книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

многообразие, то подмногообразие многообразия М X X, двой­ ственное классу Сі (М X X), имеет те же числа Чжэня, что и мно­ гообразие М X N, где N cz X — подмногообразие, двойственное классу щ (N). Таким образом, д'([М] [X]) = [М ] д' [АЛ. В част­ ности, Я* (W) является кольцом, а его гомоморфизм в Я , (W ® Z2)

—кольцевым гомоморфизмом. Теперь имеет место

Ле мма 6. Гомоморфизм Я* (W)-^-H^ (W ® Z2) отображает кольцо Я * (W) изоморфно на подкольцо, порожденное классами (Іь,)2 и h$h, кф 2 . Таким образом, Я„ (W) является кольцом полино­ мов от классов с4 и с84, к ^-2.

До к а з а т е л ь с т в о . Элемент Ф([СЯ(1)2])=[ЯР (1)2H -8[F4] =

=9 [CP (I)2]—8 [СР (2)] Ç (С, 2) имеет все числа Чжэня, содер­

Таким образом, элемент

Ф (Z&)—Z4n-2® (zâz4n) € V ѣ(С, 2)

мерностей Ж2-векторных пространств получаем теперь, что Я* (Ж) изоморфно этому подкольцу. ■

Теорема. Подгруппа TorsQfu czQf:u имеет вид Tors(Q®u)=0,

если ?г^=8/с + 1 или 8/с + 2, а в случае п = ?>к-\-1 или 8/с-{-2 группа Tors является векторным пространством над Z2, ранг которого равен числу разбиений числа к.

Если 2j = 8А*.+ 4, то отображение д: W 2j{C, 2)—т-йЦІг является

расслоению det тм . Образ гомоморфизма забывания F+: ß.£u —»-Q17 содержит группу ігп д'. Существуют SU-многообразия И78 , /с>• 1,

ставитъ в виде У8,г • 0 или У8П• Ѳ2, где Ѵт — полином от классов И78,1 с коэффициентами в Z2.

детально, нам потребуются характеристические числа со значе­ ниями в ДО-теории. Приведем кратко сводку необходимых фактов.

Существует мультипликативная теория когомологий КО*Т градуированная при помощи целых чисел (положительных и отри­ цательных), такая, что КО0 (X ) является группой Гротендика классов изоморфизма вещественных векторных расслоений над X и КО~4 (X) является группой Гротендика классов изоморфизма кватернионных векторных расслоений над X (обозначаемой через KSp (X)). Теория когомологий КО* является периодической

с периодом 8. Изоморфизм периодичности р: КОг (X) ->■ KOi~8 (X) задается умножением на образующий р (1) группы КО~8 (pt) SÉ.

SÉ KO0 (S8) ^ Z.

Полезно дать следующее геометрическое описание представи­ телей элементов группы КО* (X ). Комплексное векторное расслое­ ние У над X вместе с автоморфизмом J: V У, таким, что Л = = —iJ (т. е. J является аптилинейным отображением), называется

|^Эти названия оправдываются тем фактом, что, например, для

значениям +1 н —1 автоморфизма /, причем оператор умножения

Пусть даны две такие пары (Уь J t) и (У2, / 2). Тензорное произ­ ведение расслоений Уі <g)(Q У2 допускает антилинейный автомор­

физм Ji ® / 2, относительно которого пара (У1 (giQ У2, J t ® / 2)

является

1) вещественной, если оба преобразования J ± и / 2 веществен­ ные или оба симплектические;

2) симплектической, если одно из преобразований является симплектическим, а другое вещественным.

Такое описание умножения в КО* {X ) связывает КО {X ) и -O p (X). [Если (Уь /j) и (У2, / 2) — симплектические расслое­

ного расслоения, изоморфного расслоению Уі ®п, У2, где Ѵ± расІГ

сматривается как правое (Н-векторное расслоение относительно

лен элементом р~г (1 — À), Я — каноническое кватернионное линей­ ное расслоение.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из параграфа главы V о связи между

ограничение элемента а ” на (4?г— 1)-мерный остов равно нулю.

то г*(ап) = 0 и an = d*(w) для некоторого элемента w £ КО"' Таким образом, чтобы провести шаг индукции для НР(п), доста­

точно показать, что w является образующим группы КОЛп (Sm). Рассматривая X как комплексное расслоение, имеем

/*с1і(1|]_| —A,) = ch/*(1[]_| — A,) = ch(2— Х — Х) = 2— ва—е~а = - а 2+

+ (члены более высокой степени), поэтому ch (а) = а -'г (члены более высокой степени). Для нечетных п элемент ап пред­ ставляется 5р-«расслоением», и, рассматривая его как комплексное «расслоение», получаем ch (а71) = -f-ап = d* (•— і), поэтому ch (w) —

Отсюда ясно, что элемент а удовлетворяет всем условиям, необходимым для того, чтобы пространство HP (п) имело правиль­

ные когомологии в ХО*-теории с классом w £ КОіп (S in) в каче­ стве стандартного класса ориентации і, выбранного так, что ch (і) = I для нечетного п и ch (і <g>С) = i для четного п, где

лексное расслоение, переводит образующий группы KSp (54)

в образующий группы К (-S4), то индуцированный ею гомоморфизм согласован с гомоморфизмом надстройки и определяет гомомор­ физм колец ф: КО* (X ) ->■ К* (X ), геометрически представленный в размерностях, кратных 4, отображением (V, J) V.

Теперь наступило время описать кольцо КО* (pt). Кратко говоря, КО* (pt) содержит подкольцо, состоящее из рядов Лорана

от класса р (1) £ КО~8 (pt), и является модулем над этим подколь­ цом с базисом 1, а, b, z, где a £ КО_1 (pt), b £ КО~г (pt), z £

£ KO~4 (pt), и с соотношениями 2a = 2b = 0, a2 = b и z2 = 4p (1).

представляется образом при гомоморфизме периодичности три­ виального комплексного 4-мерного векторного расслоения, кото­ рое представляет элемент 4ф(р (1)).

Гомоморфизм ф: КО* (pt)->-X* (pt) принимает на образующих

следующие значения: ф(а) = ф([) = 0, ф(г)=2р(1)2, ф(р(1))=р(1)4. Рассмотрим [/„-расслоение £ над пространством В с ком­ плексным скалярным умножением (,). Согласно лемме 7 гл. IX,

определено отображение расслоений

Ф: я*(Леѵ(Ё))-^я*(Лойсі©),

где я — проекция расслоения дисков D (£) на В. Согласно след­ ствию леммы б, ограничение ф на расслоение сфер S (£)

является изоморфизмом. Таким образом, элемент л* (Леѵ (%)) —

— я* (Aoddg)) £ К (D (I)), тривиализованный над S (|) при помощи отображения ф, определяет класс й(я*Аеѵ(|), n*Aodd(|), ф) £ EK(D(l), £(£)). Положим Û (l) = p~nd(K*Ает(£), jt*Aodd(g), ф)£

6Ktn (Tl).

Пр е д л о ж е н и е . Û(Q = ( — 1)n U(Q, где U (£)—ориентация, определенная классами Чжэня К-теории.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно утверждению 1 гл. IX,

ориентация U (I) является мультипликативной, поэтому предло­ жение достаточно проверить только для линейных расслоений. Если V — одномерное векторное пространство, то A (F) имеет базис (1, у}, где V — единичный вектор в пространстве V и

d(n*Aev(E), n*Aodd (I), Ф) £ К (Т£)

определено действие антилинейного оператора ц. Так как р.2 = = (—1)п, то таким образом определяется класс

и(£)£'КОІП{П).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если п — нечетное число, то в клас­

се d = d (я*Леѵ (I), я*Лос1<1(I), cp) задается 5р-структура; если п — четное число, то в классе d задается вещественная структура. Применяя оператор вещественной периодичности, в обоих случаях

получаем элемент группы КОіп (TZ,).

Для 5£/2п-расслоений, согласно лемме 5 гл. IX, оператор р является мультипликативным, и поэтому и (Z) является мульти­ пликативным классом Тома.

Ут в е р ж д е н и е . Класс Тома и (%) является ориентацией.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть | — тривиальное комплекс­

ное 2п-мерное векторное расслоение над точкой; 5 17-структура в расслоении £ задается выбором базиса. Таким образом, опреде­

ориентацией в Х-теории, поэтому и (£) является образующим группы KOin (Sin). в

З а м е ч а н и е . Утверждение показывает, что 517-расслоения являются ХО*-ориентнруемыми. Действительно, если | — неко­

в геометрическом рассмотрении этого случая заключается в том, что не существует сколько-нибудь естественного способа геометри­ чески описать группу KOih~-( ).

Имея ориентацию для 517-расслоений, было бы желательно иметь также характеристические классы. Для симплектического расслоения £ над X , согласно общей теории, определены КО*-ха-

Л ем ма. Имеет место формула і|> (я! (£®С))= ( —1 )г р (1)'2гя* (£),

где яг (£) Ç X (X)—класс Понтрягина в К-теории, определенный для расслоения £, рассматриваемого как вещественное расслоение

(см. гл. IX).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, г|) (я| (£ ® С)) = р (l)~2lß, где ß 6 К (X). Для вычисления вида элемента ß можно исполь­

зовать принцип расщепления. Иначе говоря, достаточно рассмот­ реть случай, когда g = А, і = 1 над СР (п). Имеем: ß = 2 —

—А © А = —л1 (А), что и завершает доказательство, ш Полезно отметить, что классы л 1(g) вещественных векторных

расслоений можно определить также следующим образом.

Для любого вещественного векторного расслоения g над X положим

рядом над Z с первым членом t, a t является степенным рядом над Z от и с первым членом и. Определим классы я^ (g) Ç КО (X ) по формуле

( ‘ + п я Г ]

= 2 (л^ (g) (g) С),

где s = t — Р. Таким образом, комплексификация класса nj^(g)

совпадает с введенным ранее классом Понтрягина я 1(g) в К-теории. Итак, обнаружился любопытный факт, что для нечетного і и комплексного расслоения g класс яг (g) одновременно является

образом элемента из K Sp (X ) как класс вида —р (1)21ф (я| (g ® С)) и элемента из КО (X ) как класс вида я ^ (£) ® С. Это позволяет получить следующую теорему:

ные симметрической функцией S(ü от переменных ехі + e~Xj — 2

и произведением функций ——— соответственно, где с (М) = е*і-1

= I] (1 + Xj) в записи через формальные переменные xj. Тогда число (Sa (e^j) S) [М] является целым. Это число четно, если М

является характером Чжэня симметрических функций S Q о т клас­ сов Понтрягина в if-теории. Таким образом, с точностью до опе­ ратора периодичности, число (S0 (е &) [М] совпадает с характе­

ристическим числом £щ(я) [М] в if-теории и, следовательно, явля­

идеалу, порожденному числом 2 и элементарными симметрически­ ми функциями нечетной размерности. [Чтобы убедиться в этом, отождествим, как обычно, кольцо Н* (BO; Z2) с кольцом симмет­ рических функций над Z2. Идеал, порожденный нечетномерными функциями, совпадает с ядром гомоморфизма, переводящего wt

в S u’iu;i-.7 >который индуцирован классифицирующим отображе­