книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

П р е д л о ж е н и е .

р2 (я) (z')

= 1 и р2 (я) (z/,n),

п ^

2, име­

ет наибольший моном вида

1) сс„, если п не является степенью числа 2,

2)

(a2S-i)2, если п = 2s, s >

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

z' = [CP (1)],

так

что

число

£ш(е^)[20] равно нулю,

если

п(со)>0, и поэтому

р(я)(г') =

= ^ ([С Р (1 )])= - 1 .

какого

s,

то z/,n является классом кобор-

Если п ф 2“ ни для

дизмов подмногообразия в CP (1) X CP (2Р) X СР (2р+1д), двойствен­

ного

классу

ai -f-(2p-{- î)a 2-\-(2p+1q-{-1) а 3, где

2п = 2Р (2q-\- 1).

Тогда

S n (е^)

[zïin] ^ S n {<{?) [zin] = S2n (c) [z;in], и это S-число, как

многообразия в

CP (1) X CP (2s) X СП (2s),

двойственного классу

a t 4-(2s-j- l)(a2 -j-a3), и, как

уже

отмечалось, Z4 „ =

[CP (2s)]2 + с,

где с принадлежит идеалу,

порожденному

числом

2 и элемен­

тами Ь2г-і> которые дают образующие в кольце

Q* (gi Z2. Имеем

р2 (я) (CP (2s)) = a 9S-i-f (младшие

члены относительно S-чисел),

и рг(я)(2) = 0,

Рг (ть) (Ь2і_і) = 0

для £ > 1 ,

так

как в качестве

[М] 6 Q*SU, то

по лемме 1

имеем рд [М X CP (1)] = 2 [М],

и, следовательно, класс а =

2 [ІѴ] — \М X CP (1)] размерности

,8к +

2 принадлежит ядру гомоморфизма рд. Как уже отмечалось,

все

компоненты

характеристических классов Sö (е^) с5° размер­

Ле мма .

Элемент Ѳ£ Çlfи имеет следующие КО*-характери-

стические числа:

О,

a)

5Ш(я4 (т ®С)) [0] = 0, если

b)

1 [0] Ф О в КО-' (pt) =

Z2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть и: TBSUir+2 ~+BSp—отображение,

классифицирующее класс ориентации и (у4г+2) 6

К 0 8г+Л(TBSUir+2),

г — большое

число. Пусть

b— отмеченная

точка в BSUir+2 ',

тогда композиция отображении

•

/: Ssr+i = Tb с_*. TBSUiT+2—

BSр

Рассматривая

сферу Sar+i как

8 г-кратную надстройку над S 4,

получаем из отображения / отображение

h: S i ^ ^ Q

SrBSp{8r + 4, . . . .

0 0 ) — Х й arB Sp —?-+BSp,

является

представителем

образующего группы я 4

(BSp). Тогда

гомоморфизм h*:

H1 (BSp\

Z) - у IK (54; Z) является

изоморфиз­

мом, и

поэтому

h*: H* (BSp\ Z)

Н* (£4; Z)

— изоморфизм

в размерностях,

меньших

8 . Тогда

отображение

h

я* (S‘l) ->

гомоморфизм

/*: я* (Sar+i) - у я * (BSp)

является

изоморфизмом

в размерностях 8 г + 4,

8 7 *+ 5 и 8г +

6 .

Таким образом,

композиция гомоморфизмов

Q*r —> ß ® 17

-т- КО~* (pt) является эпиморфизмом в

размерностях 0, 1 и 2.

Так как

0 — ненулевой

элемент группы Qfu = Z2, то это пока­

зывает,

что 1

[Ѳ] ф 0.

представлен

оснащенным

многообразием

Далее, так

как

0

и числа Sa (я8(т 0

С)), п (о)

> 0 ,

равны нулю для оснащенных

многообразий,

то эти числа

равны нулю для элемента 0. В

так как

д (а * Ь) = д (ab) =

adb + Ъда — [CP (1)] дадЬ.

Относительно

умножения

* группа

(С, 2) является ком­

мутативным кольцом с единицей. Более

того, если да = 0, то

а * Ь =

а -b, и поэтому, в частности, обычное отображение кольца

ß f 17 в

W* (С, 2)

является кольцевым гомоморфизмом. Отметим

также

формулу

д (а * Ь) = а * дЪ + b * да — [CP (1)] * да * дЪ (12).

5ад = 2,

и

дх2і — Хпі-i,

і

1,

д (а * Ъ) =

а * db

b * да — ад * да * дЬ.

З а м е ч а н и е .

Если

і -f- 1 =

p s для

некоторого

простого

числа р, s >

0, то піі

=

Р',

в остальных

случаях

mi

=

1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из формулы для умножения * сле­

дует,

что если элемент кольца W * (С, 2), не содержащий слагае­

мым

[CP (1)] * [CP (1)],

разложим

относительно

умножения

*,

то он разложим и относительно умножения

• в кольце ß^7; из это­

го непосредственно следует, что S-число характеризует ^неразло­

жимые элементы.

2

и т1 =

2,

т0 =

1, поэтому можно

Имеем S x (с) [CP (1)] =

положить ад =

[CP (1)].

Изрезультатов

о кольце ß f u ® ^

[ т

]

известно, что сущест­

вуют

S ^-многообразия

Ми

lMt] 6 ß ff,

г >

1,

S t (с) [Mi) —

— 2J’<') тіпіі-і (умножая

на

2, можно считать, что / (і

0), кото­

рые даютнабор полиномиальных образующих кольца

<g>Z

.

Заметим, что

группа QJSU изоморфна группе

Z

с образующим

X = 9 [CP (I)2] — 8 [СР (2)],

имеющим

числа

с\ =

0,

с2 =

12

и оР-число 1. Так как

элемент 2х — д [CP (I)3] порождает образ

группы ß f77 и ад * ад =

ад +

2 [F4] 2 -2,

то

в качестве М г можно

взять

элемент

2ад*ад.

z'zn € W

(С, 2), п >

2,

такие, что

Известны

также

классы

число Sn (с) [z'zn] нечетно, если п ф

2* или 2’' — 1, и имеет вычет 2

по

модулю

4

в

остальных

случаях.

Далее,

S2n (с) [zi,,] =

=

0 (mod m2n), так как

[z/m] является классом квазикомплексных

кобордизмов;

так как

(2п — 1) +

1 = 2п,

то

т2п_1 =

1 или

2,

Таким образом, число

S m (с) [z/in] является нечетнократным чис­

лу т2птіп_1. Так как

Z4 „ _ 2 = 9z/in является классом £Е/-кобор-

но), в то время как m2n_і = 1

или 2 , если п не является или являет­

ся

степенью

числа

2

соответственно.

Таким образом, число

Sn (с) [z2„] является

нечетнократным числу тптп^ .

Тогда

можно

найти

целые

числа a n,

ßn,

где

ап = 2ап + 1

(нечетное), такие, что элемент х'п =

a nz2n +

2ßn [Мп] имеет 5-чпс-

ло тптп_х. Положим

2-271 = С^2тг^4п -h 2ß2n [М%п\ “I“ (^2п-1 '

^2п) x tz bn—2 Тß2n-l‘^l [-^2n-l] і

x 2 n - l = ^ Z n - l ^ i n — 2 “ Г 2 ß 2 n - 1 ^ ^ 2 n - i •

от

Тогда

S n (с) [o;n] = S n (с) [я«] = тптп^,

так

как

хп отличается

х'п на

разложимые

элементы.

Так

как

Z4 n,

Хі 6

W* (С, 2)

и Z4„_2 ,

M

Zn,

M

2n- i £ ® l SÜ,

TO

x n £ f ß \ { C ,

2). Далее,

д%2.п= &2nZin—2 “Г2 (ß2n-i — а2п) Zi n - Z + 2ß2n-lJ^2n-l == ^2 7 1 - 1 •

Таким образом, существует гомоморфизм ср: В = Ж[хі\іф2]-*-

->-5^* (С, 2). Композиция гомоморфизма

ср

с гомоморфизмом

ф: 7/ЛДС, 2)-*й?-*Й ?® Ж 2

является

кольцевым

гомоморфизмом (а * b =

а • b (mod 2

)), при

котором

хп переходит

в z2n +

(разложимые

элементы).

Таким

образом,

ср является мономорфизмом (так как R — кольцо без

кручения), и подгруппа im ср имеет нечетный индекс.

поэтому

Для

любого

а 6

W* (С, 2)

имеем

9 (хгда) = 29а,

(2а — хгда) £ ker 9

и,

следовательно,

2 (2а —

ххда) =

=

9 {хг (2а — x-jßa))

или

4а =

2 0 .1 9 а

+ 29 (о^а),

® Z I^yj-модулем с образующими 1 и хи т. е.

(С, 2) ®

6 f/’*(C, 2) в виде у

і/гп+ у ад іп -і, где

у2„ G&іп и S2n (с) [р2л] =

—- 2iiiZnm2n-i-

Элементы

г/2п = 2ж2„ — л'і£2п-іі

æ2„_i, x'f

принадлежат

кольцу

R и

отображаются

в образующие кольца Q^u 0

Z [-у ] ;

таким

образом,

кольцо

R 0 Z | д ]

— Z [-^] [ж?, ж2п-і» Угті]{1> ^і}

при

гомоморфизме

ср

изоморфно

отображается

на

Q* 0

0 Z £ 4 j {1, ÆJ .

Следовательно,

гомоморфизм

<р: і

?

(С, 2)

имеет 2-примарное коядро

и поэтому

должен

быть изоморфиз­

мом. в

Используя результат

теоремы,

легко

описать все интересую­

щие нас кольца. Во-первых,

гомоморфизм д:

(С, 2)—>-‘7//’* (С, 2)

продолжается.до гомоморфизма 9: W \ (С, 2) 0

Z £ 4 ] — 7Г* (С, 2)0

0 Z j^4j, значение

которого

на

произведении

элементов выра­

жается

прежней

формулой.

Если

9а = О,

то

а = у

9 (.гух),

так

что

ker 9 = іпі 9

в группе

(С, 2) 0 Z £ 4 ] .

Представим

кольцо

(С, 2) 0

Z £ 4 ]

в

виде

Z [ 4 ] [^і, хы-і, %гі —у л№г-і] ,

где дх{= 2,

dxZi-i = 0 ,9

[х2і —

— 4 ХіХ2і-і j = 0 и d(x‘î) — 0. Из

такого

представления

ясно,

что

im 9 = ker 9 = Z [ 4 ] [ ‘ТГ. х2і-і,

^2г — у

с: 57'** (С, 2 )0 Z [ 4 ] •

Применяя этот результат к кольцу

(С, 2),

получаем

сле­

дующее утверждение:

Т е о р е м а .

Пустъ W* (С, 2) = Z [ац | г Ф 2],

как и выше. Рас­

смотрим

2)

как

подколъцо

в

W *

(С, 2)

0

Z.j^4J =

= Z [ 4

] [ х і

\ і ф 2 \

и

положим

А = Ъ £ 4 ]

[ж ?, а -гм . х 2 і —

1

"1

Tогда

•— ^-Гі^гг-і I -

а) группа ker 9 = И f) W \ (С, 2) является подмножеством кольца

полиномов

над

Г 1 1

от

классов

„

1

Z [ у ]

7

*^2г— iî

^ 2 і

2

1 Î

состоящим

из

полиномов

:

целочисленными

коэффициентами

от

классов XÙ

Ь)

группа im д — ^ и ^ А

4 « p i

Ç И -S-

7/ ** ( С

,

2)I

является под-

множеством кольца полиномов над Z

от классов х\, xZi-i,

n

(ker d)n

(iinô)„

Q^/Tors

0

1

2

1

4

r2

2x\

2x\

6

•?3

x3

■гз

8

x\, 2(.r4 —y .TlÆ3)

2*î, 2 (x4— Y X IX 3)

xf, 2X4—х 4х3

10

x\x3, x5

x\x3, x5

x\x3, x5

— [х2п —

х\х\п-і принадлежат группе

ker д

и

выбирались

ранее

в

качестве

представителей

образующих

кольца (ker ô/im д).

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

а) Если и £ А П У1А*(С, 2), то

(С, 2)

и ди = 0, так

что u£kerô; обратно,

если

и£УГ*{С, 2) и ди = О,

то и £ А.

и = дѵ,

и £А, так

ди = 0. Далее,

Ь) Если

то

как

так

как

г>€7>С*(С, 2) и д

хіU — V\ = 0 ,

то

— и) £Л,

и

поэтому

3

П р е д л о ж е н и е .

Существует класс [APJÇQf^7, такой, что

[АР] = 1

и класс

[Ms\n X Ѳ принадлежит образу гомоморфизма

*e»+i:Q?n+1^ Q iZ +1-

воспользоваться

двумя

леммами.

Для доказательства удобно

Л е м м а

1. Существует класс [М8] ÇQfü, такой, что 3 [АР] =

=

1 и

[АР] = 2 [Б8]

в груши й®17’ fr.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеет место точная последовательность

Q f (as Z е

Z)

QÎU' (r ->Q^r (= TZi0)-+Qs7u ( as 0).

(Здесь

использовано

то, что

lim яп+7 (S n) ss Z240-) Обозначим

через

X каноническое

П -ѵ оо

расслоение над

кватернионное линейное

HP (п). Для расслоения X над Б4 = IIP (1) касательное расслое­

ние пространства дисков D (X)

изоморфно расслоению

л* (X) ©

©

л* ( T S I ) ,

и так

как стабильно расслоение л* ( T S -I)

является

женного. Тогда

а

(—а)

3 (ÀQ © AQ) :

(в«—1) *(«-«—1) е®+е - а _ 2

- - * -

2

Г

7*2

7*4

7*6

= 2 J 1 -4-—__t-—__Î-—__L_

И -

Г + 2 М 4 ! + 6! 1 '

=

X

“

'1 2 + 3 6 Ô + •

поэтому,

учитывая,

что а° = 0,

получаем

«2

1

еа_і_е-сс_2 ~

а2 , ю* ~

1 12'

360

а 2

. [За1

12+ W

Так как отображение когомологий Н*(НР(2); Z) —

5); Z)

является

мономорфизмом,

то <5° (Я) = 1

GC

2

и’

слеДова"

- 9 4 0

тельно,

^

[Z> (X), 6" (X)] = 2 ^5

*

Так

как cf-число

является

целым

для

5£7-многообразий,

нетривиальным,

п поэтому fifü’Гг =

Z ® Z.

и

[б8] =

=

Тогда можно

положить

[М 8]

=

240 [D (A,), S (А)]

120 [D (A), S (А)], так

как

элемент 240 [D (A), S (А)] принадле­

жит образу группы QsU и имеет of-число 1. ■

Л е м м а 2.

Пустъ

[F "]6 ^n — элемент второго

порядка

и

[Mh] Ç ü fи — элемент,

образ

которого в группе Qf'и' fr

делится

на

2. Тогда существует

элемент

[Fn+fe] £ Qn+k второго

порядка,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть B h — некоторое (SU, ^-м но­

гообразие, такое, что 2 [В] =

[М ] в группе

fr. Тогда из точ­