книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

является элементом, соответствующим классу кобордизмов m i е Qi'h-i-

где Г б # 2,!+2г (£>а,!+2,\ S2h+2r~1; Z).

Для того чтобы определить инвариант Адамса гомотопического

зывается, например, с помощью спектральной последовательности Атья — Хцрцебруха в Х-теории (Атья и Хнрдебрух [2])) п поло­

a)1/d>2 t для п = A1 ,

b)1 для п = At — 1,

c)для п = At — 2,

d)1/2 для п = At — 3,

i) Сы. также Боревнч 3, М., Шафаревпч И. Р., Теория чисел, «Наука», М., 1964.—Прим, перев.

Связь с неориентированными кобордизмамн

Связь комплексных кобордизмов с неориентированными кобордизмами была полностью исследована Милнором [11]. Как и для

П р е д л о ж е н и е . Пусть М п — квазикомплексное многооб­ разие. Тогда классы Штифеля — Уитни іу2/+і многообразия М рав­ ны нулю, а классы w2i являются классами Чжэня с,, приведенными mod 2. В частности, все числа Штифеля — Уитни многообразия М , содержащие множителями нечетномерные классы Штифеля — Уитни, равны нулю.

Это вытекает непосредственно из теоремы о замене полей ска­ ляров из гл. V. щ

П р е д л о ж е н и е . Замкнутое многообразие М п тогда и только тогда имеет нулевыми все числа Штифеля — Уитни, содер­ жащие множителями нечетномерные классы, когда существует

разие М имеет те же числа Штифеля — Уитни, что и многообра­ зие М' X М ' . Для диагонального отображения А имеет место

членов, и поэтому число wit . . . wir [M’ X М'] равняется нулю. Если каждое число іа четно, то Wj [М' х М'\ = (wi/2 UP/'])2 =

= Ш/уо [il/'].

Предположим теперь, что все числа Штифеля — Уитни мно­ гообразия М п, содержащие множителями иечетномерные классы, равны нулю. Если п нечетно, то многообразие М п обязательно является границей, что можно интерпретировать как кобордант-

переводит wt в w2i, и гомоморфизма вычисления характеристиче-

скнх чисел на многообразии М. Рассмотрим также гомоморфизм А: Н* (ВО; Z2) Н* (ВО; Z2), который переводит w, в сумму

вида У] WjW!t. Гомоморфизм X индуцирован отображением про-

степени, получаем, что А (у2іф (х)) = Аф (ѵ,х). Таким образом, для

всех X £ Н к~г (ВО; Z2) элемент ф (Sqlx + vtx) + Sq21ф.т + у2іф.г лежит в ядре гомоморфизма А и, следовательно, обращается в нуль

классами кобордизмов, у которых все числа Штифеля — Уитни, содержащие множителями нечетномерные классы, равны нулю.

проводится по той же формуле, что и вычисление характери­ стических чисел іѵа [хі]. Следовательно, Р^.(Ъ\) = х\. Далее, все числа Чжэня класса іф5_ j являются четными, поэтому P* (b'2 s_i) =

= 0. Теперь осталось только заметить, что существуют мульти­

в которой вертикальные стрелки являются гомоморфизмами Гуре­ вича. Используя вычисление гомоморфизма F.2n, эту диаграмму можно разложить на части.

Во-первых, (образ F2n) = поэтому группа Q2kU — = 3î2n/9ïn является Т2-векторным пространством (известной раз­ мерности). Далее, элементы этой группы, очевидно, определяются числами Штнфеля — Уитни, содержащими множителями нечетно­ мерные классы Штифеля — Уитни.

Затем (ядро F2n) является идеалом в , порожденным элемен­ тами b2s_[, s ^ 1 (где bQ= 2), и так как оно является свободной

абелевой группой, то Q2 k+ 1 = 9l2n+i 0 (ker F2n), где 9î2n+i отождествляется с подгруппой элементов конечного порядка.

Свободная от кручениячасть группы Q2 n+b т. е. группа йгп+i/Tors,

отождествляется со своим образом в Q2n, и поэтому ее элементы определяются числами Чжэня своих границ. Подгруппой элемен­ тов конечного порядка является группа d2n+$ t 2n+l, и ее элемен­ ты определяются своими числами Штифеля — Уитни. Гомомор­

физм Н 2п (TBTJ) ->■ Н 2п (ТВО) в Ж2-гомологиях является мономорфизмом (в Ж2-когомологиях это эпиморфизм), так что фактически гомоморфизм Гуревича определяет расщепляющий гомоморфизм

^2п+і Н гп+1 (ТВО, T B U ; Z 2) ~ Н2п+1 (ТВО; Z 2) ->■ $Л2п+і>

где последнее отображение является проекцией.

но все его числа Штпфеля—Уитни равны нулю, так как равны иулю эти числа у элементов b0j_v / = t и s, следовательно, и = 0. Далее,

так как все характеристические числа элементов b2s_ 1 являются

четными, то подмодуль Ѵ отображается в нуль при гомо­

морфизме Гуревича mod 2. Для того чтобы показать, что этот подмодуль совпадает со всем ядром, рассмотрим гомоморфизм

Н* (ТВО)-+Н* {ТВ V) (используя когомологии с Ж2-коэффи- циентами, если не оговорено противное), который отображает свободный ^ 2-модуль в свободный с^ 2 /,((?о)-моДУль- При соответ­ ствующем выборе образующих модулей этот гомоморфизм может

Т — для (im F*)). Представив пространство ТВО в виде произве-

дешія комплексов Эйленберга — Маклейна ТВО — К {Т) х X К (S ), можно спроектировать его па К {Т) и исключить сомно­ житель К (S) из рассмотрения в данной задаче.

Мы хотим знать, насколько гомотопические группы пространства

К (Т)ІХ определяются / 2-когомологиями. Так как Н* (X; Z) — свободная абелева группа, то классы когомологий из Т получают­ ся приведением по модулю 2 целочисленных классов. Обозначим

чить, что элемент a.,s+i_j (mod 2) обнаруживается классом Штифеля— Уитни w r>s + i _ j (ѵ), соответствующим элементу Sq2S+1~1U в груп­

пе Н* {ТВО, T B Y ; Z2). Характеристические числа, определяемые этпм классом, обращаются в нуль иа элементах из образа группы

91*. В частности, а х принадлежит образу группы й?’ п и связан

с инвариантом Хоцфа относительно изоморфизма Йи ^ Q». Дру­ гие классы а-, ие получаются при помощи оснащенных кобордизмов.

Комплексные бордизмы

Используя функтор забывания из категории квазикомплексных многообразий в категорию топологических пространств,

можно определить группы относительных бордизмов й * (X, А) ~ SÉ lim я*+2г ((Х/А) }\TBUr) = Я* {X, A; TBU). Произведение

Г—Усо

многообразий индуцирует в группе й* (X, А) структуру модуля

над кольцом й*. Эти модули изучались Коннером и Флойдом [2], [4], [6] при помощи спектральной последовательности Атья —

Хирцебруха Е (X) = {£*■* = Я , (X, И; Й?) =£ Q*(X, И)}. Ре­ зультаты о модулях й* (X, А) можно получать также темп же методами, которыми было исследовано выше кольцо й*.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно заметить, что гомомор­ физм Гуревича я* ((Х/А) f\TBU) Я* ((Х/А) ДГЯЯ; Z) являет­ ся изоморфизмом по модулю класса конечных групп. ■

Т е о р е м а . Пустъ (X, А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют кручения.

Тогда й* (X, А) является свободным Q^-модулем, изоморфным модулю Я* (X, А; Z) ® й*. В частности, гомоморфизм вычисле­ ния е: й* (X, А) -э- Я* (X, А; Z) является эпиморфизмом. Если

{хі} — однородный базис группы II* (X , А; Z) и ff. (М1, дМ1)

—*■(X , А) — отображения квазикомплексных многообразий в (X , А), такие, что fc* ([М , дМ]) = хи то Q* (X , А) является

свободным QÏ-модулем с базисом, состоящим из классов бордизмов [М1, fi].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как группы целочисленных кого­ мологий пары (X , А) ие имеют р-кручения, то операция Q0 дей­ ствует тривиально в группе II* (X , А; £ р), и поэтому группа

H* ((ХІА)f\T B U ; Zр) является свободным ^ р/(^0)-модулем от образующих {а;* ® иа}, где {z*} — базисные элементы, двойствен­ ные к Хі (mod р), и {иа} — базис свободного «5#0/(<?о)-модуля

II* (TBTJ', Zp). Таким образом, группа Q* (X, А) не имеет круче­

каждого простого р, и поэтому индекс группы (іте) в Н*(Х, А \ Z) не делится на р. Таким образом, е является эпиморфизмом. Выбе­ рем классы кобордизмов [Мг, fi], отображающиеся при гомомор­ физме е в Хі. Из рассмотрения спектральной последовательности

пе В*. Элементы Ьш-[Мг, / ;] имеют линейно независимые над полем Zp характеристические числа ch (z,) Sa (е) ff, и, следовательно,

В* является образом свободного Q^-модуля с базисом {[M1, /J}. В частности, набор {[М\ /,•]} дает базис свободного й^-модуля

а* ( х ,4 ) . ■

Сл е д с т в и е . Пустъ (X, А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют кручения. Тогда характеристические Z-когомологические числа полностью

определяют класс бордизмов из группы Qlf (X, А). Кроме того, все соотношения между этими числами получаются из К-теории.

Последнее утверждение, если говорить кратко, означает сле­ дующее: для отображения /: (М, дМ) ->■ (X, И) определены обобщенные числа Чжэня по формуле /* ( х ) (т) [М, дМ],

Небольшое изменение в доказательстве предыдущей теоремы позволяет получить те нее результаты при наличии кручения толь­ ко определенного вида.

Т е о р е м а . Пустъ (X , А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют р-кручения для р £ Р' (где Р' — множество простых чисел), и пусть Ç' £ Ос — мно­ жество рациональных чисел, знаменатели которых в несократи­ мом виде дроби взаимно просты с числами из множества Р ' . Тогда QU (X , А) (g> Q' является свободным (Qÿ ® (У)-модулем, изо­ морфным модулю Я* (X, A; Z) ® QJj' <g> Q' . В частности, коядро гомоморфизма вычисления является конечной группой порядка, взаимно простого с р для всех р £ Р'.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Повторяя предыдущее доказатель­ ство, но используя только простые числа р, принадлежащие мно­ жеству Р ', получим, что группа (X , А) не имеет ц-кручения и что группа сокет (е) является конечной порядка, взаимно про­ стого с р для р £ Р ' . Выберем тогда классы х . £ Я* (X, А), кото­ рые образуют свободный базис группы Я* (X , А) ® Q', и отобра­

жения (Ар, fi), реализующие классы ПіХі, где — £ Q'. При дока-

® (/, можно предположить, что (X, А) является парой конечных комплексов. (Для доказательства того, что модуль является сво­ бодным до размерности п, можно взять ограничение на (п + 1)- мерные остовы комплексов X и А. Это не вносит новых элементов конечного порядка и индуцирует изоморфизм с группой Оі/ (X, А) в размерностях, меньших или равных п.) Используя теперь, что все дифференциалы в спектральной последовательности Атья — Хпрцебруха (Атья п Хирцебрух [2]) имеют конечный порядок,

компоненту степени, равной dim х-„ причем ch (zf) [хц] = m-, £ Z,

~ T Q\ a значение числа ch (zt) на всех других xj той же самой

или более низкой размерности равно нулю. Обозначим через В # подгруппу в Я* ((ХІА) X ЯЯ; Z), определяемую условием целочисленности выражения ch (z;) Sa (е) сТ [х] для всех х и со; тогда, повторяя рассуждения из доказательства -теоремы, получаем, что группа ОД ® Z {(М l, /,)}сг QU (X, А)с= Я* имеет конечный индекс в Я* порядка, взаимно простого с р для всех р £ Я'. ■

С л е д с т в и е . Пустъ (X, А) — пара клеточных комплексов, группы целочисленных гомологий которой не имеют р-кручения. Тогда й£( (X, /1) (g) Zp является свободным (Й^ ® Жр)-людулем, изоморфным модулю H* (X, A) <g> й^ ® Zp.

С л е д с т в и е . Пустъ группы H* (X, А; Z) не имеют р-кру­ чения для всех р Ç Р '. Тогда обобщенные числа Чжэня определяют класс бордизмов с точностью до элементов конечного порядка, взаимно простого со всеми р Ç Р ' . Далее, все р-примарные соотно­ шения между этими числами следуют из К-теории конечных осто­ вов пары (X, А).

Следует отметить, что результаты, касающиеся р-примарных явлении, верны и для пространств с р-кручением в целочислен­ ных гомологиях, если рассматривать только такие размерности, что все кручение сосредоточено выше, поскольку в этом случае можно перейти к ограничению на остовы.

3 а м е ч а и и е. Выше мы всюду предполагали (неявно), что пара (X, А) имеет конечный тип. Заметим, что группа К (X, А) может быть пулевой, в то время как if-группы конечных остовов пары (X, А) не обязательно нулевые. В последнем следствии для определения соотношений по модулю простого числа р и его сте­ пеней нужно взять остов большой размерности (вид соотношений не зависит от выбора остова). В работе Ходжкина [1] показано,

теория в отличие от гомологий и бордизмов не является тесно связанной с разложением пространства X на остовы Хп (3).

Лаидвебер [4] исследовал гомоморфизм й J (Х')^>-Л* (X; Z) для X = К (Zp, п), К (Z, п) и BU (2q, . . ., оо) (связное накрытие пространства BU) в стабильной области, интересуясь, разумеется, только элементами конечного порядка. Он полностью вычислил образ гомоморфизма, но этот результат не определяет группы бордизмов, так как в рассматриваемом случае существуют нетри­ виальные расширения.