книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

=in~x =

=i‘in'2x X. КЗ

Ле м м а 4. Обозначим через SG (F) группу К-линейных ото­

бражений пространства V, сохранягощих скалярное ггроизведение и оставлягощих неподвижным векгіпор а. Тогда если g 6 SG (F), то gx = тg, gp = pg и gö = 0 g.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(gxX, gY) = (xX, Y) ^ (n, X [\Y) = (gor, gX/\gY) = = (n, gX / \ g Y ) = (xgX, gY)

для всех gY, поэтому gxX = xgX для всех X. Так как очевидно, что ga = a g, то pg = gp, и так как ig = gi, то g0 = 0 g. g

F с -^- F © PF, PFс —» F ® W индуцируют гомоморфизмы A (F) —>-A(F©PF), A(PF)->-A(F 0 PF) и гомоморфизм

ß: -A (F)®* A (PF)-»-A (F © PF) ® A (F © PF) Д A (F © PF),

являющийся изоморфизмом градуированных алгебр. Пространство F ф PF может быть ориентировано при помощи вектора а =

— ß (оу ® <У\ѵ)-

Вернемся теперь опять к одному пространству У и для каждого вектора ѵ £ У рассмотрим отображение

С л е д с т в и е . Для любого nÇF имеет место формула (ф0 ) 2 =

=і| у||2 -1 л(Ѵ)*

До к а з а т е л ь с т в о . Допустим сначала, что формула верна для обоих подпространств F и If пространства F ® VF. Тогда

(Ф,+ш) 2 ß (X ® У) = ?D+I1,ß [ф0Х ® У + ( — l)dim А X ® фЮУ] =

и, следовательно, формула верна и для пространства F ® W. Таким образом, достаточно проверить этот результат только для пространства F, где dim F = 1. Тогда Л (F) имеет базис 1, о

и V = ко, поэтому

Fa (1) = ко, Fv (о) = О,

(F% (1), сг> = <1, F0 (ст)> = О,

(FÎ (о), 1) = (о, Fv (1)> = (о, ко) = к.

Следовательно,

F*v (1) = О, F% (о) = к.

Таким образом, ср„ (1) = ко, cpD(ст) — к, ж поэтому

Ф» (1 ) = ф„ (ка) = кк = К7с ||2 -1 ,

Ф? (о) = ф„ (к) = кко = = II к К2-а. я

Ле м м a 7. Если g: V V — линейное преобразование, сохра­ няющее скалярное произведение, то g°cpv = (p?v°g.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что gFv (X ) == g (ѵ Д Z) =

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ZÇAh(7), то

(xF„Z, У) = (ст, v / \X /\ Y ) =

=( - 1 У1 (о, X /\ѵ f\Y ) =

=( - l ) h(a, X f\FvY) —

=( - 1 ) A<TZ, FDY) =

— ( — l)ft(F*xX, Y).

Следовательно, xFvX — ( — 1)AF^xX. Тогда

xaFVX = X ( - 1)(A+1) A/2 FaX =

=( - i ) kih+1 )/2 ( - î ) kF*xX =

=(_ 1 )й(й-і)/2 в д =

F*xaX,

следовательно, piFv —F^pi. Так как p2 = ( — 1)"(7l-1)/2, T 0

= p2 Zcpp2 = p (pZ„) p3 = pZ*pp3 = /xF*. Следовательно, фвр = рф„.

У т в е р ж д е н и е 1. Лласс U (!) является мультиплика­ тивным.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Фактически достаточно проверить это утверждение только для векторных пространств. Отображе­ ние ß: Л (!) <g) Л (TJ) А (! ф т]) индуцирует изоморфизмы

Леѵ (! Ѳ р) SÉ Лсѵ (!) ® Леѵ (р) ф Aodd (!) ® Aodd (TJ),

Aodd (!© T ])s Aodd (!) ® Aev (ri) Ф Aev (!) ® Aodd (rj).

и Aodd (! ф р) совместимы с действием отображения ф. Исполь-' зуя лемму 5, получаем, что имеют место изоморфизмы

л+ (! ф р) = л + (!) ® л+ (р) ф л_ (!) (g л_ (р),

л_ (! ф р) “ л_ (!) о л + (р) ф А+ (!) ® л_ (р),

которые также совместимы с разложениями пространств

Аеѵ (! ф р) и Aodd (! ф р). Суммируя эти факты и учитывая знаки, получаем формулу А (! ® р) = Д (!) -Д (р). Окончатель­ ный результат следует теперь из того, что оператор периодично­ сти Ботта также является мультипликативным, в

У т в е р ж д е н и е 2. Пустъ ! — комплексное линейное рас­ слоение над В , рассматриваемое как ориентированное расслоение.

Тогда Д (!) = л*! — л*!, где расслоения л*! и л*! отождествле­ ны над S I при помощи стандартной тривиализации их над <5!.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F — одномерное комплексное векторное пространство со скалярным умножением [ , ], и пусть u Ç F — единичный вектор. Тогда пространство F, рассматри­ ваемое как вещественное векторное пространство, имеет скаляр­ ное умножение ( , ) = Re [ ., ] и ориентированный ортонорми­ рованный базис {у, £у} .

Таким образом, Л (F) имеет базис {1, ѵ, іѵ, и}, а — ѵ /\іѵ , образованный мономами, поэтому непосредственно из определеник получаем

{(1 ® 1 — а ® і), (ѵ ® 1 — іѵ ® і)}. Тогда отображения

V —»-A+d(У): X —>■X ® 1 -)- іх ® і,

F-vA!.dd(F): Х- +Х&1 — і х ® і

являются соответственно антюшнейным и линейным.

Таким образом, если £ — комплексное линейное расслоение, то

€я* (£)е в z (или в z для сопряженного расслоения |). Ш

Сл е д с т в и е . Пустъ £ — расслоение, сопряженное с кано­ ническим расслоением над СР (п — 1). Тогда U (£) = р _1(ё — I) €

6К (СР (п))..

До к а з а т е л ь с т в о . Отождествляя СР (п) с простран­ ством Тома Т (£), легко видеть, что расслоение £ над СР (п) полу­ чается из расслоения я * |, где я: D (|) -*■ СР (п — 1), при помощи

стандартной тривиализации его над »S’ (£).

С л е д с т в и е . Пустъ £ — ориентированное 2п-мерное век­ торное расслоение над В с классом Понтрягина <§ (|) =

п

= П (1 + х\), и пустъ Фн: Н* (ТІ; О) Н* (В; Q ) — изомор-

і=і

физм Тома, определенный классом ориентации расслоения Е- Тогда

ФÏïch(£/(E)) = П ((ехі - е - хі)/Хі).

і=і

нальными коэффициентами от классов Понтрягина расслоения Е-

только в случае, когда Е является расслоением, сопряженным

Имеем

поэтому

Таким образом, число

(фн)-і (ch (x)-ô (т)) [DT, 5T]

является целым, а так как ориентированные расслоения имеют естественные мультипликативные классы ориентации в цело­ численных когомологиях, то оно совпадает с числом {ch (х) Ô(т)} [М]. ■

З а м е ч а н и е . Поскольку

z/tanh (х/2) = X (е^ 2 + е~х12 )1(ех12 — е~х/2) =

П

то класс Ô ( T ) = [J (xj/tanh (х,7 2 )), очевидно, не является стабиль- і=і

иым. Для того чтобы исключить степени числа 2, которые создают здесь трудности, введем следующее

О п р е д е л е н и е . Пусть ! — вещественное векторное рас-

71

слоение с классом Понтрягина (!) = П (і + х\), dim Хі — 2 ,

i = l

в формальной записи. Тогда классом Хирцебруха L (!) расслое­ ния ! называется характеристический класс, задаваемый фор­ мальным произведением

71

L ( Q = П (Zi/tanh(xi)).

І—і

З а м е ч а н и е . Класс L (!) является стабильным Классом и тесно связан с классом ô. Действительно, формальный ряд, задающий функцию 2 y/tanh у, отличается от формального ряда для функции y/tanh (у/2 ) множителями 2 к у коэффициентов при

іД Поэтому

П

2п1 (г) [М2п\ = { П (2x,/tanh-æi)j27l [М2п\ =

П

=2П{ П Xi/tanh (хі/2)}2п [М2п]

=2nô (т) [М2п].

Следовательно,

L (т) [М2п] = Ô(т) [М2п].

Для того чтобы найти достаточный набор классов х £ К (М), можно использовать классы Чжэня в Х-теории расслоения т ® С. К сожалению, оператор комплексного сопряжения в Х-теории достаточно сложен, и поэтому приходится использовать несколько видоизмененные характеристические классы в Х-теории.

Пусть £ — вещественное 2га-мерное векторное расслоение над пространством В. Определим классы Понтрягина в Х-теории

я*(|) £ X (В) следующей формулой:

с целочисленными коэффициентами от классов Чжэня и, следо­ вательно, принадлежит кольцу X (X).]

З а м е ч а н и е . Если т) — комплексное линейное расслое­ ние, то

К(T) ® c—2) =к (TJ © Tî —2)=

= (1 + u r \ ) (1 + 141])/(1 + и)2,

поэтому

X(/(i_i) (T) <g) C — 2)

=( 1 — t + ІТ)) ( 1 — t + 4|) =

=[i -h ^ (4—1 )] [î-MCn —1 )] =

= 1 + 1 (Л + 'Л — 2 ) + 12 ( 2 — Tl —il),

так как т)т| = 1 .