книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Относительные группы

Если имеет место коммутативная диаграмма

BOr—>BOr+1

в которой отображения hr, dr являются расслоениями, а отобра­ жения g>, Är послойными, то (В, /)-структура на многообразии индуцирует (С, с/)-структуру на нем при помощи «редукции» h. Это определяет функтор h из категории кобордизма (В, ^-много­ образий в категорию кобордизма (С, ^-многообразий. Относи­ тельным многообразием называется многообразие W с границей, имеющее такую (В , /)-структуру на границе dW, которая при редукции h определяет на dW ту же (С, гі)-структуру, что и (С, d)- структура на дW, индуцированная (С, ^-структурой многообразия W. Используя стандартный «склеивающий» гомоморфизм, можно определить полугруппу относительных кобордизмов.

Вложим границу dW в пространство R n~r (г большое) с подня­ тием нормального отображения в Вг и продолжим это вложение

гонально в точках границы dW. Если выбрать поднятие нормаль­ ного отображения многообразия W в Сг, ограничение которого на dW совпадает с А-редуцированным поднятием нормального отображения границы dW, то, используя отображение трубчатой окрестности вложения и фиксированные поднятия, можно постро­ ить отображение

0: (Dn+r+\ Sn+\ oo) = (tfn+r+1U°o, Rn+r{Joo, со)-+(ТСТ,ТВг, oo).

Если многообразие W кобордантно многообразию W (в категории относительных кобордизмов), то существует такое (В, ^-многооб­ разие ///дающее кобордизм многообразий dW и d W , что если в многообразии W\J (— U) U(— РЕ') отождествить диффеоморфные подмногообразия (dW)[j( — dW') и dU, то полученное замкнутое (С, (^-многообразие будет границей дМ некоторого многообразия М. Многообразие М можно так вложить в Нп+Г+1, что его граница

(которые не существенны в гомотопической ситуации), то нормаль­ ные отображения и их поднятия определяют гомотопию

(п + 1)-мерных относительных кобордизмов (обратный элемент

Г— >со

групп относительных кобордизмов можно отождествить с точной гомотопической последовательностью «пары» (ТС, ТВ).

Н п{Х ,А ; E) = lim [T{X/A), En+t],

i-^-OO

где (X, А ) —пара клеточных комплексов, Х /А —комплекс, полу­ ченный из X стягиванием подкомплекса Л в точку, которая счи­ тается отмеченной точкой в Х /А , символом Д обозначено приведен­ ное произведение пунктированных пространств, т. е. U Д V = = U X F/(?7 X *) IJ (* X F), и символом [ , ] обозначено множество гомотопических классов пунктированных отображений.

мологий и гомологий, за исключением, быть может, аксиомы раз­ мерности.

О п р е д е л е н и е . Мультипликативным спектром называет­ ся спектр JL = {Ар, ар} вместе с отображением a: S —>■И. и спа­ риванием т: (J. Д Л) -»- А , т. е. с совокупностью отображений mp,q: Ар /\ А д ^~ Ар+д, таких, что:

1) отображения в диаграмме

в группе A p+q\ элемент, равный ( —1)р<г [а], где [а] — гомотопический класс отображения а.

[Если g = 0, то множество [2чЛр, A v+q] не является группой, но в этом случае ( — 1)р'7= 1, и поэтому для нахождения отображения

->■ Нп+Г, при котором граница дМ вкладывается в і?п+г-1 с обыч­ ным ортогональным оснащением трубчатой окрестности границы дМ — дМ X Ос- М (как обычно, эта окрестность представляется

р — проекция пространства расслоения на его пространство Тома,

длины не меньше единицы переходят в отмеченную точку, в нее же

отображения с с проекцией ГіѴ—ь TN/TN' переводит подпростран­ ство R n+r~1 в отмеченную точку и, следовательно, определяет про­ екцию с: S n+r = (H n+r U оо)/(Лп+г-1 [Jоо)->- TN/TN'.

Пусть U = {Ur}: Т В -* A — некоторый класс Тома. Компо­ зиция отображений

обозначаемый через [М, дМ]. Легко видеть, что этот элемент зави­ сит только от (В, /)-структуры многообразия М.

О п р е д е л е н и е . Пусть М п — некоторое (В, /)-многообра- зие и U: Т В -* А — класс Тома. Фундаментальным классом пары (М, дЩ называется класс [М, дМ] Е Нп (М, дМ; Л). Если дМ —

=0 , то этот класс обозначается через [М\ Е Нп (М\ Л). Рассмотрим отображение

d:МІдМ -* Ml{dM\J{M — дМ X (0, 1))} = 2 (дМ /0),

стягивающее в точку дополнение к трубчатой окрестности границы. Это отображение определяет граничный гомоморфизм в гомологиях

д: Hs (М , дМ; А) -* /Д_і {дМ; А).

Взяв композицию отображения, определяющего элемент [М, дМ], с отображением d Д 1, мы непосредственно получаем, что резуль­ тирующее отображение является надстройкой над отображением, определяющим элемент [дМ\. Таким образом, имеет место

П р е д л о ж е н и е . При граничном гомоморфизме в А-гомо- логиях фундаментальный класс пары (М, дМ) переходит в фунда­ ментальный класс многообразия дМ.

О п р е д е л е н и е . Универсальным характеристическим классом (В, /)-расслоений с коэффициентами в спектре Л назы­ вается произвольный класс х Е Н* (В ; Л), где В = lim (B r, gr).

£ называется класс х (|) = | *g* (х) Е H* (X; Л), где gr: В г ~* В — обычное отображение в предельное пространство.

Пусть М п — некоторое (В , ^-многообразие. Тогда х-нормалъ- ным характеристическим классом многообразия М называется

многообразия М называется элемент группы Нр~п (pt; А), полу­ ченный вычислением характеристического класса х (М ) на фун­ даментальном классе многообразия М. Более подробно, пусть представителем элемента х (М) 6 НР(М\ А) является отображе­ ние %: 2 ! (МУ 0)->-Ар+і и представителем элемента [М] Ç Нп (М; А)

Ценность характеристических чисел в теории кобордизмов объясняется известным результатом Понтрягина [1]; обобщенная теорема Понтрягина утверждает следующее:

Т е о р е м а . Пустъ М п — замкнутое (В, /)-многообразие и x(z Нѵ (В; А). Тогда х-характеристическое число х [М] многообра­ зия М зависит только от класса (В, ^-кобордизма многообразия М.

где ô — когомологический пограничный гомоморфизм, индуциро­ ванный стягиванием d: WldW Б (dW!0 ). Так как когомологи­ ческая последовательность пары (W , dW)

Нѵ(W ; А) Д Нр (dW\ А) Л H p+1(W, dW; А)

точна, то бі*а:(П/) = 0; следовательно, и х [М] = 0. g

З а м е ч а н и е . Для данной последовательности расслоений

В —> В —ь-ВО произвольный элемент ydH *(B , В\ А) можно рас­ сматривать как относительный характеристический класс. Если

дано (В , ^-многообразие М с (В, / о ^-структурой на дМ, то опре­ делено относительное характеристическое число у [М, дМ\ £ € H* (pt; А), так как нормальное отображение имеет поднятие

(М, дМ) (В, В). Покажем, что относительные характеристиче­ ские числа являются инвариантами класса относительных кобор­ дизмов. Опять ввиду аддитивности характеристических чисел достаточно рассмотреть случай, когда [М , дМ] = 0 . В этом слу­ чае существует (В, /)-многообразие W, граница которого dW

Таким образом, описанный выше гомоморфизм в гомотопических группах переводит класс кобордизмов многообразия М п в образ при нормальном отображении фундаментального класса многооб­ разия М п. Следовательно, спаривание гомологий и когомологий пространства В со значением в когомологиях точки определяет гомоморфизм

Qn (В, /) ® Нѵ (В ; А) Нп (В- А) ® Н р (В ; А ) ^ Н р~п (pt; JL),

совпадающий с гомоморфизмом вычисления характеристических чисел.

Кроме того, композиция отображений

с гомоморфизмом я* о (CAU), так как отображение ср является ком­ позицией отображения я Д 1 с отображением, использованным при определении n -произведения.] Таким образом, гомоморфизм

U (по крайней мере после устремления г в бесконечность). Рассмотрим теперь гомоморфизм Тома в теории когомологий.