книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Многие изложенные идеи принадлежат к типу «хорошо изве­ стных работающим в этой области, но неопубликованных»; несколь­ ко идей принадлежат лично мне.

Изложение построено в соответствии с моими собственными вкусами и в общих чертах может быть описано следующим обра­ зом. В теории кобордизмов существуют три центральные идеи:

1)определение групп кобордизмов,

2)сведение к гомотопической задаче,

3)установление инвариантов кобордизмов.

Этот материал охватывается в первых трех главах. Далее чи­ тателю придется погрузиться в специфику конкретных кобор­ дизмов. В четвертой главе приведен обзор литературы, а в ос­ тальных главах подробно рассмотрены наиболее важные конкрет­ ные примеры кобордизмов.

Я обязан многим за то, что они склонили меня к этой работе и развивали мои идеи в этом направлении. Особенно я благода­ рен Г. Брамфилу, П. Ландвеберу и Л. Смиту за многочислен­ ные советы при подготовке этих записей. Я обязан Принстон­ скому университету и Национальному научному фонду за фи­ нансовую поддержку.

Р. Стонг

ГЛАВА I ВВЕДЕНИЕ. КАТЕГОРИИ К0Б0РДИЗМ А

Для того чтобы указать место основного понятия теории кобордизмов в математической перспективе, напомним, что дифферен­ циальная топология занимается изучением категории гладких многообразий и дифференцируемых отображений главным образом относительно категории всех топологических пространств и их непрерывных отображений. В несколько менее научных терминах дифференциальная топология — это изучение гладких многооб­ разий специалистами по топологии всеми доступными им мето­ дами. Характерным является то, что при этом не приходится исследовать такие структуры, как, например, римановы метрики или связности, что отличает дифференциальную топологию от диф­ ференциальной геометрии.

Понятно, что основным вопросом здесь является классифи­ кация объектов с точностью до изоморфизма и определение эффек­ тивных и вычислимых инвариантов, различающих классы изомор­ физма. В случае категории гладких многообразий эта задача не разрешима, так как для любой конечно представленной группы S можно построить четырехмерное многообразие М (S ) с фунда­ ментальной группой S таким образом, что многообразия М (S) и М (Т) будут гомеоморфны тогда и только тогда, когда группы

образом, основываясь на отношении эквивалентности значительно более слабом, чем изоморфизм.

Говоря кратко, два многообразия без границы называются «кобордантными», если их несвязное объединение является гра­ ницей некоторого многообразия. Следует отметить, что каждое

рбычно ограничиваются рассмотрением только компактных мно­ гообразий.

Впервые описание этого отношения эквивалентности много­ образий встречается в работе Пуанкаре [1, § 5]. Его идея гомо­ логий фактически совпадает с современной идеей кобордизмов.

Следующий вклад в развитие теории кобордизмов внесла работа Л. С. Понтрягина [1], в которой показано, что характе­ ристические числа замкнутого многообразия равны нулю, если ато многообразие является границей. Тем самым Л. С. Понтрягиным были введены инварианты классов кобордизмов.

Классификация многообразий относительно кобордизма являет­ ся довольно элементарной в размерностях 0, 1 и 2, так как в этих размерностях многообразия элементарно классифицируются относительно диффеоморфизма. Задача классификации относи­ тельно кобордизма в размерности 3 была решена В. А. Рохли­ ным [1] геометрическими методами.

Первое применение теории кобордизмов было получено Л. С. Понтрягиным [2], который попытался изучить стабильные гомотопические группы сфер как группы классов кобордизмов «оснащенных» многообразий. В этой работе впервые была пока­ зана эквивалентность гомотопической задачи и задачи кобор­ дизма. Недостаток знаний о многообразиях не дал возможности существенно использовать этот результат для решения гомото­ пической задачи.

Особенно большой вклад в развитие теории кобордизмов внесла работа Р. Тома [2], в которой показано, что общая задача теории кобордизмов эквивалентна некоторой гомотопической задаче. Многие интересные задачи классификации многообразий, сведенные благодаря работе Тома к гомотопическим задачам, получили свое полное решение. Таким образом, Р. Том привлек метод Понтрягина для изучения многообразий, обратив его перво­ начальную идею.

Среди кратких набросков теории кобордизмов наиболее значи­ тельный интерес представляют следующие три обзорные статьи. Ранний этап развития теории (до работы Тома) отражен в обзоре Рохлина [3]. В короткой статье Милнора [8] рассмотрены многие важные примеры классификационных задач теории кобордизмов. В обзоре по дифференциальной топологии Уолла [6] содержится обсуждение представимых теорий кобордизмов и указываются методы, при помощи которых были решены классификационные задачи этих теорий.

Категории кобордизма

Для того чтобы формализовать понятие теории кобордизмов, по-видимому, полезно описать наиболее общую ситуацию. Для выработки модели рассмотрим свойства гладких многообразий.

Пусть 3) — категория, объектами которой являются компакт­ ные гладкие многообразия с границей (класса С°°), а морфизмами—■ гладкие отображения (также класса С°°), переводящие границу в границу. В этой категории определена конечная сумма объек-

тов, задаваемая несвязным объединением многообразий, и она имеет начальный объект, заданный пустым многообразием 0 . Для каждого объекта категории 3 определена граница этого объекта, также являющаяся объектом категории 3 \ для каждого морфизма определено сужение его на границу. Кроме того, гра­ ницей объекта, являющегося границей другого объекта, будет всегда начальный объект 0 . Таким образом, переход от много­ образия к его границе определяет на категории 3) аддитивный функтор д: 33-+- 3 , такой, что дд = 0 . Для каждого многообра­ зия М его граница дМ является подмножеством, вложение кото­

теореме влояшния Уитни, каждое гладкое многообразие диффеоморфно подмногообразию счетномерного евклидова пространства. Тем самым категория 3 имеет малую подкатегорию 3 0 (состоя­ щую из подмногообразий пространства такую, что каждый объект категории 3 изоморфен некоторому объекту категории 3 0.

Абстрагируя перечисленные выше свойства категории 3 , мы приходим к следующему определению:

О п р е д е л е н и е . Категорией кобордизма называется тройка

объект категории % изоморфен некоторому объекту категории ^ 0.

Целью нашего определения не является построение предельно общей структуры; скорее определение будет использовано для того, чтобы упорядочить уже развитую теорию и выявить общие идеи.

Начнем с того, что в каждой категории кобордизма определено отношение кобордизма.

О п р е д е л е н и е . Пусть ('S, д, і) — категория кобордиз­ ма. Говорят, что объекты І и У категории 'S кобардантны (обоз­ начение X == У), если существуют объекты U и V категории 'S, такие, что сумма объектов X и dU изоморфна сумме объектов У и дѴ.

З а м е ч а н и е . Если встретятся логические трудности с от­ ношениями эквивалентности ^ на категории %, то можно ограни­ читься рассмотрением отношения кобордизма только на множестве классов изоморфных объектов. По этой причине и введено предпо­ ложение о существовании малой подкатегории

c)Если объект X граничный, то он замкнут.

d)Если объекты X и Y граничные, то их сумма является гра­

ничным объектом.

объектов А п В.

ÊS 0.

П р е д л о ж е н и е . На множестве классов эквивалентности (относительно = ) замкнутых объектов категории % определена операция, индуцированная суммой объектов в категории сё. Эта операция ассоциативна, коммутативна и имеет нуль, которым является класс эквивалентности граничного объекта.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из существования подкатегории с6й следует, что классы эквивалентности образуют множество. Из до­ казанных выше предложений следует, что сумма объектов в кате­ гории % индуцирует операцию на этом множестве. Ассоциатив­ ность и коммутативность этой операции имеют место для классов изоморфных объектов, а следовательно, и для классов эквивалент­ ных объектов, в

О п р е д е л е н и е . Полугруппой кобордизмов категории кобор­ дизма (<ё, д, Ï) называется множество классов эквивалентности замкнутых объектов категории % с операцией, индуцированной суммой в %. Эта полугруппа будет обозначаться символом Q (Я, д, і).

З а м е ч а н и я . 1. Полугруппа Q ($, д, і) может быть опи­ сана также как полугруппа классов изоморфных замкнутых

пе Тома 9Д классов кобордизмов неориентированных замкнутых гладких многообразий. Чтобы пояснить это, напомним, что, согласно обычному определению, замкнутое многообразие 'X эквивалентно замкнутому многообразию Y (обозначение X ~ У),

торых многообразий U и У, Без ограничения общности можно считать, что ни одна из компонент многообразия X не диффеоморфна ни одной из компонент многообразия Y . Тогда X (J Y = = дТ, где Т — многообразие, полученное склеиванием многооб­ разий X [J U и Y IJ V вдоль трубчатых окрестностей их диффеоморфных границ, и, следовательно, X ~ Y .

В литературе по кобордизмам описано несколько стандартных конструкций. Как будет далее показано, эти конструкции можно обобщить и провести в произвольной категории кобордизма.

К о н с т р у к ц и я I. Пусть ('S, д, і) — категория кобордиз­ ма, SI' — некоторая категория с конечными суммами и начальным объектом и F: Ч§ ->■ SF — аддитивный функтор. Для любого объек­ та X 6 SF образуем категорию 'S/X , объектами которой являются

начальный объект категории 'ё/Х. Пусть (D, g) и (D1, g') — неко­ торые объекты категории 'S/X и D + D’ — сумма объектов D и D’ в категории 'S. Объект F (D + D') является суммой объектов F (D) и F (D') в категории SF. Отображения g и g' полностью опре­ деляют отображение g + g': F (D + D') Z, и пара (D + D ', g + g') является суммой объектов (D, g) и (D', g') в категории 'ë/X.

жений, то мы получим полугруппу Q (SD/Х , д, г), изоморфную группе неориентированных бордизмов 91* (X), впервые введен­ ной Атья [2].

К о н с т р у к ц и я II. Пусть 2( — малая категория, ('S, д, і) — категория кобордизма, и пусть Fun (21, ?) — категория,

композиция которого с гомоморфизмом ß совпадает с факторгомоморфизмом группы К ('ë'éi), то можно определить полугруппу относительных кобордизмов следующим образом.

Объекты (X, Y, /) и (X Y' , /') категории SP называются кобордаитными (обозначение (X, Y, /) = (X', Y ', /')), если существуют объекты U и U' категории '<?, такие, что Y + dU si Y ' -f- d û ' и

категории Н вместе с операцией, индуцированной суммой объек­ тов в аР.

Имеют место гомоморфизмы

Для того чтобы выяснить связь между гомоморфизмом а и со­ единением двух многообразий вдоль их общей границы, рассмотрим объекты (X, Y, /) категории бРкак многообразия, на границе кото­ рых фиксирована некоторая дополнительная структура. Для

k = / ' -1 F (g)f. Этот класс не зависит от выбора изоморфизма g, ибо если g' —другой изоморфизм, то мы дюжем приклеить дптого-

образие X ' X / к (XUA ( - Х ')) X /L |[± (X (JA- (— X'))] X I, так. что разность двух представителей будет кобордантна многообра­