книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

нальном

отображении

À:

H** (BU;

Q I ) H** (BU;

О.)®

® H** (BU ; Cl) имеем

ЛSa (е) =

У

S a>(е) ® (е) и A<jp =

=

<5° ®

IP.

іо'м"=м

Определим функцию р: Я* (BU; <Ш-И& [6;] по формуле р (а) =

=

S (*5<о

(е) of) [а] ßffl,

где

со =

(іи ■■-, b), ßw= ßn •

• • ßi,.-

CO

ся

кольцевым

гомоморфизмом.

[Имеем

ех — 1 =

х -f- члены

более

высокой степени по

х,

поэтому S ш(<?) И = Sa (с) + пле­

ны

более

высокой степени,

и,

следовательно,

для

любого

а £

£ Я* (BU;

О,) сумма

в формуле

для

р (а)

является

конечной.]

Обозначим через Bn cz IIn (BU;

Q)

= Horn (Iln (BU; <Q);

Q.)

множество

элементов

a £ IIn (BU; Q,),

таких, что p (cc) £ Z [ß;],

и положим В * =

ф Bn cz II* (BU; Cl). Ясно, что B.f является под-

кольцом в

П

Cl). Заметим

теперь,

что

II2i, (BU; Ж) =

Я* (BU;

=

{а £ H 2k (BU;

С,) | S ш(С) [а] £

если п (со) = /с}, и так как

для и £ В 2к и со с п (со) = к число Sm(с) [и] =

Sm(е)ІР [и] является

целым, то B 2k<zz Il 2к

(BU; Т). Кроме того, существует тривиаль­

ное вложение B 2k+lcz H 2k+i (BU;

Z), так как обе группы равны

нулю. Обозначим через р5: В*

L q [ßj композицию отображе­

ния р: 5* -ь TL [ß,] и гомоморфизма приведения

mod q , где q

—

простое число.

квазикомплексное

многообразие

и

Пусть

М п — замкнутое

т (М):

II* (BU;

С)

С — гомоморфизм,

переводящий

х £

£ H* (BU; О.) в значение касательного характеристического клас­

са X (т) на. фундаментальном классе гомологий многообразия М .

Это определяет кольцевой гомоморфизм т:

-> Я* (ВU; С), про

= ch (Sa (у (р)), то для

всех разбиений со

получаем, что

{Sa (е) éf) [хМ] = ch (5Ш(у (х)) éf (М) [М] =

I

0,

если

(п— п (со)) нечетно,

~ \

Ва (у(т))[М]р(іу1, если

(н — гс (со)) = 2*,

т. е. число

(е)аР} [тМ] является целым для всех со, и поэтому

т [М] £ Вп.

Таким

образом,

имеет место

вложение xQ^cz Bn cz

с=Я„ (BU;

Z).

Пусть Р £ ~Lq [ßb

. . .] — некоторый по­

О п р е д е л е н и е .

лином

от переменных ß;. Скажем, что Р имеет наибольший моном

ßi, . .

. ßj ,

если

ßco

Если полиномы P, Q Ç

[ßi, . . .] имеют наибольшие мономы

и ßto'i

то полином P -Q

имеет

наибольший

моном ß^ ß^- =

=

ßöjUtu'*

Если Pi 6 TLq [ßi, . . .],

i = 1, . . .,

п,— полиномы,

і +

1 ф ps ни для какого s,

и наибольший моном [ß s-i_ 1]p, если

і +

1 =

р3 для некоторого s.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для (і + 1) ф 0 (mod р) положим

М і —

= СР(і).

Тогда

{5(І)(в )^}[тЛ ^]= 5 (і,(с)[СР(і)] = (і +

1 ) ^ 0

(mod р).

(і-{-1) == 0 (mod р),

ио (i-j-l)^= ps

ни для какого

s, то

Если

(і + і) —рг (ри-\-ѵ),

где г > 0

и О С ѵ С р .

Для и = О и

у > 1

ѵ\

Для

u > 0

положим

М \ = НрТѵ_рГ+іи-

I^O(modp).

Тогда {5(і> (е) éf) [xAff] = S ti) (с) [тЩ] = -

(modp).

Если і + 1 = ps для

некоторого

s,

то

положим

М \ =

= Hps-i__

р5-і

(Р

индексов).

Тогда

{5Ш(е) éf) [тМ?] =

= S<Ù(V (X)) [Мі ] =

0 (modp),

если гг(со)>р3—р,

за исключением

случая, когда п (со) = ps—р и со является

измельчением

разбиения

(ц - 1 - 1 ,

1). ■

С л е д с т в и е .

Для

любого разбиения со =

(гь

. . ., іт) положим

М ш= М іі X .. • х М ц .

Тогда

для

каждого

простого

числа р

и каждого

целого

числа п

полиномы

рр (хМ?а) = рр (тМц) ...

.. .рр (тМ іг), где со Ç я (тг),

линейно независимы в кольце Zp [ßj, . . .].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Полиномы

рр (TMS), где

со

пробе­

Л е м м а. Пустъ М* — градуированное

надкольцо

градуиро­

ванного кольца полиномов Z [oti, а 2, . .

deg а,

= і.

Если для

каждого простого р существуют элементы cf 6

г ^

1, такие,

что MJpM* = Zp [cf],

то кольцо М* является кольцом целочис­

ленных полиномов над Z

от классов І>і £ Mt, г ^

1. .Если cf* с

как

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим ß* = Z [ai, . . .]. Так

Ä „ c

ß n, то

является свободной абелевой группой ранга

не

больше

| л (?г) | , где л (п) — множество разбиений числа п.

Так как группа М п 0

Zp — {MJpM,¥)n является | л (и) |-мерным

I

^ W I-

а'ш = 2^'CÛ'OSCÙ' — некоторый базис группы

М п, где со,

Пусть

о '

£ л (п),

А,ш“ 6 Z.

Применяя

обычный

процесс

приведения

к

треугольному виду

(как для целочисленных матриц), можно

из базиса

{а’ш} получить новый базис а0 =

со, со' 6 л (п),

€ Z, для которого

= 0, если со ф (?г), и f (f) равен наиболь­

шему общему делителю чисел

Х ^ . Для

каждого п

обозначим

можно

задать

элементом

Ьп и элементами аа = У.Цщ'бщ', где со,

со'

(/г), со,

со' ф (п),

р,“, 6 Cl.

Предположим по индукции, что в размерностях, меньших п,

кольцо

М-it является кольцом целочисленных полиномов от клас­

сов Ъі,

і < п. Пусть L — свободная абелева группа, порожденная

элементами аш,

и М — свободная абелева группа, порожденная

элементами

Ьш,

где со £ л (п) и а

Ф (п).

Так как М

состоит

только из

разложимых элементов

кольца

ß n, то М a

L, и так

ный I зх (та) I — 1),

что и образ группы L, и

индекс

группы М

в L не может делиться на р.

Так как это верно для всех простых р, то М = L. Следова­

тельно, группа

имеет базис, состоящий из элементов Ьш, со £

6 л (/г), и поэтому

является кольцом целочисленных полиномов

от классов

Ьг,

і <

п + 1, в

размерностях, меньших

п +

1, что

завершает

шаг

индукции.

Таким образом,

J?* =

Z [&і,

. . .].

эпиморфно

отображается на £Яп ® Zp. Поэтому ранг группы

ofn равен

I л (п) j,

и

индекс группы éfп в Мп не делится на р

для всех

простых

р.

Следовательно, <£Рп = SR,n для всех п. ■

±

1,

если

г' +

І[Ф ps ни для какого простого р,

±

р,

если

г +

1 — ps для некоторого простого р

{

и целого s.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В

обозначениях

леммы

положим

Z[oj,

J2* = £*, cf* = xQ^ и с? = тМ?, где М \—

введенные выше многообразия. Тогда cf* = J?*

является кольцом

целочисленных полиномов от классов Ъі размерности

2і. Далее,

сом. После

приведения по модулю р

получаем,

что

Q* ®

=

= Zp [ôi] — Zp [cP],

так

что Ъі = х-сѴ-Ц и + рѵ,

где

zÇZ,

хф О

(mod p), и — разложимый элемент

и

и, ѵ £ 5І2

Таким образом,

'S'cij (с) [Ьі] =

л:»Sfi)(с) [cf]

(mod р ) ,

следовательно,

5(і) (с)

[&г] =

s 0 (mod р ) ,

если

i +

и

5,;, (с) [Ьг] ф 0

(modp),

если

( і і ) Ф ps.

Итак,

если

іфі=/=р*

ни для какого р,

то число

} (с) [£>і]

не делится ни

на какое

простое число

р

и

должно

равняться

± 1 . Если i + l=_ps, то р

является единственным про­

стым числом, на которое делится число 5(j) (с) [&;]•

Так как число

S(vs-D (с)

ps_1J =

V

} - ( 2

я?о) [£/>] =

= Г £

+

г=і

І—1

г=1

= - ( 2

[ср\

р - Н р

-

і)\

ра-1

) ■■•

і=1

З а м е ч а н и е .

Это вычисление того же типа, что и в гл. V.

Здесь s> 1, такчтоps— 1 >

ps_1 и

(л* (ос))р*_1 = 0 приусловии,

что р Ф 2

или s > l .

Дляр = 2,

s =

1получаем

число

2

2

_ 2

_

12 2lt* (а) — 2^*(a)} ( 2 я*(а)) [СР],

которое

отличается

только

1

1

1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение теоремы — прямое

следствие изоморфизма В * =

доказанного выше. ■

цебрухом (см. Атья и

Хирцебрух [3]).

Рассмотрим опять

случай,

когда

г + 1 = ps

для

некоторого

простого р (единственного), и

представим образующий Ьі в виде

Ъі = хсі -j- и -\-рѵ, а; 6 Z,

а; =£ 0 (mod р),

и,

и и —разложи­

мый элемент. Заменив Ьі на элемент

Ь[ — Ъ, —и = хсѴ

рѵ, полу­

г > 1, кольца £2^ и zt, i ^

1, кольца Н * (5 £7; Z), такие, что та* =

= иг* -Zj, где

С/5,

если

(£-|-l) = ps

Зля

некоторого простого р,

ті = {( 1. в остальных случаях.

Д ля разбиения а>— (іи ... , іГ) положим

та = тц ... 1Щг. Тогда

конечная группа

H 2h{BU; J.)/xQ,2h

является прямой суммой

циклических групп

T-jm^L

для всех сùÇn(k).

и Нпи п„ которые порождают

все £2*. [ 5 ^ ^

(HpS-i pS_p5-i) =

, если ps_1> .l, и

S ip-H (CP (p — 1))

= p, поэтому эти

Если показать, что существуют классы х і и

х \ £ Ч12.,

такие,

ЧТОS(i) (с) [Ті] = ПІІ и S{i) (с) [т[] = —та*, то тогда

можно

по ин-

что 412j = ^ 2 і

для

і <.к.

Если

то S a) (с) [я] = Ьщ,

t ÇZ,

и если і ^

> 0,

то

x = tXi- \ - v,

а

если if< ; 0 ,

то

x = \ t \ x'i - \ - v,

где

и—разложимый элемент

и,

следовательно,

н б 1?/* (по предполо­

жению индукции). Таким образом, и х£Ч1*.

Обозна­

Имеем

[СР (г)] Ç 4і 2і,

1,

и £ (І) [СР (і)] = г + 1 ;> 0.

чим через М і с: СР (г

1) гиперповерхность,

задаваемую

уравне-

І+і

(z0, . . . , z i+l)—однородные

нием

S

z5+1=0,

f > 1,

где

коорди-

з=о

1

Производная по zh функции и = 2 4+1

паты в СР(і-і-І).

равна

(f-f-l)z*, следовательно,

все

частные производные функции

и

не могут

одновременно

обращаться в нуль, и М і является неосо­

бой гиперповерхностью. Рассмотрим отображение

СР(І + 1)

(-И

/:

— [J

СР(І +

1) -Д CP((f +

l ) ( H - 2 ) - l ) ,

3=1

являющееся композицией диагонали A (z) =

(z,

. . ., z) и отобра­

жения, задаваемого в локальных координатах формулой ujr

j

=

является алгебраическое

многообразие

M t. Так как

g* (|) =

= \ ® . . .

® і, то /*(!)

=

| t+1, и многообразие M t двойственно

в

СР (і +

1)

линейному

расслоению

gt+1.

Таким

образом,

С {И,) = (1 +

ä)i+1/(l

+

(t + l)ä ),

и число s {[Mt]) =

{t +

1) X

X

[t + 1 — {t + l)1]

является отрицательньш, если

1 ^

i <Z t.

Рассмотрим

множество

целых

чисел

А 2и — {х d Z | х =

= 5(A) (с) [и] для некоторого и Ç Чіги}- Если я, у 6 A 2h,

то х + у £

6 А 2 А- Из приведенной выше конструкции следует, что

А 2и содер­

наименьшее положительное число в А 2к,

а п — наибольшее отри­

цательное

число

в А 2 А- Тогда р +

п =

0

(если р + п > 0 ,

то

р >

р + п > 0 ,

что противоречит

выбору

р\ если р + п <

0,

то п < р +

п <С 0, что противоречит выбору п). Если д Ç.А 2 и, то

q =

tp +

s,

где t, s Ç Z и 0 ^ s <

р,

но тогда s =

д + (—t) р

£

Ç

если

f <

0,

и s = д + tn 6 A 2k,

если

t > 0 ,

и так как

s <

р, то s =

0. Таким образом, Игь является множеством целых

то получится другой класс ориентации

U'i 6 К* {Th), такой,что

ch U'i = T (£)-1t/g, где

T (т|) — универсальный

класс Тода,

задаваемый функцией Д

если с (г|) = П ( і

-H Xj). Классы

1 —е

U'l и Ui связаны формулой £/£ = del

(det обозначает детер-

пу, обозначаемую через

,Гг. Как и для любой пары (В , /)-теорпй,

последовательность

а*fr -

*

\

QU,

Гг

гообразия,

т. е. F^: Й^г

является нулевым гомоморфизмом,

если п > 0 .

Кроме того, гомоморфизм F*: QQ1—>■0% является изо­

морфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

п > 0 группа

не имеет

кручения,

тогда как й£ является

конечной группой,

поэтому

которых имеют место диаграммы

о — у ---------

V £ #•fr ---------

V

----- >- 0

У-п j ,

h n J,

(0 = )Н п (S;Т)-+Нп{ Т В Г ; Ж ) Н п (Т В U,S;

(S; l) (= 0)

для (п — 1 ) > 0

и

(0 ■=--)£#----------

Qbî ' Г г -------------

>- й£г

-----------

^ йо

1

1

—1

= 1

(0 = ) ^ ( Г В Г ;

Ж)-+Ні (Т В Г;

S;

1 ) Я й 0 {ТВ и; Z)

Il

II

II

о

Ж

Ж

n > 1

группа йп’Гг изоморфна

конечной группе й^-і- Группа

Н п(ТВТ7, S; Ж) в этом случае

нулевая, и поэтому с

помощью

чисел

Чжэня нельзя получить

информацию о группе й

Гг.

ный

класс

гомотопий отображения

т |м , содержащий отображе­

ние

М в

отмеченную точку. Тогда

можно найти числа Чжэ­