книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

6+ 2+ 6-1 ~ а + 4

а+ 4

1

- ‘ - т [ ‘ - т + ( т ) * — • ] -

Таким образом, класс ~ ~ принадлежит кольцу ch ( К( М) [ ± ] \ ,

так как он выражается симметрической функцией от неремен­ ных ехі-\-е~хі — 2 с коэффициентами в Z Гі ] -

Для того чтобы оценить выражения S a ъеп) L, можно восполь-

Таким образом, симметрическая функция Sa от переменных ех +

от переменных (ех — 1 ). в

b) Г о м о м о р ф и з м з а б ы в а н и я

F s Q^->Qso/Tors

я в л я е т с я э п и м о р ф и з м о м .

c) В с е с о о т н о ш е н и я м е ж д у ч и с л а м и П о н т р я г и н а о р и е н т и р о ­

в а н н ы х м н о г о о б р а з и й с л е д у ю т и з т о г о , ч т о ч и с л а П о н т р я г и н а

Поэтому условия на характеристические числа 5 (і) образующих x t

непосредственно следуют из условия для образующих коль­ ца й^. В

З а м е ч а н и е . Использовать класс Хпрцебруха L и соот­

ношения, возникающие так же, как в теореме Атья — Зингера об индексе, посоветовал мне Хаттори (в личной беседе). Отметим,

что можно было бы, как в работе Стонга [2], использовать А-класс,

П

задаваемый функцией JJ siii’h^-r,■/'■’) ' Приведем рассуждения (при-

і — 1

надлежащие Д. Андерсону), показывающие, что применение А-класса дает эквивалентные результаты. Положим

ft= 0

Таким образом, и является степенным рядом над Z j^yj со сво­

бодным членом 1. Следовательно,

i = (ch|)-L,

где | £ К (BSO) — обратимый элемент.

Ориентированные бордизмы

Как уже отмечалось выше, интерес к теории ориентированных бордизмов во многом связан с задачей реализуемости целочислен­ ных гомологий. Основное исследование групп ориентированных бордизмов было проведено Коннером и Флойдом [3].

конечного порядка в Q®0. Эти два отображения и определяют отображение /. Из доказанных выше результатов следует, что

гомоморфизм в гомотопических группах, индуцированный отобра­ жением /, является мономорфизмом и в каждой размерности имеет конечное коядро нечетного порядка. щ

Т е о р е м а . Для любой пары клеточных комплексов (X , А) существует изоморфизм по модулю класса Серра конечных групп нечетного порядкаі

/*: Q f № А)~^Н, (X , А\ Q f).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно предыдущей лемме, индуци­ рованный гомоморфизм

/*: <((Х/А) Л ТВ80) - +пЦ(Х/А) Д К (Q*0))

является изоморфизмом по модулю класса Серра конечных групп нечетного порядка. ■

Т е о р е м а . Пустъ (X, А) — некоторая пара клеточных комп­

g* ([М п, (ЭЛТ"]), где g: (М ' д М ) —>- (X, Л) — представитель некото­ рого элемента группы ориентированных бордизмов пары (Х,ѵ4)(10).

Доказательство . Гомоморфизм вычисления еп' Q®°(X, А )—>- ->-Нп (X, A; 7L) индуцирован композицией отображений TB S O

-*-К (Q®0) К (Qf°) = К (Z), где я —проекция. По предыдущей теореме coker еп является конечной группой нечетного порядка, в

Для исследования р-примарной структуры группы Q* (X, А), где р —нечетное простое число, рассмотрим гомоморфизмы

Q S P ( X J А) QU( х > а) Qso {Х: А)і

композиция которых является изоморфизмом по модулю конечных 2-примарных групп.

является эпиморфизмом, следовательно, и е—эпиморфизм. Выбе­

то из этого следует, что aÇiintn. Таким образом, шаг индукции завершен и m является эпиморфизмом, в

Т е о р е м а. Пустъ (X, А) — пара конечных клеточных комп­ лексов, для которой конечная частъ группы Я* (X, А; Z) являет­

ся 2-примарной. Два класса бордизмов совпадают в й®° (X, А) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые Z- и Z2- когомологические характеристические числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Группа ,й®° (X , ^4) не имеет нечет­ ного кручения, так как она с точностью до 2-кручения является

прямым слагаемым в группе й* (X, А). Группа Я* {X, А; й*°) не имеет нечетного кручения ввиду теоремы об универсальных коэф­

фициентах. Следовательно, й®° (X, А) ^Н Д Х, А; й®°), и поэтому все

элементы конечного порядка в группе й* (X, А) имеют порядок 2. Если все Z-когомологические характеристические числа элемен­ та а равны нулю, то a имеет конечный порядок и, следовательно,

то все р-примарные соотношения между L-характеристическими числами элементов группы й®° (X, А) следуют из соотношений

{Г C h (*) Sa (ер (т)) L (т)} [М, дМ] 6 Z [ | ]

(где/: (М , дМ)-^~ (X, .4)) для всех разбиений си и всехх £ К* (X, А), в

Связь с оснащенными кобордизмами

П р е д л о ж е н и е . Каждое оснащенное многообразие поло­ жительной размерности является границей ориентированного

многообразия, т. е. гомоморфизм Fn: й£ й®°, индуцированный функтором забывания, является нулевым, если п > 0. Кроме того,

гомоморфизм Fq: й^г—*■й®° = Z является изоморфизмом.