книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

ГЛАВА VI

НЕОРИЕНТИРОВАННЫЕ

КОБОРДИЗМЫ

Во многих отношениях наиболее интересной теорией кобордизмов являются неориентированные кобордизмы, т. е. теория кобордизмов, связанная с категорией (3), д, і) всех компактных глад­ ких многообразий. Для нас эта теория представляет интерес еще и потому, что проведенное Томом [2] вычисление кольца кобордизмов неориентированных многообразий иллюстрирует в основном все методы, связанные с классификационными задачами теорий кобордизмов, не затемняя их чрезмерными техническими труд­ ностями.

Заметим сначала, что полугруппа кобордизмов Q (3), д, і) разлагается в прямую сумму полугрупп (3>, д, і), где п указы­ вает на размерность многообразий. Эти полугруппы обозначаются обычно через 9ІП, а прямая сумма их обозначается через 9Î*. Пер­ вой структурной теоремой является следующее

П р е д л о ж е н и е . 91„ есть абелева группа, в которой каж­ дый элемент имеет порядок 2; 91* является градуированным ком­ мутативным кольцом, умножение в котором индуцировано пря­ мым произведением многообразий, с единицей, заданной классом кобордизмов точки.

коммутативного кольца. Если р — точка, т о М Х р ^ р Х Ж ^ ^ М , поэтому класс кобордизмов точки р является единицей кольца 9£*. ■

Следующий стандартный шаг — заменить задачу кобордизмов гомотопической задачей. Это можно сделать для неориентирован­ ных кобордизмов описанной выше конструкцией, так как каждое многообразие имеет единственную (ВО, 1)-структуру (1 обозна-

чает последовательность тождественных отображений 1г: ВОг ->- -V ВО,). Функтор забывания из категории (ВО, 1)-многообразий в {3), д, і), игнорирующий {ВО, 1)-структуру для объектов и тривиализацшо нормального расслоения для морфизмов, индуцирует изоморфизм полугрупп кобордизмов. [Функтор забывания сохра­

няет изоморфизмы, вложения границ и суммы.] Пусть М"1cz

ное расслоение вложения произведения Mi X M 2cz Д П1+Г1+П*+Г!!

является суммой Уитни нормальных расслоений сомножителей. Таким образом, имеет место теорема, дающая гомотопическую ин­ терпретацию кольца кобордизмов 91*:

Т- ¥ СО

скольцевой структурой в гомотопических группах, индуцирован­

ной отображениями TBOrj\TBOs ^ - TBOr+s, которые определены с помощью суммы Уитни векторных расслоений.

Следующий естественный шаг — попытаться решить гомото­ пическую задачу. Именно здесь требуется наибольшая изобрета­ тельность, так как разные теории кобордизмов на этой стадии широко различаются. Работа Тома рекомендует в этом месте использовать теории когомологий, для которых рассматриваемые многообразия ориентируемы.

Для неориентированных кобордизмов можно использовать обыкновенные когомологии с коэффициентами в Z2, т. е. теорию когомологий для спектра К (Z2). Для этого требуется подробная информация об операциях в этой теории. Дадим сводку необходи­

При этом а) является ассоциативной градуированной алгеброй над

Z2, порожденной символами Sgl размерности і, все соотношения между которыми задаются соотношениями Адема

[ а / 2 ]

SqaSqb= 2 (

i=0

если а < 2 Ъ (Sq° = 1).

b) Для любой пары (X, А) существует естественное спарива­ ние Л 2 ® H* {X, А\ Z2) ->■ H * {X, A; Z2), такое, что

1) отображение Sql: Нп{Х,А\ Z2) Н пМ (X, A; Z2) аддитивно; 2) Sq°u = и для всех и,

Sqdu = иa, если размерность и равна d, и

с помощью которого в Jl * вводится структура связной алгебры Хопфа над Z2. (Связность алгебры означает, что ее единица определяет изоморфизм группы ( 4 2)° с основным полем Z2.)

Хорошо известно, что кольцо Za-когомологий вещественного проективного пространства Р (81") является усеченной алгеброй полиномов нар; Z2 от единственного ненулевого класса а размер­ ности один, а,г = 0, и что класс а 11-1 является образом ненуле­

вого класса і Ç Я "-1 (Sn~x; Z2). Как показано в гл. V, используя эти результаты, можно полностью вычислить структуру колец г 2-когомологий пространств ВОГ и ТВОг. В дальнейшем изложе­ нии мы следуем в основном плану Браудера, Люлевичуса и Петер­ сона [1] (см. также Люлевичус [2]).

Обозначим через Я* (ТВО; Z2) прямую сумму групп

Нп (ТВО ; Z2) = lim Hn+r(TBOr; Z2).

r - v o o

Л е м м а. Отображения ТВОТД TBOs TBOr+s, определен­ ные с помощью суммы Уитни векторных расслоений, индуцируют диагональное отображение

ф :Я *(ТЯ О ; Т2)-+Я* (ТВО; Z2) ® Н*(ТВО; Z2),

превращающее Н* (ТВО; Z2) в связную коалгебру над Z2 с коедіь-

ницейіі £Я° (ТВО; Z2). Кольцо Н* (ТВО; Z2) является левым модулем над алгеброй Хопфа Jk2, таким, что ф есть гомомор­ физм Л;2-модулей и гомоморфизм

v:Jh2 -+H* (ТВО; Z2) : а -*■ а (Я)

является мономорфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Все утверждения леммы очевидны, за исключением последнего о мономорфности гомоморфизма ѵ. •Докажем, что ѵ — мономорфизм. Используя принцип расщепле­ ния и вычисление класса Тома для линейного расслоения, пред­ ставим класс U в виде формального произведения V — х ѵх2х 3. . .

одномерных классов xit i ^ 1. Из формул Адема следует, что

числом показателей ?у, не равных 1. Упорядочим такие мономы,

то наибольшим мономом в элементе SqIV является моном х^х^ . . .,

два. Таким образом, Sq1 U = S^U + 2 S a>U, где разбиение ю =

Так как все разбиения со (/) различны (со (/) полностью опреде­ ляется набором I), то гомоморфизм ѵ является мономорфизмом. [Это стандартное рассуждение, используемое для вычисления

Объединяя результаты лемм, получаем следующее утвержде­ ние:

Т е о р е м а. В размерностях, меньших или равных 2?■, кольцо

Н * (ТВОг\ Z2) является свободным модулем над алгеброй Стинрода А*,, и фактически в размерностях, меньших 2г, пространство ТВОТ имеет гомотопический тип произведения пространств Эйленберга — Маклейна К (Z2, п).

Таким образом, группа ïïtn является векторным пространством над Z2, размерность которого равна числу недиадических разбиений числа' п (разбиение со = (ij, . . -, іг) называется недиадическим, если ни одно из чисел Ц не имеет вид 2" — 1), и два многообразия неориентированно кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые числа Штифеля — Уитни.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме стабилизации, имеет место изоморфизм Н г+г(ТВОг; Z2) = Н г+г+1 (ТВОт+і; Z2) для i ^ г. Поэтому в размерностях ^ 2 r кольцо H* (TBOr; Z2) является свободным ^ 2-модулем, и существует отображение про­ странства ТВОт в произведение пространств К (Z2, п), п ^ г, индуцирующее изоморфизм Ж2-когомологий в размерностях, мень­ ших или равных 2г. Применяя обобщенную теорему Уайтхеда (Спеньер [1], стр. 659), получаем, что это отображение индуцирует гомоморфизм гомотопических групп, который в размерностях, меньших 2г, является изоморфизмом по модулю элементов нечет­ ного порядка. Для простого нечетного числа р имеет место точная последовательность

О ч-Я* {BOr_ù Zp) ^ Н * (BOr; Zp) ч-Я* (ТВОт; Zp) ч-0,

возникающая из точной когомологической последовательности пары (Dyr, Syr). Из точности этой последовательности следует,

что Н* (ТВОт\ Zp) = 0 в размерностях, меньших 2г. Поэтому отображение пространства ТВОт в произведение пространств К (Z2, п) является гомотопической эквивалентностью в размер­

ностях, меньших 2г. Так как ранг группы Н п (ТВОт\ Z2) равен числу всех разбиений числа п, а ранг группы Jt\ равен числу диадических разбиений числа і, то ранг гомотопической группы я„+г (ТВОт, оо) равен числу недиадических разбиений числа п, если г > п. Так как эта гомотопическая группа изоморфна группе 9Î,, для большого 7', то тем самым ранг группы 9ІП вычислен.

Поскольку гомоморфизм Гуревича является мономорфизмом для произведения пространств К (Z2, п), он является мономор­ физмом и для пространства ТВОг в размерностях, меньших 2г. Следовательно, класс кобордизмов определяется характеристиче­ скими числами Z2-KoroMonornfi. g

Окончательное описание кольца кобордизмов 9Î* содержится

вследующей теореме:

Те о р е м а. 9ц. является кольцом полиномов над Z2 (с едини­ цей) от образующих хь размерности і, где і пробегает все положи­

тельные числа, не равные 2s — 1, s ^ 1; в качестве xt может бытъ взят класс кобордизмов любого замкнутого многообразия М г, у ко­ торого S -число S ü) (w (ѵ)) [М] = S a) (w (т)) [АЛ не равно нулю.

З а м е ч а н и я . 1. Если ѵ — нормальное расслоение н т — касательное расслоение многообразия М, то расслоение ѵ ф т

2. Теорему можно доказать, как это сделал Том, показав, что элементы S aU для всех недиадических разбиений со образуют

базис ^-м од уля#* (ТВ О] Z 2) (см. также Уолл [1], стр. 301—302). Так как желательно иметь явные конструкции образующих, то здесь будет приведено не прямое доказательство, разбитое на ряд лемм. Фактически это и будет доказательством того, что указан­ ные элементы SaU образуют базис над

Л е м м а. Допустим, что существуют многообразия М г раз­ мерности і (і ф 2s — 1), такие, что S {i) (w (ѵ)) [М1] ф 0. Тогда кольцо 9Î* является кольцом полиномов от классов кобордизмов многообразий М г. Если многообразия N* (і ф 2s — 1) также дают

систему образующих, то S U) (w (v)) [N1] ф 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Полное упорядочение множества недиадических разбиений числа п относительно порядка •< согла­ суется с частичным упорядочением, согласно которому со<со',

разбиения со. Таким образом, матрица треугольная, и так как Sa (w (ѵ)) [МД ф 0, то все ее диагональные элементы равны еди­ нице (в Z2). Таким образом, многообразия М а линейно независи­ мы над Z2. Из сравнения размерностей '£2-векторных пространств следует, что эти многообразия для всех п образуют базис групп 3>п, который соответствует полиномиальной структуре кольца \)Д.

са [ЛЯ. Таким образом, класс [ЛЯ является гомотопическим инва­ риантом многообразия ЛЯ]

Когомологическая операция Sgh определяет гомоморфизм

сом By многообразия ЛЯ Полезно ввести полную операцию Стин-

иметь следующие несколько свойств полной операции Стинрода.

пенной ряд, начинающийся с 1, можно обратить ряд Sg, опреде­ лив операцию 5g"1. Из размерностных соображений следует, что Бдгх = 0, если і > 0 , и Sg°x = х для элемента х £ Я* (Я1; Z2), т. е. для X £ H* (Sn; Z2) имеет место формула Sgx — ,г. (В терми­ нологии Атья и Хирцебруха Sg есть когомологический автомор­ физм.)

Для установления связи класса By с характеристическими классами необходим следующий результат Тома [1]:

Т е о р е м а . Пустъ U £ Н г (ТВОТ; Z2) — класс Тома. Тогда

является і-й элементарной симметрической функцией от хр, умноженной на Х\ . . . х т. Следовательно, SglU = (я*wt) U U. в

Докажем теперь следующий результат By [1]:

В частности, характеристические классы Штифеля — Уитни являются гомотопическими инвариантами, а класс By является характеристическим классом. Если класс Штифеля — Уитни

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим w = Sqv. Пусть w (v) — нормальный класс Штифеля — Уитни многообразия М, U £

6 Н* (Tv; Z2)— класс Тома и с: Sn+r-*-Tv— каноническая проек­ ция, заданная вложением М а В п+г. Рассмотрим произвольный элемент у£Н*(М ; Z2) и обозначим через х£Н*(М ; Z2) элемент

Sq~hy, т. е. у = Sqx. Тогда,

у -w-ю (у) [М] = с* (я* (yww (v)) U) [iSn+r] =

=с* (Sq (xvU)) [5n+r] =

=Sqc* (xvU) [Sn+r] =

=c* (xvU) [S',+r] =

=(x Kj v) [M\ —

=(Sqx) [M] =

=y Ш].

Так как это равенство выполняется для всех у £ H * (М; Z2), то из двойственного спаривания следует, что w-w (ѵ) = 4. Посколь­

ку w (т) w (ѵ) = 1, это дает формулу w — w (т). Так как [М\ и Sq являются гомотопическими инвариантами, то и ID ( т ) = Sqv — также гомотопический инвариант. Наконец, класс v — Sq~hv задается универсальным классом Штифеля — Уитни w £ £ Н* (ВО; Z2) и поэтому является характеристическим классом. Формула для одномерных классов следует из того, что

со со

Уитни замкнутых п-мерных гладких многообразий задаются соотношениями By, т. е. если ср: Н п (ВО; Z2) Z2 — гомомор­ физм, то тогда и только тогда существует п-мерное замкнутое