книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

нин имеет место изоморфизм кег Sq1/im. Sq1->- кег Sq1/J/- ,2Т групп, каждая из которых изоморфна К. Так как Sq^-U — 0, то изомор­

физм Тома индуцирует изоморфизм колец H* (H* (T B S O ; Z«), Sq!) и Н * (Н* (BSO; Z2), Sq1), переводя группы ker Sq1 и im Sq1

можно взять пространство, порожденное классами w\aU, которые

спектров К (Z) и К (Z2), индуцирующее изоморфизм г 2-когомоло- гий и, таким образом, являющееся 2-примарной гомотопической эквивалентностью. 9

З а м е ч а н и е . Этот результат был уже получен в начале главы геометрическими методами. Приведенное доказательство его, основанное только на когомологических методах, по сущест­ ву принадлежит Уоллу [3].

ГЛАВА X

СПЕЦИАЛЬНЫЕ

УНИТАРНЫЕ

КОБОРДИЗМЫ

Имея уже разработанный механизм для изучения специаль­ ных унитарных кобордизмов, которые являются «ориентирован­ ным» аналогом комплексных кобордизмов, можно довольно легко получить многие результаты об их структуре. Новым в методах этой главы будет только использование Д’О-характеристических

1 іт я п+2г(ТБ5С/г, оо).

г—+00

В первую очередь для изучения этих групп необходимо знать структуру пространства BSU. В когомологиях эта структура описывается следующей леммой:

Л е м м а . Кольцо когомологий H* (BSU n; Z) является кольцом целочисленных полиномов от классов Чжэня сг (у"), 1 < і ^ п, где у” — универсальное ориентированное комплексное п-мерное векторное расслоение над BSUn.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть fn: BSUn BUn — класси­ фицирующее отображение расслоения уп. Тогда гомоморфизм

fn- H* (BUn; Z) Z {ct 11 < і < п] H* (BSUn; Z)

/£: Лі = г[сі|1 < і< п ]-» -Я * (Я 5 г7 „; Z).

Покажем, что этот гомоморфизм является мономорфизмом. Рассмотрим отображение gn: BUn_i~^- BSUn, классифицирующее

ориентированное расслоение yn_1 © det у"-1. Тогда класс gnfh (сг)

индукцию по п, точно так же, как это было сделано при вычисле­ нии кольца H* (BSOn; Z2). Для первых шагов индукции заметим, что BSUi является точкой, а В SU 2 = BSpi — HP (оо) является бесконечномерным кватернионным проективным пространством, для которого результат леммы хорошо известен. ■

цо Q^u ® О- является кольцом полиномов над Cl от классов х2і размерности 2і, і > 1 .

совпадает с подгруппой элементов конечного порядка группы ß ^ .

Для исследования нечетно-примарной структуры заметим сначала, как всегда, что кольцо H* (TBSZT] Zp) является связной коалгеброй над Zp с коединицей U 6 Н° (T B S U ; Zp). Так как

все группы когомологий четномерны, то H* (T B S U ; Zp) является А Р/(*?о)-модулем и имеет место

Д о к а з а т е л ь с т в о . Используя отображение gn: BUn_i ->-

BSUn, можно отождествить группу H* (TBSUn; Zp) с подгруп­ пой gn {H* (BSUn\ Zp))-cn_iCi с= H* (BUn_û Zp). Известно, что

честве одного из образующих этого модуля можно взять элемент сіс„_і, и поэтому гомоморфизм v является мономорфизмом. ■

З а м е ч а н и я . 1. Можно получить другое доказательство следующим образом. Так как симплектическое расслоение являет­ ся .^-расслоением, то существует отображение h: BSp ->- BS U, классифицирующее универсальное расслоение. Гомоморфизм (27г)*ѵ, как показано в предыдущей главе, является мономорфиз­ мом, поэтому и V — также мономорфизм.

является прямой суммой нескольких экземпляров групп A 2/{Sql)

торых все числа Чжэня, делящиеся на си равны нулю. Так как

торого все числа Чжэня, делящиеся на сь равны нулю. Рассмот­ рим подмногообразие Nn cz Мп X CP (1), двойственное классу с, (М п X CP (1)) (или расслоению det т). Многообразие N n явля­ ется ^^-многообразием со следующим полным классом Чжэня:

с/уѵ _ сЩ)(1+а)*_

'І + Сі (М) + 2а

Следовательно, его характеристические числа имеют вид

[/V] = (cffl (M)+awm+ (Ci(M)+2a)Km (с1(іІГ)+2а)ІУ¥X СР(І)]

=сш(М)[М] •2а[СР(1)] = = 2 са Ш1, ■

где иа и ѵа —.полиномы от сг (М ) и а. [Все дополнительные члены

обращаются в нуль, так как а? = 0 и все числа Чжэня многообра­ зия М, делящиеся на сь равны нулю.] Таким образом, 2 [М] =

Чжэня S ^/-многообразий следуют из условия обращения в нуль чисел, содержащих с{, и из соотношений, даваемых К-теорией для квазикомплексных многообразий. Описание мультипликативной структуры основано на следующем предложении:

П р е д л о ж е н и е . Пустъ р — нечетное простое число. Тогда существуют SU-многообразия M f Ç ОІГ, і>-2, такие, что элемент

(1)0: со = (prv, р г+1и),

(1)н > 0 : со = (1, р Тѵ, р г+1и),

(2)и = 0: со = (1, рг, рт(ѵ— 1)).

будем проводить по модулю р. Члены 2 х} вносят в характе­ ристические числа сумму р одинаковых чисел, поэтому характе­ ристические числа mod р не изменятся, если вычисления проводить

Ѳ= £(1). Так как гомоморфизм д является мономорфизмом

на группе #*2(С, 2), то гомоморфизм V. ßfu -> ß fü также является изоморфизмом. Так как гомоморфизм t есть умножение на класс

Ѳ= £(1), то образующим группы ß 2u = Z2 является элемент Ѳ2. ■

П р е д л о ж е ни е. Все элементы конечного порядка в ß®ü имеют порядок 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как гомоморфизм t: ß f/^ - ^ ß lb - i является эпиморфизмом и задается умножением на класс Ѳ,

то группа состоит только из элементов порядка 2. Под­ группа элементов конечного порядка в группе ß 2f является ядром

смотрим гомоморфизм забывания *5*: ß*r—>ß®ü, индуцированный вложением у: S —>-T B SU . Так как гомоморфизм ]*:Н* (Т В SU ; Z)->-

-+H*(S; Z) является изоморфизмом в размерностях, меньших 4, и эпиморфизмом в размерности 4, то гомоморфизм Д = S+ гомо­ топических групп является изоморфизмом в размерностях, мень­

ших 3, и эпиморфизмом в размерности 3. Пусть a Çß ftr — такой элемент, что £*(а) = Ѳ. Так как 2а —0, то 2ос3 = 0, и так как

ß 3r = Z24, то a3 = 2ß. Таким образом, Ѳ3 = S* (а3) = 2.S* (ß), но все

из рассмотрения КО-чисел, которое будет приведено ниже), так

эпиморфизм и нулевой гомоморфизм, следовательно, ß fC7= 0. ■

дающую точный треугольник в гомологиях

Я* (7Я)---- -— > Я , (7Я)

\/

\S

Я * {W ® Z 2)

Каждый элемент в Я* (W) имеет порядок 2, поэтому получаются

/г>-2, и удовлетворяет условию д (аЬ) = (да)Ь-\-a(db)-\-z2(da) (дЬ).

Так как 3z2 = 0, то д (z2a) = z2(da), и идеал W" ci 7Г* (С , 2) ® Ж2,

получаем точную последовательность

я ,( И П ----->Я, ( ЗГ® z a)

\/

\

я л * П

Так как IF '^ Z2 [z2n | n>2], 3z4n = z4n_2 и 3 (ху) = .г % + (да:) г/, то Я * ( И " )^ г 2[г у .

Из формулы для действия оператора д на произведении эле­ ментов кольца W* (С, 2) ® Z2 следует, что группа Я* {W ® Z2) является кольцом, а гомоморфизм группы Я* (W‘ ® Z2) в Я* (И") является кольцевым. Далее,

д [ ( z 4 n ) 2 “ Ьz 2z i n - 2z i n ] — ( 2 z 4 , j Z4n _ 2 - ( - Z2Z 471_ 2 ) “ Ь ^ 2 z 4 n _ 2 = O i

поэтому элементы A8n = zfn+ z2z47l_2z4n дают классы гомологий

в Я* (“7/‘ ® Z2), которые отображаются на полиномиальные обра­ зующие кольца Я* (W ). Следовательно, точные последователь­ ности расщепляются, давая короткие точные последовательности