книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

в виде А[] (В X С), где А и В — многообразия с границей и С— замкнутое многообразие (дА ^ д (В X С)); граница такого объек­ та — многообразие А с представлением границы в виде dB X С.

З а м е ч а й е. Введены Суллпваном [1] при исследовании нм Hauptvermutung. Представление границы было названо им «вве­ дением особенности типа Съ. Результат последовательного введе­ ния особенностей опять может быть представлен как объект кате­ гории. Основным результатом является точная последовательность, связывающая теории кобордизмов до и после введения особенно­ стей. Особый интерес представляет случай, когда С состоит из п точек (С = Z,,) па ориентированных многообразиях, так как при этом получаются обычные кобордизмы с коэффициентами в Zn (в смысле теории гомологий с коэффициентами).

Наконец, существует пример категории кобордизма, построен­ ный не на пространствах. Ои показывает, в частности, что кобордизм не является специфическим понятием теории многообразий.

Пример 27. Кобордизмы алгебр с двойственностью: 9i\,: (alg).

Об ъ е к т ы. Пусть — категория, объектами которой явля­ ются семерки (II, ІГ , II", і, /, б, ц), где II и II' — конечномерные

(как векторные пространства над / 2) градуированные нестабиль­ ные левые алгебры (коммутативные с единицей) над алгеброй Стпнрода Н" — градуированный нестабильный левый А 2- модуль (конечной размерности над ЪІ) и I I '—модуль, такой, что

к обозначает размерность) — гомоморфизм векторных пространств,

О п р е д е л е н и е . Эта категория кобордизма изучалась Брауном и Петерсоном [1]. Ее объекты моделируют когомологии пар, состоящих из многообразия и его границы. Фактически функ­

ным, так как морфизмы в с6 имеют противоположное обычному направление.] Согласно Адамсу [2], существует классифицирую­ щая алгебра для характеристических классов, определенных через алгебру Стинрода (эта алгебра изоморфна алгебре Н * (ВО; Z2)). Браун H Петерсон показали, что функтор Н* индуцирует изомор­ физм групп кобордизмов (4).

В некоторых случаях, хотя и нет соответствующей теории кобордизмов в смысле категории кобордизма, существуют анало­ гичные отношения эквивалентности, считающие два многообразия эквивалентными, если они (совместно) являются границей некото­ рого многообразия с дополнительной структурой. Приведем два примера таких случаев.

П с е в д о п р и м е р 1. h-кобордизмы.

Два компактных многообразия V и V называются /г-кобор- даитными, если существует компактное многообразие W, такое, что dW = V( j V и оба многообразия V я V' являются деформаци­ онными ретрактами многообразия W; см. подробности этой теории в статье Милнора [12].

П с е в д о п р и м е р 2. Кобордизмы с векторными полями.

Два (ориентированных) замкнутых многообразия V я V называются эквивалентными, если существуют компактное (ори­ ентированное) многообразие И7, такое, что dW = EU (—V ), и невырожденное касательное векторное поле на W, которое опре­ деляется внутренними нормалями в точках V и внешними норма­ лями в точках V . Эта эквивалентность изучалась Рейнхартом [1], который ввел эти кобордизмы для того, чтобы сделать эйлеров класс инвариантом «кобордизма». В случае неориентированных многообразий два многообразия «кобордантны» тогда н только тогда, когда у них совпадают числа Штифеля — Уитни и эйлерова характеристика. В случае ориентированных многообразий два многообразия Ѵп и Ѵ'п «кобордантны» тогда и только тогда, когда у них совпадают числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина и, кроме того,

имеет четную эйлерову характеристику. (Это условие зависит только от многообразий V и V и не зависит от выбора W.)

В заключение следует подчеркнуть, что в обоих этих примерах дополнительная структура на многообразиях с границей не насле­ дуется при переходе на границу.

П р е д л о ж е н и е . Пустъ ç — локально тривиальное вектор­ ное расслоение над компактным хаусдорфовым пространством В.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Г = Г (Е) —векторное про­ странство сечений расслоения Е. Рассмотрим отображение е: Г X X В — Е\ (s, b) s (b). Так как расслоение Е является локально тривиальным, то отображение е эпнморфно и для каждой тонки b Ç В существуют открытая окрестность Ub тонки b и конечно­ мерное подпространство F^cz; Г (натянутое на п сечений), такие, что отображение е\ Ѵь X ІІь ->■ р~х (Ub) энпморфио. Так как про­ странство В компактно, то среди окрестностей Ub можно выбрать конечное число окрестностей, покрывающих все В. Обозначим через F подпространство в Г, натянутое на подпространства Ѵъ, соответствующие этим выбранным окрестностям Ub. Тогда про­ странство F конечномерно и отображение е: V X В Е —эпи­ морфизм.

Зададим в пространстве F некоторое скалярное произведение (над К) и обозначим через Е1- ортогональное дополнение ядра отображения е. Тогда отображение е\Е±: Е^~ —у Е является изо­ морфизмом, и можно определить отображение і = (e|£j_)-1:

E ^ V X В. в

С л е д с т в и е . Локально тривиальное векторное расслоение над компактным хаусдорфовым пространством обладает римановой метрикой.

С л е д с т в и е . Локально тривиальное векторное расслоение Е над компактным хаусдорфовым пространством имеет обратное расслоение, т. е. такое расслоение rj, послойная прямая сумма кото­

ветствие подпространство i ( E b)cz V н тем самым определить отображение B->-Gn (V) пространства В в грассманово многообра­ зие тг-мерных плоскостей пространства V. Каноническое 77-мерное векторное расслоение над Gn (F) индуцирует с помощью этого отображения расслоение Е над В, поэтому оно является классифи­ цирующим отображением для расслоения Е-

Пусть Е = (В, Е, р, + , •) — локально тривиальное 77-мер­ ное К-векторное расслоение над конечным клеточным' комплек­ сом В. Введем следующие обозначения:

Р (5)—пространство одномерных подпространств слоев рас­ слоения Е (проективизация расслоения Е)>

линейное расслоение над проективным пространством Рь (п — 1), полученным из слоя расслоения £ над точкой Ь.

Тогда имеют место коммутативные диаграммы

Еьс -» Е ----- > Ѵ х В

I

Р (и— 1) = Р (Еь) р (Е) -> P (У X В) ^ P (У) X в Я Р ( Ѵ > Р(Ѵ)

где b 6 В. Расслоение I (Е) является ограничение»! на P (Е) линей­ ного расслоения над P (V X В), индуцированного каноническим лпненпым расслоением над проективным пространством P (У), и, следовательно, отображение /: Р (Е) P (У) является класси­ фицирующим отображением для расслоения I (£). Индуцированное отображение Р (Еь) Р (И) совпадает с вложением проективных пространств, индуцированным вложением векторного простран­ ства і: Е ъ V.

Определение характеристических классов

Пусть А = {Ai, at}—мультипликативный спектр, удовле­ творяющий следующим условиям:

Для каждого конечномерного векторного пространства У над

К существует класс аѵ 6 Нк (Р (У); А), такой, что Н* (Р (У); А) является свободным H* (pt; _4.)-модулем от образующих і, аѵ, . . .

модуля H* (Р (Еь); А), то это отображение является изоморфиз­ мом на уровне членов Е2, а поэтому и изоморфизмом спект­

над кольцом Н* (В ; .4.) (полностью) определяется соотношением для элемента сп.

подпространства Е (£) X 0 и О X Е (р); следовательно, можно рас­

ия* (Og (g)) коммутируют.] Сомножитель Ѳі = 2 (— 1У с71 jn* (сгДЕ)) ;=о

при ограничении на Р (Е) отображается в нуль группы Я* (Р(£); -4)

3 а м е ч а и и е. Не стандартной частью этого доказательства является только часть 3, доказательство которой взято нами из1

1) В этих рассуждениях предполагается, что U и V заменены гомотопи­ чески эквивалентными нм замкнутыми множествами U' и V , такими, что

U' U У ~ Р (ё Ф Р). — Прим, перев.

работы Коннера и Флойда [1], стр. 437 (см. также Коннер и Флойд [8], стр. 277).

ального расслоения р: К п —>- pt. Для этого заметим, что в кольце

=а (ті) -1 = а On). ■

Пр е д л о ж е н и е . (Лемма о расщеплении расслоений.)

Пустъ \ = (В, Е, р, + , •) — некоторое п-мерное векторное рас­ слоение. Существуют пространство В' и отображение /: В' —ь В,

такие, что

1)расслоение /*£ расщепляется в сумму Уитни линейных рас­ слоений,

2)гомоморфизм /*: Н* (В; А) -»- Н* (В1, .4) является мономор­

физмом.

Ек+і ортогональное дополнение в //*+1 (Ек) к подрасслоеишо I (Ек). Так как гомоморфизм л* является мономорфизмом в когомологиях, то эта конструкция завершает шаг индукции. Таким образом, если

З а м е ч а н и я . 1. Если свойства характеристического клас­ са о (£), описанные в основной теореме, взять в качестве аксиом, то лемма о расщеплении позволяет доказать, что они однозначно определяют характеристические классы щ. Действительно, задав