книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

ментальном классе многообразия KP (п). Так как класс а к не ин­ дуцирован отображением в сферу, то это вычисление невозможно провести без дополнительных предположений.

Используя проективные пространства, можно построить дру­ гие многообразия, необходимые нам в дальнейшем, характеристи­ ческие числа которых также вычислимы.

Пусть К = Ч или С, и пусть В — классифицирующее простран­ ство для /іГ-векторных расслоений. Предположим, что М п — замкнутое (В, /)-многообразие и р есть Â'-линейное расслоение над

er М есть замкнутое подмногообразие коразмерности к; нормаль­ ное расслоение многообразия L в М индуцировано нормальным

определяет вложение L в R n+r с ^-нормальным расслоением и ото­ бражение пространства Тѵм в TvL, такое, что следующая диаграм­ ма коммутативна:

Тр|і.— —> ікроѵ-і'

В которой Я ] И Л-о — проекции на пространства Тома нормальны:

П р е д л о ж е н и е . Пустъ £ — вещественное векторное рас­ слоение над В. Тогда расслоение £ ® \ допускает структуру ком­ плексного векторного расслоения, задаваемую формулой

і {х, у) = (—У, X), (х, у) 6 Е 0 Е.

Это комплексное векторное расслоение является комплексификацией расслоения £, обозначаемой через £ ® С , м расслоение \ <g> С изо­ морфно своему комплексно сопряженному.

Если \ само допускает структуру комплексного расслоения, то | ® С изоморфно, как комплексное векторное расслоение, расслое­

нию £ © І, где I — расслоение, комплексно сопряженное с h. В этом случае расслоение £ ® С допускает структуру кватернионного векторного расслоения, задаваемую формулами

морфизм расслоения £ ® С с расслоением ему комплексно сопря­

слоения 1 в расслоение £ ® С. Это определяет разложение расслое­

спектр, для которого пространство CP (F) имеет правильные кого­ мологии и обладает образующим а £ H 2 (CP (F); А), таким, что с* (а) — —а. Вещественное расслоение Ннад В имеет тогда класс

к 2-примарным утверждениям, то в этом параграфе мы не будем рассматривать эти классы и дадим следующее

О п р е д е л е н и е . Пусть А —мзыгьтппликативный спектр, для которого пространство CP (F) имеет правильные когомологии

f i (І) = ( - 1)г с2і (і 0 С) 6 Н н (Б; А).

Полным классом Понтрягина называется «формальная» сумма

со

№ = 1 + 2 Ы1)еН*{В; А).

і = 1

Ле мма .ППустъ g — комплексное векторное расслоение, такое,

что c(t)= JJ (1-|-жг), d irait = 2; тогда г=1

= П (I—*?)- ■

t=i

Л ем м а. Пустъ Л, как и выше, —мультипликативный спектр, и пусть l/2Ç.ff0(pt; Л); тогда

№© T ]) = № u g > (T i).

До к а з а т е л ь с т в о . Так как 1/2 6 Н° (pt; А), то группа

подколъцо, изоморфное кольцу полиномов над ff* (pt; Л) от уни­

и достаточно показать, что кольцо, порожденное ими, мономорфно отображается в Н* (ВОп\ Л). Для этого рассмотрим отображение /: BU[nji]-^~ ВОп, соответствующее классификации комплексного [?г/2]-мерного векторного расслоения как вещественного. Имеем

/* (f) = с U с. Тогда

(fi) ~ 2іСоІ‘ + ^2І—2^2 ' ' ■ — ^СІ+ІСІ-1 + Ci

и, следовательно, элементы /* (£рг) порождают подкольцо полино­ мов в кольце Н* (2 ?£/[П2 ]; А).И

Для вычисления кольца Н* (ВОп; А) требуется наложить дальнейшие ограничения на спектр А . Поэтому в оставшейся части этого параграфа мы всюду будем предполагать, что А — это спектр Эйленберга — Маклейна К (£), где S — коммутативное кольцо, содержащее 1/2. Доказательство в этом случае довольно сложное и опирается на изучение ориентированных векторных расслоений.

О п р е д е л е н и е . Пусть V есть тг-мерное векторное простран­ ство над ІИсо скалярным умножением ( , ). Ориентацией про­ странства V называется единичный вектор о"в ?г-й внешней степе­ ни А” (F) пространства V. Еслиеь . . ., еп — ортонормированный базис пространства V, такой, что et Д . . . Де„ = о, то упорядочен­ ный набор (elt . . ., еп) можно рассматривать как ориентацию пространства V.

ориентацию,. задаваемую вектором Д Д іД /\ . . . f\fnAtfm г^е /і, . . . , / „ — некоторый ортонормированный базис пространства W над С.

О п р е д е л е н и е . Ориентированным векторным расслое­ нием I называется векторное расслоение вместе с согласованным выбором ориентаций в каждом слое, т. е. расслоение ç вместе с се­ чением расслоения единичных сфер детерминанта det £ = А11(Н), dim I = п, расслоения слоем расслоения det \ в точке х являет­ ся пространство А" (ТД), где Ѵх — слой расслоения t в точке х.

П р е д л о ж е н и е . Пустъ g = (В, Е, р, + , •) — ориенти­ рованное п-мерное векторное расслоение. Существует единственный

класс U £ Пп (7'Е; Z), такой, что для каждой точки b £ В и сохра­ няющего ориентацию изоморфизма /: R n — Е ъ индуцированный

класс (Tf*) (U) Ç Hn (Sn; Z) является стандартным образующим.

жения слоев над точками 0 и 1 в слой расслоения S над точкой b гомотопны (относительно отмеченных точек).

ментов из образа гомоморфизма я*, где я: S -*■ В — проекция, то можно считать, что s*F = 0. (Это условие однозначно определяет У.).Таким образом, кольцо H* (S ) является свободным H* (В)- модулем от образующих 1 и У.

Используя сечение s: В —>- S, можно образовать пространство S/В, которое совпадает с пространством Тома Т\. Следовательно, точная последовательность пары (S, В) дает короткую точную последовательность

0 ч- Я* (В) £ - H* {S) <Д- H* (TQ ч- 0,

отождествляющую кольцо Н* (Т|) с кольцом ker s*, которое является свободным Н* (5)-модулем от V: Положим U = %_1(F). Так как Н° (pt; Z) з* Z, то класс U определен однозначно с точ­ ностью до знака, т. е. с точностью до выбора ориентации расслое­ ния на каждой компоненте базы В. я

жение, индуцированное нулевым сечением. Тогда классом Эйлера е (t) расслоения | называется класс когомологий t* (U) Ç //n (В; Z).

вого сечения, то не очевидно, что отображения s и s должны быть

гомотопны, и поэтому не очевидно, что класс когомологий s* (F) должен быть нулевым.

Л е м м а . U u U = р* (е (£))■£/.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть D и Я0— расслоения дисков

Так как В является деформационным ретрактом пространства D, то отображение zp гомотопно тождественному отображению, и по­ этому p*z* = 1. Таким образом, р* (е(%)) U = (i*U) U. Теперь осталось заметить, что внешнее произведение (i*U) U совпадает

свнутренним произведением U\jU. я

Сл е д с т в и е . Если п нечетно, то эйлеров класс е (Ê) имеет порядок 2 и, следовательно, равен нулю в группе H* (В; S), если

BSOn -V ВОп расслоение у11 индуцирует над BSOn универсальное ориентированное расслоение уп.

ражение, полученное путем забывания комплексной структуры. Характеристические классы, описанные в формулировке предло­ жения, при гомоморфизме h* отображаются в алгебраически неза­ висимые элементы кольца H* (BU[n/2у, S ), и, следовательно, кольцо H* (BSOn; S) содержит требуемое полиномиальное под­ кольцо. Оставшуюся пасть доказательства проведем с помощью индукции по п.

Для п — 1 пространство BSOi является двулистным накры­ тием пространства R.P (оо), т. е. является бесконечномерной сфе­ рой, и поэтому оно стягиваемо.

Для п = 2 ориентированное /г-мерное векторное расслоение имеет структуру комплексного линейного расслоения. Действи­ тельно, если V — ориентированная 2-мерная плоскость с ориента­ цией о и V Ç V, то существует единственный вектор w 6 V, \ w \ —

комплексной структурой, определяет исходную комплексную

S(yn) ^ D ( r ) - + T ~ n’

Точка пространства S (уп) представляет собой ненулевой вектор в ориентированной n-мерной плоскости, ортогональным дополне­ нием к которому является (п — 1)-мерная ориентированная плос­

кость. Это определяет расслоение S (уп) -v BSOn_i со слоем бес­ конечномерная сфера. Расслоение над S (у71), индуцированное рас­ слоением уп, имеет сечение, с учетом которого его можно предста­ вить в виде у71-1 © 1. Проекция и нулевое сечение расслоения D (у") -*• BSOn являются гомотопическими эквивалентностями

пространств BSOn и D (уп). Таким образом, точная последователь­ ность пары (D (у’1), S (у11)) приводит к точной последовательности)

Я* (S (у11)) ч- Я* (D (уп)) ч- Я* ( îÿ )

I____________-_____________ t

где Ф — изоморфизм Тома. Гомоморфизм а имеет степень п, и так

как пространство BSOn отождествляется с пространством D (у11) при помощи нулевого сечения, то а является умножением на эйле­

ров класс. Гомоморфизм Ъ переводит f i (уп) в f ; (у”-1), так как

расслоение у 11 индуцирует расслоение у"-1 ® 1. Вычисления, необходимые для шага индукции, проводятся теперь непосред­

тием пространства ВОп, поэтому H* (ВОп\ S) можно отождест­ вить с подкольцом кольца H* (BSOn\ S), состоящим из классов когомологий, неподвижных при гомоморфизме, индуцированном отображением х: BSOn BSOn, переставляющим листы накры­ тия. Доказательство предложения следует из того, что х* (f t) =