со) > 0 (по размерностным соображениям, если п (со) ф п, и по выбору нары (У, М) для п (со) = п); таким обра­

образом, единственное ненулевое характеристическое число долж­ но быть равно

g* (SqnU) = g* (wnU) = wn (v) [F, M] -b.

зать, что в такой ситуации возникает только единственное харак­ теристическое число.

Объединяя сказанное выше, получаем следующее утверждение:

с инвариантом Хопфа отображения /: 5П+Г_1 S r, представляю­ щего класс оснащенных кобордизмов многообразия М. Среди гомо­

морфизмов Qn- j Z2, определяемых числами Штифеля —Уитни, нетривиальным может бытъ только гомоморфизм, определяемый числом wn (v) [F, М].

В частности, функтор 91* ( , ) задает теорию гомологий, опреде­ ляемую мультипликативным спектром ТВО .

Так как спектр Т В О мультипликативен, то Я* (X , А; Т В О ) является Я* (pt; ТВО) — 5)Д-модулем. Действительно, если /: (У, дѴ) (Z, Л) — представитель некоторого класса из 5ft* (X, А) и М — замкнутое многообразие, представляющее некоторый класс из 5ft*, то отображение /олр (У х М, дѴ X М = д (У X М))

(X, А) представляет, по определению, класс произведения этих классов.

Структура 9Д-модуля 5ft* (X , А) описывается следующей теоремой:

Т е о р е м а . Для каждой пары (X , А) клеточных комплексов модуль 91* (X , А) является свободным градуированным 'Уі.,.-моду­ лем, изоморфным модулю Я* (X , А; Z2) ®j_ 5ft*.

элементов сД і ® SqI(S(ùU), где I — допустимая последовательность

Сп, г ® Я отображается в образующий іп+г группы Яэт+Г (£n+r; Z2), если г = у, и в нуль в остальных случаях. Применяя конструк­ цию Понтрягина — Тома, класс ап, ; можно представить многооб­

разием У" cz Н п+Гс отображением /: У"->-jf, f (дѴ?) cz A. Рассмот­ рим последовательность отображений

5n+r -> Tvy/Tv9V -*■ (Ѵі/дѴі) Д 74-

— (Z/Л) Д T B O r ^ ^ U К (Z2) Д К (Z2) — -*• Ä(Z2),

используя которую, получаем, что равенство аД 4 (с«, і ® Я) = = ôij-in+r эквивалентно равенству /* (en, j) [У?> дУ"] = 0г-у или /* [У?, дѴі] = сп, і-

Для каждого замкнутого многообразия М имеет место равенство

части предела гомотопических групп. Так как группа 9t* (X, А) является 2-примарной, то эти классы образуют ее базис. Но это в точности совпадает с утверждением, что классы кобордизмов многообразий (Ѵі , дѴ?; /) образуют базис 91*-модуля 9t* (Х,А ). в Из доказательства теоремы непосредственно получаем несколь­

ко следствий.

С л е д с т в и е . Естественный гомоморфизм вычисления

е: 9tn (X, А) Нп {X , А; Z2),

сопоставляющий классу бордизмов, представленному отображе­ нием /: (V, дѴ) (X , А), класс гомологий /* [F, дѴ\, является эпи­ морфизмом.

Этот результат часто формулируют в следующем виде: каждый класс гомологий mod 2 представим в смысле Стинрода (см. проб­ лему 25 в работе Эйленберга [1]). Он, копечно, очень близок к пер­ воначальной идее Пуанкаре, определявшего гомологии как объек­ ты, задаваемые подмногообразиями пространства.

С л е д с т в и е . Элементы группы неориентированных бор­ дизмов полностью определяются своими Ж2-когомологическими характеристическими числами.

В частности, для каждого х Ç Нт {X , А\ / 2) и разбиения со чпсла (п — т) существует обобщенное «число Штнфеля — Уитни», которое для отображения /: (F71, <9У")->- (X, А) определяется как число {шш(т) \j /* (#)} [У, дѴ]. Так как классы х 0 іѵа образуют базис группы H* {{XIА) X ВО\ Z2), то ассоциированные с ними характеристические числа дают полный набор инвариантов.

в книге Коннера и Флойда [3]. Представимость в смысле Стинрода классов гомологий mod 2 была доказана Томом в работе [2].

ГЛАВА VII

КОМПЛЕКСНЫЕ

К0Б0РДИЗМЫ

Исторически следующей полностью решенной задачей кобордизмов была задача кобордизмов квазикомплексиых многообра­ зий. Эти кобордизмы были определены и полностью вычислены Милнором [6] и Новиковым [2]. Конкретно они представляют собой (В, /)-кобордизмы, где JS2r = Bzr+i — классифицирующее про­ странство В Uг для комплексных r-мерных векторных расслоений. Так как каждое комплексное векторное расслоение имеет един­ ственное стабильное обратное, то объектами этой категории кобордизма являются многообразия с фиксированной структурой комплексного векторного расслоения на нормальном или каса­

Хорошо известно, что кольцо целочисленных когомологий проективного пространства СР (п) является усеченным кольцом полиномов от 2-мерного образующего (для доказательства можно использовать мультипликативную структуру в спектральной

кольцом полиномов над полем рациональных чисел от классов кобор­ дизмов комплексных проективных пространств с умножением, соот­ ветствующим сумме Уитни комплексных векторных расслоений.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме об изоморфизме Тома

группа Hn(TBU', Z) = lim Hn+2r(TJBUг, °° ; Z) свободна от кру-

г-усо

чения и имеет ранг, равный числу разбиений числа т, если п — = 2ni, и ранг, равный нулю, если п нечетно. По теореме об уни­

2') ß (ОД) = (ß*) У-г ( — l)dim Xx фу)

и

1)бРг:Нп (Х, A\ Жр) -V Нп+2і<-р~1'і (X, А; Жѵ) является аддитив­ ной операцией,

2)éP°u= u для всех w,

бРги = иѵ, если dimii = 2i, и

йГ|1и. = 0, если dimu<c2i,

щающее Д р в связную алгебру Хопфа над Жр (см. Милпор [3]). Имеет место следующая

Л е м м а. Пустъ р — любое простое число. Отображения TBUг /\TBU S-V TBUr+s, определенные суммой Уитни комплекс­ ных векторных расслоений, индуцируют диагональное отображе­

ние ф на группе H* (TBXJ; Zр) = Ііш Я *+2Г (TBUp, Жр), превра-

Н* (T B U ; Zp) оператор Бокштейна Q0(Qо = ß для нечетных р

и Q0 = Ag1 для р — 2) действует тривиально, и H* (TBU \ Жр) является левым модулем над алгеброй Хопфа Др/iQ0), представ­ ляющей собой алгебру Стинрода mod р, профакторизованную по дву­ стороннему идеалу, порожденному оператором Q0. Гомоморфизм ф является гомоморфизмом Д V/(Q0)-MOдулей, и гомоморфизм ѵ:

Лр/(Со) -ff* (TBU] Жр): а а (U) является мономорфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Ç0 имеет степень 1, а груп­ па H *(T B U \ Жр) состоит только из элементов четной степени, то

идеал (Qo) действует тривиально, и, следовательно, H* (TBU; Жр) является Д р/iQ0)-модулем. Для доказательства мономорфности ѵ, используя принцип расщепления и вычисление класса Тома для линейного расслоения, представим U в виде формального произ­ ведения V — Х\Х2 . . . двумерных классов хи і ^ 1. Если поло­ жить Пг = Sq21 для р = 2, то из формул Адема следует, что для всех простых р алгебра Д ѵ/^о) имеет аддитивный базис, состоя­

щий из операций П1 = éP11 . . . <Дгг , где іа ^ ріа+\- [Для р = 2 имеем Sq2l+ 1 = Sq^-Sq21 £ (Qo), поэтому все нечетномерные члены