книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

которую дает отображение S r К (£, г), реализующее фунда­ ментальный класс. Но так как гомоморфизм в £ 2-когомологиях, индуцированный отображением К (I, г) ->- К (/.3, ?•), соответст­ вующим отображению T B S O - + T B O , является эпиморфизмом, то новая информация не может быть получена.

Займемся свободной частью группы й®°. Рассмотрим ориенти­ рованное многообразие F" с оснащением на границе. Вложению

Ѵпс:-+Н п+Г соответствует нормальное отображение ѵ: (F, <9F) —>- ~^(BSOr, *), в котором оснащение на границе интерпретируется как деформация нормального отображения в точку. Тогда можно определить характеристические числа Понтрягина многообразия (F, дѴ), которые будут принимать целые значения. Так как не су­ ществует 2-примарных соотношений между Z-когомологическими характеристическими числами ориентированных многообразий, то относительная точная последовательность расщепляется, если учитывать в ней только 2-примарные расширения, и, следователь­

с оснащением на границе имело те же числа Понтрягина, что и замк­ нутое ориентированное многообразие, необходимо и достаточно,

численного полинома с взаимно простыми коэффициентами от клас­ сов Понтрягина, деленного на целое число р (Ьіп), то число р (Ьіп) будет нечетным. Это непосредственно следует из отсутствия 2-при­ марных соотношений (11).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а = [М]; выберем квазикомплекс­ ное многообразие V, такое, что дѴ = М . Тогда

L" (а) = L (т) [V, М] =

= (l + S № ( e ) ! ^ ( F ) [ F , М] =

= eC (a) + 2 № ( e ) < W ) [F, М],

целые, то L" (а) = в£ (а) -f- для некоторых целых чисел d и т.

Так как знаменатель полинома L в указанном выше представ­

чисел а , Ъ', где Ь' нечетно. Объединяя все эти замечания, полу­ чаем доказательство, в

З а м е ч а н и е . Этот результат показывает, что инвариант L № дает меньше информации, чем инвариант Адамса е£.

Связь с неориентированными кобордизмами

Обозначим через G Q®°— -ft* гомоморфизм, индуцирован­ ный функтором забывания. Исследование 2-примарной структуры кольца Qf° дает достаточно полную информацию о гомоморфиз­ ме G*. В частности, ядро гомоморфизма G* является идеалом, порожденным числом 2, который представляет собой свободную абелеву группу, и поэтому относительная группа расщепляется. Исследование кольца W* (!R, 2) дает особенно полное описание коядра гомоморфизма G*, которое является Аа-векторным прост­ ранством и совпадает с подгруппой элементов конечного порядка относительной группы.

Существует несколько подходов к описаншо относительных групп Q®' so.

Один подход заключается в сцеплении точных последователь­ ностей

На эту точную последовательность первым обратил внимание Дольд [4].

Можно также провести полугеометрическое исследование отно­ сительных групп следующим образом.

Пусть (7й, Мп~х) — многообразие с ориентированной грани­ цей. Рассмотрим отображение /: 7 —»- RP (N ), /* (?) ^ det хѵ, переводящее ÄT в точку, не лежащую в RP (N — 1). Если прогомотопировать отображение / относительно подмногообразия М в отображение (обозначаемое опять через /),трансверсально регу­

имеет каноническую тривиализацию. Таким образом получается элемент группы ориентированных бордизмов пространстваRP (оо). Отождествляя Dv с трубчатой окрестностью многообразия W в У, получаем, что 7 — (Dv)° является ориентированным многообра­ зием с границей М — Sv, которое может быть использовано для построения кобордизма многообразия (7, М) с (Dv, Sv). (Кобор-

ванных бордизмов; сопоставим ему класс бордизмов многообра­

зия (Z)g*?, <Sg*?) в группе £2°’ so. Так как отображение g продол­ жается до отображения D? с: RP (оо + 1) = RP (оо),

автоматически является трансверсальным и имеет прообраз А, то соответствие (X, g) (Dg*£, Sg*^) определяет гомоморфизм, обратный к построенному выше.

отображение является изоморфизмом, достаточно заметить, что

пространство RP (N)/RP (1) с пространством Тома расслоения 2 | над RP (N — 2). Так как 2 | является ориентированным расслое­ нием, то для него существует изоморфизм Тома в ориентирован­

класса когомологий в Т В *$0-теории, который определяет ориента­

!\RP (оо) = ЪТВО фактически является надстройкой над вло­ жением TB SO —>ТВО, индуцированным функтором забывания G, то относительные группы представляют собой в точности гомото­ пические группы кослоя этого отображения, или, что то же самое, группы бордизмов пространства Т (2|) с точностью до сдвига размерностей.

Эту ситуацшо несколько обобщил Митчел [1], который рас­ смотрел теорию бордизмов, определенную при помощи отображе­

и совпадает с гомотопическими группами кослоя отображения

С точностью до сдвига размерностей эта группа совпадает с груп­

в предыдущих разделах. В частности, его ядро является свободной абелевой группой, так что относительная группа Q* (S) расщеп­ ляется в прямую сумму ядра и коядра гомоморфизма S*.

является пересечением идеала ker (pS*), порожденного элемен­

нительное слагаемое для подгруппы (Tors Qf°). Таким образом, подгруппа (Tors Q®°) отображается на коядро гомоморфизма S*,

жается в подгруппу элементов конечного порядка группы то элементы этой подгруппы определяются Ж2-когомологическими

характеристическими числами, в то время как элементы бесконеч­ ного порядка группы QJ-и определяются Z-когомологическими характеристическими числами.

Сигнатура

Пусть М п — замкнутое ориентированное многообразие раз­ мерности п = 4к. По теореме двойственности Пуанкаре и теореме об универсальных коэффициентах спаривание

H 2h(M; И) <g)^H2h (М; 01)—»-R: х (g) у ->• (х \j у) [М\,

Можно выбрать базис в группе Н 2к (М ; öl), относительно кото­ рого матрица спаривания будет диагональной. Определим сигнагуру I (М ) многообразия М как разность числа положительных и отрицательных диагональных элементов. Функцию М —у I (М ) продолжим и иа многообразия, размерность которых не делится на 4, полагая в этом случае I (М ) — 0.

Напомним, что единственными инвариантами симметричной билинейной формы над полем вещественных чисел являются ее ранг и сигнатура. Так как сохраняющая ориентацшо гомотопи­ ческая эквивалентность замкнутых многообразий сохраняет спа­ ривание в когомологиях, то имеет место следующая

Те о р е м а . Сигнатура многообразия М является инвариан­ том ориентированного гомотопического типа многообразия М. щ

Те о р е м а . Сигнатура обладает следующими свойствами:

c)если М является границей. то I (М ) = 0;

d)I (СР (2к)) = 1.

Таким образом, сигнатура задает кольцевой гомоморфизм I: Q®0 —*- —»-Z, однозначно определяемый тем, что I (СР (27с)) = 1 для всех к.

спаривание в многообразии М с обращенной ориентацией отли­ чается от спаривания в М только знаком.

Ь) Пусть Р = М X N, dim М = т, dim N = п и dim Р = р. Тогда если р Ф 0 (mod 4), то хотя бы одно из чисел т или п не делится на 4, так что в этом случае оба числа I (Р) и I (M)-I (TV)

по теореме Кюннета. Векторное пространство Н2к(Р;Щ разла­ гается в сумму подпространства вида

Hs (М; 51) ® H2h~s(TV; 51) ® Hm~s(М; 31) ® Я 1к+*-т (N; 51) для s < т/2 и пространства

Hmß (М; 51) (g) Нп,г (TV; 51),

причем разные слагаемые «ортогональны» относительно спарива­ ния и на каждом из них спаривание невырожденно.

спаривание в нем равно нулю на всех парах базисных векторов, за исключением пар (.г, ® yj, х* <g>у*) и (х* ® у*, xi <g>yj), на кото­ рых оно принимает значение (— 1)*, где t = (2k—s)(m—s). Таким образом, матрица спаривания разлагается в прямую сумму матриц

, /0 1\

спаривания (—1) L ^ «ортогональных» двумерных подпро­

странств s-ro пространства. Так как сигнатура этой (2 х 2)-матрицы равна пулю, то вклад каждого s-ro подпространства в сигнатуру многообразия Р равен нулю.

Таким образом, сигнатура многообразия Р в точности равна сигнатуре спаривания на пространстве Нт /2 (М; ІЯ) ® ^ Я П/2 (N ; Я).

Если оба числа т и п делятся на 4, то, выбирая базисы в про­

спаривания также диагональна. Из рассмотрения ее диагональ­

выбрать базис в Н т/2 (М ; Я), относительно которого матрица спа­

пространств с такими матрицами спаривания, получаем четырех­ мерное пространство со спариванием, матрица которого в инду-

I {Р) = 0 = 1 (М) ■I {N).

Утверждение с) впервые было доказано Томом [1]. Допустим,

щая коммутативная точная «лестница»:

Hr (W) — І-Г (М) -> Я г+1 (W, М) -> Н г+1 (W )

. . . ^ H n+i_T{ W , M ) ^ H n- r ( M ) - ! ^ H n_T{W)-+Hn-r{W, М )-* . . .

где /: М — W — вложение и все группы рассматриваются с ве­ щественными коэффициентами.

Положим А г = im (/*)г и Кп_г = ker (/*)п_г.

(а и Ь, [М]> = </* (а U Р), 9 [W, М[) =

= <0/* (а и P), [W, М]) = <0, [W, М}) — 0.

Так как гомологии и когомологии рассматриваются с коэф­ фициентами в поле, то по теореме об универсальных коэффициен­ тах имеет место изоморфизм Нг (М) ^ Hi {М), и гомоморфизм /* является двойственным к отображению /*, т. е. диаграмма

# П_Р( И 0 ^ —

Наконец, из свойств а) — d) сигнатуры следует, нто она опре­

деляет кольцевой гомоморфизм I: Q*0 ->■ Z, переводящий все классы кобордизмов [СР (2к)] в 1. Так как любой кольцевой гомо­ морфизм в £ или СЪ должен аннулировать все подгруппы конеч­ ного порядка и так как классы [Ci3 (2к)) мультипликативно порож-

дают (над СЪ) все кольцо Sо ® Съ, то любой гомоморфизм пол­

Так как сигнатура определяет гомоморфизм Q®0 в '£, то должно существовать выражение для сигнатуры ориентированных тг-мер- ных многообразий в виде линейной комбинации с рациональными коэффициентами от чисел Понтрягина. Точное выражение сигна­ туры через числа Понтрягина дает теорема Хирцебруха о сигна­ туре (Хирцебрух [5]):

SO

Т е о р е м а . Гомоморфизм сигнатуры I: Q* -*- £ задается вычислением L-класса, т. е. для каждого замкнутого ориентиро­ ванного многообразия имеет место формула I (М ) — L (т) [М1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть L'\ Q®0 —*-Q. : [М1 -*■ L (т) [М] — гомоморфизм, заданный вычислением L-класса. Согласно формуле для диагонали. AL = L ® L, откуда непосредственно следует, что L' является кольцевым гомоморфизмом. Теперь для того, чтобы доказать равенство I = L', достаточно проверить,

2яі у (tanh z)2,!+1Zh i