Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

19.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

в формуле Адема можно не учитывать.] Имеем:

с xpS для і = О,

Ов остальных случаях,

если dim я = 2 (и если, кроме того, Sq*x = 0 для р — 2; этоусловие выполняется для всех рассматриваемых нами x it так как хі = Ci (£) для некоторого линейного расслоения Г). Поэтому дока зательство мономорфности отображения ѵ проводится точно так же,

как при изучении группы Н* (Т В О ; Z2).

С л е д с т в и е . Группа H* (T B U ; Zp)	является свободным
^-модулем.
Имеет место также следующая
Л е м м а. Пустъ X — стабильный спектр, такой, что группа
H* (X; Z) не имеет р-кручения и H* (X; Жр)	является свободным

■Jtp/(Qo)-модулем. Тогда гомотопические группы спектра X не име ют р-кручения.

З а м е ч а н и е . Это впервые было доказано Милнором [6] при помощи спектральной последовательности Адамса. Другое доказательство было дано Брауном и Петерсоном [3] при помощи построения спектра, Zp-когомологии которого являются свобод ным J-j,/ (<2о)-модулем с одной образующей. Результат, приводи мый здесь, слабее, чем результат Брауна и Петерсона, но он допу скает приемлемо элементарное доказательство, не связанное с рассмотрением инвариантов Постникова.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через Еѵ двуклеточный комплекс, полученный приклеиванием двумерной клетки е2 к окружности S 1 отображением степени р, и рассмотрим корас слоение

Взяв приведенное произведение спектра X с этим корасслоением, получаем в гомотопических группах точную последовательность

Л л*(Х) 4- я*(Х А Е р ) .

Так как X — стабильный спектр, то гомоморфизм Гуревича

я , (X) {X; Z) является изоморфизмом по модулю класса конечных групп и гомоморфизм р отображает группу

(я* (X)/Tors) (g) Zp £=; Я* (Z; Z) <g> Zp *)	мономорфно на Zp-век-
торное пространство P* cz я* ( X /\Е Р).		Д Ер), т. е.
Если утверждение леммы верно, то іД = я* (X
р является эпиморфизмом и я %(X /\Е Р)	является	Zp-векторным

пространством. С другой стороны, если непосредственно показать, что Р ' = я* (X /\ Е Р), то из этого будет вытекать эпиморфность гомоморфизма р и, следовательно, мономорфность умножения на р в группе я* (X), т. е. отсутствие р-кручения в группе я* (X). Оставшаяся часть доказательства будет посвящена установле


нию изоморфизма P t		я* (X Д Ер).
Нам потребуется следующее описание алгебры Стинрода, дан
ное впервые Милнором [3].			последовательностей	целых	чисел
Пусть .йЛ	— множество
(гь 7*2 , . . .),	таких, что Г; ^		0 и Г; = 0, за исключением конеч
ного числа і. Если U,		V Ç .Л и кг ^ щ для всех і,		то определена
последовательность (U — У) Ç .Л, равная (ты — щ, и%— ѵ2,					. . .).

Через А;- 6 М обозначим последовательность, у которой на /-м месте стоит 1, а на остальных местах нуль.

Существуют элементы Ç; и &R

алгебре Стинрода

Л р,

где і = 0,

1, 2,

.. . и

такие,

что:

1) dim

Qi = 2p1 — i, dim cPR= dim R = 2

2щ (pl — 1), где

R =

r2,

• •

подалгебру

Л о ^ Л р ,

2) элементы {Ç;} порождают внешнюю

т. е. QiQi = 0 и

QiQj-\-Q,-Qi = 0 для

іф ] \

элементами

Л р

имеет

Zp-базис,

заданный

...

Çf» ...

# R},

где

Б; = 0

или

&RQb— Qk&R=

і=і

У т в е р ж д е н и е .

Группа H* (X Д Ер\ Zp) изоморфна группе

Я* (X;

Zp) ® Zp {и, Q0u}, где { } обозначает

«векторное прост

ранство,

натянутое

на»,

dim it =

является

свободным

Л р/3 *-модулем,

где

— двусторонний

идеал,

порожденный

эле

ментами Qi, і > 0 . Если {ха}— базисЛР/№о)-модуллН*(Х; Zp), то {ха (g) и) является базисом Л РІ<У-модуля Я* (X Д Ер; Zp).


Д о к а з а т е л ь с т в о .		Заметим, что Н* (Е р; Zp) ^				Zp {1, и, Q0u},
и поэтому, по теореме Кюннета,			группа	Я* (X X Ер, X X *; Zp)
изоморфна	требуемой	группе.	Тогда	формулы		Ç0 (я ® и) —
-- a: (g) Ç0it	и cPR (х <® it) = ePR;r ®		и задают		действие алгебры'
х) Изоморфизм (я* (X)/Tors) <gj Z p ^ Я* (X; Z) ®					Zp. вообще говоря,

не индуцируется гомоморфизмом Гуревича, а устанавливается сравнением рангов Zp-векторных пространств.— Прим, перев.

Стиирода в ней.

Так

как

Qk+i — oPpkQk— Qh&ph и

группе

H* (X Д Ер ; Zp) операции Q0 и

коммутируют, то опа явля

ется г^р/о^-модулем. Базис в алгебре ApléP задается

элементами

Q%&R, 8 = 0, 1, и

очевидно,

что

элементы {<31l% œ®

образуют

Zp-базис в когомологиях.

R = (ry,

г2, . ..)

положим

l(R) =

Для

последовательности

= 2 ггОбозначим через Fs

Zp-векторное

пространство, натя

нутое на

последовательности R ^ M ,

такие,

что l(R) = s, и поло

жим M s = Л ѵ ® Fs. Рассмотрим .^p-гомоморфизм ds: M s —>■

степени + 1 , задаваемый формулой

оо

ds (1 ® R) =

Qi ® (R -

ДД,

7 =

и Jf p-гомоморфизм

d0: М 0 —>■А ѴПР,

задаваемый

формулой

do(l®(0,0, • ••)) = !■

Следуя

Брауну

и Петерсону

[3], докажем

такое

У т в е р ж д е н и е . Последовательность

• .. — Ms------' M s-i —*• ■■■—*■MQ ----- >■--ApHF — 0

является точной.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим через В внешнюю

алгебру,

порожденную элементами

Qi,

і > 0 .

Последовательность

...

В ® V S —

В ® Fs-i

•••

В ® Ѵ0 —

Zp ->• 0

с гомоморфизмами, описанными выше, является стандартной резольвентой поля Zp над алгеброй В и поэтому точна. Так как алгебра Стинрода .Ji-V является свободным 5-модулем и Лр ® ®в Zp SS Apitf, то, взяв тензорное произведение над В точной последовательности с .Лѵ, мы получаем опять точную последова тельность.

Пусть теперь {а;а }, а £ / , — базис ^ Р/(<?о)-модуля H* (X; Жр) и Т — градуированное Zp-векторное пространство, порожденное элементами ха и. Используя построенную выше .^-резольвен ту для ЛрНР, можно построить обобщенную башню Постникова для пространства X [\ЕР из произведений пространств К ( £ р, п). В частности, в построении башни участвуют последовательности расслоений

У ж

индуцированные расслоением путей над К (Т Уо = X/\Ер, Н* (У); І ѵ) ^ Т 0 im (d{) ^ Т

У)), где кег (йг_0,

Н* (К (TtgiVf); Zp) = Т 0 Mi и гомоморфизм/* задается гомомор физмом 1 0 di. [Для сокращения записи естественные сдвиги раз мерностей не указываются.] Таким образом, гомотопические группы пространства X / \ Е Рвосстанавливаются из точной последователь

ности Zp-векторных пространств T 0	Vt.
С другой стороны, Р* = © (Т 0	Fs) с я* (X ДЕ р). Из под-

счета рангов получаем теперь равенство я* (X ДЕр) = Р*, дока зывающее лемму.

З а м е ч а н и е . Приведенное доказательство можно рассма тривать как вычисление спектральной последовательности Адамса для пространства X Д Ер. Так как группа я* (X Д Е р) содержит векторное пространство Р*, изоморфное члену 2Д, то все диффе ренциалы и присоединеиности в этой спектральной последова тельности являются тривиальными.

Т е о р е м а . Группа Q„ для п = 2m + 1 является нулевой, а для п = 2 т является свободной абелевой группой ранга, равно го числу разбиений числа т. Более того, два квазикомплепсных многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же целочисленные когомологические характеристические числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как группа Н* (Т В 77; Z) не имеет кручения и для всех простых р группы Н {ТВ U; Zp) являются

свободными ^ р/((?о)-модулями, то гомотопические группы спектра T BTJ не имеют кручения. Так как ядро гомоморфизма

Гуревича Нп (TJBTJ', TL) является конечной группой, то оно равняется нулю, и, следовательно, класс квазикомплексных кобордизмов полностью определяется своими целочисленными харак теристическими числами.

Для продолжения исследования структуры квазикомплексных кобордизмов необходимо использовать комплексную Х-теорию, изложение которой можно найти в работах Атья и Хирцебруха [2], Ботта [1], Атья [4] и Хыозмоллера [1]. Дадим краткую сводку фактов.

Существует мультипликативная теория когомологий К*, гра дуированная целыми числами (положительными и отрицатель ными), такая, что К0 (X) является группой Гротендика классов изоморфизма комплексных векторных расслоений над X. Эта теория когомологий является периодической периода 2, изомор физм периодичности р: IC (X) - у К1-2 (X) задается умножением

на образующий р (1) 6 К ~2 (pt) = К0 (<Sa) ss IL,

S— 01024

Для	комплексного векторного расслоения ! над X определим
характер	Чжэня	с1і(!)£Я*(Х;	<&) расслоения	! по	формуле
	оо
ch (!) = dim ! -г S		(s tt) (с (£)))Д!-	Если ! = k ® . . . © Іп — сумма
	І = 1		П
			П
линейных расслоений и Сі (іі) = хі, то ch(!) = S				е*1- Из	прими-
			і=1

тивности характеристических классов £Д) следует, что ch(! © г|) =

= ch (!) + ch (г\|), так что характер	Чжэня ch продолжается до
гомоморфизма К0 (X) —ѵ Я* (X; Ci,).	Для тензорного произведе

ния расслоений, которое индуцирует умножение в Х°(Х), имеет


место	формула		ch (! (g) ц) = ch (!) -ch (ц).			Действительно,		если
! = h ©	. . . 0 In,		Ц = mi ®	. .. 0 тр,	то	! <g>P = 2	h ® rrij, и,
используя		формулу Ci (h		® nij) = ct (li) -\-Сі {nij), получаем,				что
ch (! ® T]) =		2 eXi+Vj '■= ( S ßX‘ ) ( S e’>j) =			ch (!) ch (ц).		Применяя

теперь принцип расщепления в рациональных когомологиях, получаем, что формула верна для любой пары векторных рассло

ений ! и	тр Таким образом,			ch: К0 (X) -у II* (X; Q,)			является
гомоморфизмом колец.					S 2
Для векторного расслоения ! над						имеет место	формула
ch (!) = dim ! +		d	(!) 6 H* (S 2;	Z), и,	следовательно,		характер
Чжэня определяет			гомоморфизм ch: К 0 (S2)			Я 2 (S2-, Z). В част
ности, отождествляя S 2 с CP (1), получаем ch (1 — X) =							1 — еа =
= —а. Таким образом, гомоморфизм					ch:	К 0 (S’2) H 2 (S2\ Z)
является	изоморфизмом, и можно выбрать образующий р (1) Ç
Ç К 0 (S 2),	такой,	что ch (р (1)) [*S2] = 1.			(Возьмем просто р (1) =
= 1 — К.	Этот	элемент совпадает с элементом (X — 1) на S2,
который выбирал Ботт.)					Чжэня до гомолгорфизма
Тогда	можно	продолжить характер

колец ch: К * (X) Я* (X; СЪ), такого, что ch (р (х)) = ch х. Для групп Х2І (X) последнюю формулу можно использовать как определение характера Чжэня, для чего необходимо проверить только коммутативность следующей диаграммы:

Х°(Х)	--------- ----------- Я*(Х;СI)
"!
Y	_	Ch ~	Я* (X;	Û)
К~2 (X) =■=К0 (S2		Д X )----- ►Я* (S2 Д X; Q) ^	Я* (X;	Û)
что легко сделать, так		как ch (р(1)) = ь 6 Я 2 (S 2;	Z), где	2 2 —

оператор надстройки. Таким образом, осталось определить ch только на группе X -1 (X), для чего зададим его как композицию гомоморфизмов

X"1(X) э* Х° (S1 Д X) — ÎU Я* (S1 л X; о.) s* Я* (X; О,).

Чтобы применить if-теорию к комплексным кобордизмам, положим а = р-1 (А— 1) в К 2 (Ci3, (га)), где А, — каноническое линей

ное расслоение.	Тогда кольцо	К*(СР(п)) есть свободный
if* (р1;)-модуль	от образующих	1,	а, . . . , а п	с соотношением
а ,1+1 = 0, и ап	является образом		элемента	( — 1)п і, где
I Ç К 2п(S2n) = Z — образующий. Таким			образом,	согласно общей

теории характеристических классов для комплексных векторных

расслоений, определены характеристические классы Чжэня в if-
теории,	обозначаемые обычно через у, (£) Çif2i (X),				где	É; — комп
лексное векторное расслоение над X.
З а м е ч а н и е .			Следуя Атья	[1], для каждого	комплексного
векторного		расслоения \| над X введем характеристический класс
	03
Аг(£) =	2	(V) t1 б if° (X) [[£]], где X1 обозначает			г-ю	внешнюю
г= 0					и можно про
степень	расслоения £. Тогда Xt (£ ® р) = Аг (\|) А( (р),
должить	отображение £- >- А*(£)			до гомоморфизма Kt:KQ(X)->-
-у- К0 (X) [[і]]. Из			единственности	характеристических		классовую
				(î — dim Ê) =	СО	tlpl (y; (s)).
следует, что имеет место формула					2
					i = 0

Таким образом, классы Чжэня if-теории являются у-функциями Атья стабильных векторных расслоений с точностью до множителя

периодичности. Необходимо отметить, что они не	совпадают
с классами Чжэня в if-теории, введенными в работе	Ботта [1],

который использовал образующий (1 — А) вместо (А — 1). Наши характеристические классы Чжэня связаны с характеристиче

скими классами		Ботта соотношением р _1 (1 — А) =							—с* (а),		где
с: СР (У) ->■ СР (У) — отображение,						определенное			комплексным
сопряжением.
Обсуждавшаяся выше трудность, связанная с гомоморфизмом
с*, проявляется в комплексной if-теории.							Так	как	АА = 1,		то
Ä = 1/A= 1/[1 + (A —1)] = 1 —(А— 1) + (А — 1)2 + . . . илиА										—	=
— — (А—1)Н-(А — I)2 +				. . . . Таким		образом,		с * ( а ) = —а +
-f- р (1) а 2 +	... . Если			бы	можно было		выбрать		образующий
ß £ if2(CjPn),	такой,		что	c*(ß) = — ß,		то a = ß +		2 <Piß\		и	по-
			2фі(— ß)1 = —а + 2					і ^ 2
этому с*(а) = —ß +							2	<piß* или с* (а) ==
			г $ . 2			i = 0 ( m o d 2 )
= —a(mod2).		С	другой		стороны,	p(l)=£0(mod2),				поэтому

с* (а) =pè — а (mod 2). Таким образом, нельзя выбрать требуемые образующие в комплексной if-теории.

Используя свойства оператора периодичности Ботта и харак тера Чжэня, можно вычислить характеристические /£-числа, т. е. характеристические числа в К -теории. В частности, имеет место

Л е м м а. Пустъ М п — компактное квазикомплексное многооб разие и х £ І С (М, дМ). Тогда

О,	если (п—i) = 2 s-\-i,
(х) • If (М)} [М,	дМ] ■р (l)s е K~2s (pt),

{ch

если (п— i) = 2 s, где If (М) б Н* (М; (Q.)—характеристический класс, полученный

из степенного ряда от элементарных симметрических функций

оДасі, . .	хи),	. . .,	<Ju.(xl, . . ., хп) для симметрической					функции
k	заменой о; на d(x(M)).
	заменой о; на d(x(M)).
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Если К—каноническое расслоение					над
СР(п), то классом			Тома		К2 (СР (п-\-1))		является	класс		а,
поэтому	с]і(£Д) =		choc =		e“ — 1.	Таким	образом,	сй(СД) =
= ^ е	j Uк,-	где		UK= а —класс		Тома в целочисленных			кого
мологиях. Если для				любого расслоения £ определить				If (\|)	рав-
		h					h
ным функции		п	X: .		когда формально с (£) = II (1 + X j ) ,					то
		п	е	7 —1
		j—1					3 = 1

из принципа расщепления и мультипликативности классов Тома будет следовать формула ch (£Д) = ÔP (£)-1 = <5° (— для

всех Пусть М —квазикомплексиое многообразие. Рассмотрим кано

ническое отображение
S***' Д TN/TN' Д	(M/dM)f\TN.
Для любого xÇ K l (M, дМ) имеет	место, по определению, фор
мула

г- [М, дМ) = с*Ф* (х ® Ü) Е К^~г(5П+2Г) = ІС~п (pt).

Таким образом, число х[М, дМ] равно нулю, если (г—п) нечетно, и равно Q-p (I)3 = с*ф* {х ® Ü), если (n— i) = 2s. Тогда

Ѳ= ch (с*ф* (х 0 Ü)) [5П+2Г] = е*ф* (ch ас-ch Ü) [S"+2r] =

= с*ф* (ch X • If (М) ■U) [Sn+2r] = (ch ® • If (M)} (M, dM]. ■

Для того чтобы вычислить характеристические числа специ альных многообразий, вычислим сначала характеристические

числа проективного пространства СР (п). Так как для касатель

ного расслоения		т	к	СР (?г) имеет				место формула (т © 1) ^
= (п +	1) I, где	£ = 1 ,		то уі (т) =		(" I"1) [р_1 (Ê — I)]1.				Таким
образом,	необходим		следующий результат:
Л е м	м а. [р-1 (I - 1)]* [СР (/г)]					-		(-1 )"-’' р (l)n-j.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Согласно предыдущей лемме,
(Р“1 ( I - l)]j [СР (и)] =				[ch ( £ - l)]j éP {СP (п)) [CP (»)] -p (1 Г j.
Тогда c(!) = 1—ci и (—a)n [CP (тг)] =							1, поэтому
[p“1 ( S - l ) ] , [CP(n)] = ( e - « - l ) )' ( - =							^ ) П+1 [C P (n)].p(l)Â-J				-
		коэффициент при (—a)n в разло
		жении			функции		— -——--------		•P (i	r	3' =
		{			dz		(ff- а --- 1 ) 7 1 + 1 — І
	- ( ■ s r §				(ez — l)n + l- ) - P ( l)n-J =
			2=1
									(u = e:—1)
					du
		\ 2ш	u=0		un+l-j (1 + a) -)-P (i r j =
					2 ( — u ) h	d u
		2лі	J		h=Q________			lp(l)n-J=
		2лі	J		цТІ-rl—j			lp(l)n-J=

u=0

=( — l)"-i p (l)n-i . I

Вдополнение к многообразиям, построенным ранее, полезно


рассмотреть многообразия HqS			qSс	СР (gs) X	. . . X СР (qs)
(іq сомножителей),		двойственные		линейным	расслоениям
JÏ*£ ®	<g> . . . (g)	где q — простое число. Они являются
гиперповерхностями степени (1,			. . ., 1) в произведении q экземп

ляров проективного пространства СР (qs) и могут быть выбраны как проективные алгебраические многообразия. Имеет место следующая

Л е м м а . Характеристические числа в комплексной К-теории

S Q ІУ СО) [^S g«]

все сравнимы с нулем по модулю

q, если

n(co)>gs+1—g,

за ис

ключением случая,

когда 7i(co) = gs+1—g

со

является измельче

нием

разбиения

(gs—1,

g5—1) (q раз

по

gs—1). Если

со =

= (gs—1, • •

gs—1), то

■ V -1.......,*-1>(т(т)) № ? ........,‘1

(mod ?)•

Д о к а з а т е л ь с т в о . ОбозначиммногообразиеHgS

?sпросто

через

II, многообразие CP(qs) x

... xC P (q s)—через СР и

поло

жим

£г = я*(£),

Рг=р_1(5і — 1)-

Тогда

(игнорируя гомоморфизм

ограничения

в обозначениях) получаем,

что

у (Я) = ( [і

(1 + ß;)*S+1)/(l + р -1Ul ®

® і 5-

1)),

j=l

и многообразие Я является

двойственным к р_1 (£t ® ... <gi

— 1 ).

Имеем

1,®

... ®£, = [1 + Ue-1)]<8> ... ® [1 + (1,-1)] =

или

= (l + P -ßi)®

. . . ® ( l +

P-ße),

Р 1 (Іі ® • • •

—1) = S

ßi “I- P S

ßißa —f- • ■•

• • • +

Pk 1 S

ßlß2 •

■•

ßft +

•

• • +

Pq 1ßl

• • • ßgi

где S ßi .. . pfc является к-й элементарной симметрической функ цией от ß. Обозначая через Ѵі і-ю элементарную симметричес кую функцию от ß, получаем

У(Я) = (1 + vt -f- . . . + Vq)4 +1/(1 + у1 + Pv2 "Г • • • + Pq

и многообразие Я двойственно элементу щ + ру2 + . . . + p4 ~1 vq.

Так какp t^ iVt		= р (1)'_1щ, то любой характеристический класс
Sa (у) (Я)	может	быть выражен полиномом с коэффициентами
в К* (pt)	от переменных щ, . . ., vq. Степень этого полинома по

Ѵі, или, что то же самое, по ßf, не меньше п (со), причем элементы

р 1~гѵ , t Z>1, из знаменателя дают			слагаемые		этого полинома
степени, большей п (со).		= Ра {ѵь	. . .,	vq) (щ + pv2		+ . . .
Имеем S a (у) (Я) [Я]
рч~гѵд) [СР],	где	Ра — обсуждаемый полином.				Далее,
если сг — некоторая перестановка чисел 1, . . .,					g, то
• • •	ß<J(() [CP] = p'-^coßl			. . -	ß, [CP]

в К * (pt) ввиду симметрии сомножителей ßj. Так как р 1 xvt имеет

в точности	j слагаемых вида pf_1ßa(i).	. . ßa(/), то	все	числа
Р<иР*~±vt [СР] делятся на g, если 1 ^ t <		g. Точно так	же	полу
чаем, что слагаемые полинома Ра, содержащие члены щ, . . .,
дают нулевой	вклад в характеристические числа mod g.

Таким образом, характеристические числа mod q не изменятся, если их вычислять по полиному у (Н) = (1 -j- щ -j- ... -j- ff/)gS+1/(l +

-ir pq~1 vq)

для

//,

двойственного

классу

pq~1vq.

Тогда

Sa (y) [H] s

Qa (vu

[CP],

где Qa—

однородный целочисленный полином степени п (со) от щ,

... ,

vq,

рч-1 ѵд (degQ pq~1 vq= 1).

Любой

ыопом

a = Hß . . . іА

(Pq~1 vg)hi+i

степени n(u>) полинома

Qш дает

мопом a-pq~1 vq степени

тг(а>) +

+ q+ kq+1(q—1)

от

переменных

ß*,

так как

ß?+1 = 0,

то

a-pq~1 vq = 0,!

если

п (со) + q k q+1 (q— 1 )> 5 S+1.

Таким

образом,

если

п (со) >

çs+1—q,

то apq~1 vq = 0,

поэтому

Sa (у) [Я] = О

(mod q). Для

?г (со) = çs+1 —q моном

apq~1 vq также

равен

нулю,

если

/с5+1 > 0.

характеристические

числа

mod q

степени

Таким

образом,

(qs+1 —q) не изменятся, если их вычислять по полиному у(Н) =

. . . ßg. Тогда

[] (l + ßj)?*+1 для Н, двойственного классу

з=і

является

суммой мономов

ßn ... ß*<z,

таких, что

и» =

Sa (y)(FI)

= ©iU ...

IJ (üq,

deg сùt = it,

yiii = qs + 1 —q,

поэтому

если

Sa (у) (Я) [Я] щк 0 (mod q),

то

= ... = iq= qs — 1.

где ?г(со)>

Таким

образом, если

Sa (у) (Я) [Н] ф

0 (mod q),

> ç s+1—q,

то n((ù) — qs+1— q и со является

измельчением разбие

ния (qs— 1, . . . , q s—1). В частности,

- 1

g‘- 1)(r)[#1=(9‘+ i)*ßf

ßf’P(i)q-4CPl =

= (gs-S -l)« .p (ir1;

если qs— 1 > 0 , т. е. gs> l ,

то

(çs 4 -l)9 = 1 (mod q).

Если

qs—

— 1 = 0,

то s = 0,

поэтому имеет

место окончательная формула

- і .......9._1)(7)№

= 1-P9_1ß1

... ßg [CP] = p ( i r P ■

Возвращаясь теперь к классифицирующему пространству BU, вспомним из гл. V, что *) Н ** (BU\ Z) является кольцом формаль ных степенных рядов над Z от универсальных классов Чжэня ct размерности 2і и H** (BU ; О,) является кольцом степенных рядов


над (О, этих классов. Кольцо Н^ (BU; Q,) = Н о т (Н* * (BU\ C l);			Q.)
и его подкольцо H * (BU\ Z) = Н от	(H** (BU\ Z); Z) можно рас
сматривать как кольцо полиномов	(над Q, и Z соответственно)
от классов а; размерности 2і, где а ; двойственны		классам	(с)
относительно базиса из классов Sa (с) (5Ш(с) (аг) =		ÔMi (.;>).

Представим классы Чжэня формально в виде г-х элементарных симметрических функций от переменных xj размерности 2 и обо-

*) Обозначение H**(BU\ Z) подчеркивает, что рассматривается кольцо

lim. Н*'* (В£/„) = 1іш lim H* {Gn<Г). — Прим, перев.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ