книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Важность групп Ж* (К, 2) заключается в их связи с группами £2 ®°, которая выражается следующим образом:

Т е о р е м а . Для каждой пары клеточных комплексов (X , А) существует точная последовательность

Q f (Z, А )---- Η » Q f (X, А)

\ а

\

7Г Д К , 2){Х, А)

в которой гомоморфизм р (степени 0 ) переводит ориентированное

класс [5К_1, о] Ç Q f, где о есть SG-структура на сфрре 6 ”‘_1.

З а м е ч а н и я . Первое доказательство теоремы такого типа было дано Рохлиным [2], который доказал точность последова­

в работе [4]. Аналог результата Рохлина для групп бордизмов клеточных комплексов был получен Коннером и Флойдом [3],

которые доказали точность последовательности £2Н; (А, А) Q®° (X, А) -> 92* (X, А). Точность последовательности в ком­

ие содержит точку q, и пусть W = U — (внутренность (L X /)*)). Так как расслоение £ тривиально над Р (iS?) — и, то W имеет GG-структуру, задаваемую тривиализацией | |р(к2 )-«- С точ­ ностью до гомотопин отображения F можно предположить, что отображение F |Lx£)K совпадает с композицией проекции па L

и отображения F\b, так как окрестность L X D Kможно дефор­ мировать на L. Таким образом, отображение F |w: W X задает GG-кобордизм отображения /: (М, 971/) ->■ (X , А) с отображением g: (L X GK-1, dL X SK~1) -*■ {X, А), которое разлагается в ком­ позицию с проекцией на L. Трпвиалпзация нормального расслое­ ния к L в U и трнвналнзация расслоения clet |ь задают на L GG-структуру, и каждый слой GK - 1 имеет GG-структуру, получен­ ную следующим образом: вложение cp: DK->- Р (К2) дает GGструктуру на GK_1, полученную тривиализацией нормального

расслоения ср*£, определенной деформацией GK _ 1 в точку про­ странства Р (К2) — ф (0). Таким образом, у = tz, где z — класс бордизмов, представленный отображением F \L: (L, дЬ) -+■ (X , А).

З а м е ч а н и е . В доказательстве Уолла не используется,

морфизм забывания. Так как класс кобордпзмов [G*-1, о] равен

N cz М, ограничение на которую отображения h совпадает с проек­

/ IJVПоложим W = 71/ — (внутренность (N X Z)”)) и тривиализуем расслоение det xw, используя гомотопию отображения h \w

са GG-бордизмов X. Отображение /-я: [G’“-1 , о] •(71/, 971/) -v (X, А) кобордантно нулю, пусть его кобордизм нулю задается отобра-

Д Р (К г+1). Таким образом,

5Гп (К, г) (X, А) ^ Н т JT„+KS(Ш < г) Д (Х/А)) s

S ~ > o o

- lim яп+КІ (T B S G Д P (K r+l) Д (ХМ)) s

S-+0O

^ Q nG+r,(Ps (K r+i) f\(X/A)). в

Имеет место последовательность корасслоений

{ S K = )P (/Г2) -v i> (К3) - у ( S 2K = ) Р (К3)/Р (К2) Л 2 S ,; ( = £ к+*),

взяв приведенное произведение которой с пространством {Х/А)

и применив функтор Q®,G( ), мы получим точную последова­ тельность

(SKД {Х/А)) - у ÜiG(Р (К3) Д (ХМ)) + й і° (S2Kд (ХМ))

где крайние отождествления ^ определяются изоморфизмами над­ строек. Эта последовательность совпадает с точной последователь­ ностью Рохлина — Уолла. Гомоморфизм t в этой последователь­ ности интерпретируется как умножение на класс оснащенных коборднзмов, представленный отображением а: S 2'1 -у S k+1, являю­ щимся надстройкой над отображением, при помощи которого получается Р {К3) приклеиванием 2&-мерной клетки к сфере S h.

Для того чтобы получить последовательность Атья, нам пона­ добятся следующие две леммы:

JI е м м а 1. Пространство Р (Кт+п)/Р (Кт) является комплек­ сом Тома расслоения ml, над Р (К п).

f{tx, ty) = t ’f(x, у), и, следовательно, отображение / эквивариантно

Л е м м а 2. Пусть \ — расслоение, двойственное каноническому расслоению над Р (Кт). Тогда

&nG((ХМ) Л Г (g ® g Ѳ D) s Wn-зпіК, m) (X, A).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как расслоение £ © £ естест­ венно ориентировано, то существует отображение /: BSGs X

не больших ns. [Используя индуцированные расслоения, можно получить этот факт из стабилизации пространств BSGt. Отобра­ жения

дают изоморфизм гомотопических групп в малых размерностях.] Таким образом, в пределе получаем

=йпН2 к((х /и )д р (л :т+1)) =

=5Гп-зк (Ä , /n )(Z , И ).и

Рассмотрим теперь корасслоение

Р (К3) -► P (/Г,+3) -► Р (Кп+3)/Р (К3).

Взяв приведенное произведение его с пространством ( Х / А ) и при­ менив функтор Q^G( ), мы получим точную последовательность

которая после устремления n к oo дает длинную точную после­ довательность

W m -K(K, 2)(X, A ) - + Q & - K ( X , А ) + Q i - 3 n ( X , А ) - *

( К , 2) ( X , И) - > . . . ,

так как для больших п имеет место изоморфизм fflm(K, n) (X, А) =

= (X, А ) . Эта последовательность расщепляется, давая после­ довательность Атья, но доказательство расщепления требует одного из предыдущих рассуждений.

б

где отображение S имеет степень —1. Это есть один из способов вводить Zp-коэффициенты в теории гомологий, определенные спектром. (Другой способ — использовать гомотопии с Zp-коэффи- циентами вместо обычных гомотопий.) При данном определении

с Zг-кoэффициeнтaмп. На это обратил мое внимание Д. Сулливан,

5Г*(К, 2 ) - L + J T A K , п + 2 )

\ / *'\

tг* {К, п)

Композиция гомоморфизмов

W , (К, 2 ) Л Ж А К , П + 2 ) ^ QO X W A K , 2 )

дает тождественный гомоморфизм, поэтому эта последователь­ ность расщепляется. Таким образом, W \ (К , п + 2)~ (К, 2)® ® W \ {К, п), и поэтому группы W \ {К, п) вычисляются индук­ тивно.

ГЛАВА IX

ОРИЕНТИРОВАННЫЕ К0Б0РДИЗМ Ы

После задали неориентированных кобордизмов наиболее инте­ ресной задачей кобордизмов гладких многообразий является клас­ сификационная задача кобордизмов ориентированных многообра­ зий, где термин «ориентированный» понимается в классическом смысле.

Существует много эквивалентных описаний ориентации много­ образия, согласно которым ориентацией многообразия называется a) тривиализация детерминанта касательного (или нормаль­

ного) расслоения;

B) приведение структурной группы касательного (или нормаль­ ного) расслоения к специальной ортогональной группе;

c)ориентация в целочисленных когомологиях касательного (или нормального) расслоения в смысле Дольда;

d)ориентация фундаментального класса в целочисленных гомологиях в смысле Уайтхеда.

Помимо естественного желания классифицировать ориентиро­ ванные многообразия, есть еще одна причина, привлекающая внимание к ориентированным кобордизмам. А именно, определе­ ние d) указывает иа связь между ориентированными бордизмами

ицелочисленными гомологиями, и полное исследование этой связи весьма желательно для понимания геометрического смысла целочисленных гомологий.

Исследование ориентированных кобордизмов является очень сложной задачей, и основные этапы ее решения выглядят сле­ дующим образом:

1)Сведение к гомотопической задаче и вычисление кольца

£2®° ig) О,, где Q, — поле рациональных чисел (Том [2]).

2)Вычисление нечетного кручения и кольца Q®°/Tors (Милнор [5], Авербух [1] и Новиков [2]).

3)Вычисление 2-кручения (Уолл [1]).

Используя любое из определений а) или ѣ), получаем, что классифицирующим пространством для касательных расслоений n-мерных ориентированных многообразий является пространство BSOn, и, применяя теорему Понтрягина — Тома, получаем, что

= lim nn+s (TBSOs, оо).

S— >СО

Вычисление гомологий пространства BSOn позволяет полу­ чить следующую теорему:

Т е о р е м а. Группа Q® 0 конечно порождена и ® Q. является кольцом полиномов над полем рациональных чисел от классов кобордизмов комплексных проективных пространств СР ( 2 і).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как показано в гл. V, существуют однозначно определенные классы ориентации Uг 6 H r (TBSOr\ Z), совокупность которых задает Z-когомологическую ориентацию U: TB SO ->- К (Z). По теореме об изоморфизме Тома группа

Н п (TBSO) Z) = lim H n+r (TBSOr, оо; Z) изоморфна группе

г—мо

Н п (BSOj.; Z) для достаточно большого г, ввиду стабилизации этих групп по г, и поэтому конечно порождена. Так как простран­ ство TBSOr является (г — 1)-связиым, то по теореме Серра гомо­

в остальных случаях. Гомоморфизм ßf° ® Сi-*-H„.(BSO', Q.) является изоморфизмом колец. По формуле для диагонали Д (£рг) =

= 2 f i ® fh кольцо Й*° ® Q, является кольцом полиномов j+!i=i

от 4г-мерных образующих^;, которые характеризуются условием £<;,($>) [хц]=г=0 , где 5,;,(§>)—примитивный класс в размерности 4і.

Для касательного расслоения т к многообразию СР (2і) имеет

dimß; = 2, то примитивный класс Sa> (f) имеет вид 2 ß?1- Таким, образом,

S<i>(f)(v) [СР{2і)] = —5 (;)(^)(т;)[СГ,(2і)]= (ввиду примитивности)

= —(2 г + 1 ) а 2 і [СР(2 г)] =

так как,ввиду единственности ориентации пространства Тома //О-фуидаментальный классдолжен совпадать с фундаменталь­ ным классом, определяемым комплексной структурой. Следова­ тельно, набор многообразий {СР (2і)} дает искомый набор 4і-

П р е д л о ж е н и е . Рассмотрим гомоморфизм

где гомоморфизм S,., индуцирован функтором забывания и я — обычная проекция. Тогда (ядро у) является идеалом, порожденным классами кобордизмов, размерность которых не делится на 4, а (коядро у) является конечной группой нечетного порядка ( в каж­ дой размерности).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как характеристические числа Понтрягина являются целочисленными инвариантами, то они обращаются в нуль на элементах конечного порядка, и гомомор­ физм

полученный приведением чисел Понтрягина по модулю 2, разла­ гается в композицию гомоморфизмов, первым из которых является проекция л. Так как числа S U) {<§>(т)) [СР (2і)] нечетны, то гомо­ морфизм

ного индекса. Так как Q?°+2/Tors = 0, то (ядро у) содержит идеал, порожденный классами, размерность которых не делится на 4, но тогда из сравнения рангов сразу следует, что (ядро у) совпадает с этим идеалом, в

П р е д л о ж е н и е . Отображение /: BSp -*■ BSO, классифи­ цирующее универсальное кватернионное векторное расслоение, рас­ сматриваемое как ориентированное векторное расслоение, являет­ ся гомотопической эквивалентностью по модулю класса Серра- 2 -примарных конечных групп.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Известно, что Н* (BSp\ Ж) =

= Z[(Pi], где <§>І есть і-й симплектический класс Понтрягина универсального расслоения 4L. Если рассматривать 4L простокак комплексное расслоение, то его классы Чжэия сгі связаны