книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

индуцированным расслоением

® det

над N при проекции

D —у N. [Если р:

X - у Y — гладкое векторное

расслоение, то

тд' ^ р*Х ® р*Ту,

где р*Х — расслоение

вдоль

слоев, опреде­

нение в некоторой метрике

к расслоению р*Х отождествляется

с помощью дифференциала

с расслоением р*тг .] Таким образом,

многообразие U допускает

(BG,

р)-структуру,

совпадающую

с исходными структурами на L х

I и D (ограничения

которых

на ІЗ|Лгхі

согласованы). Далее, отображения f -яр L

X I - у X

и Fi N —>- X согласованы на N

X 1 и поэтому определяют отобра­

жение F:

U’ - у X. Композиция

отображения F

с ретракцией

X [—1, 0], отождествляя E\LXо с трубчатой

окрестностью мно­

гообразия L X 0 в М X 0.

многообразие

W ретрагируется

Описанным

выше способом

на подпространство М х [—1, 0]

(J U, где U — нулевое сечение

расслоения Е\

многообразие

W

допускает

(5(?,р)-структуру,

получаем,

что расслоение

det хи =

р*

det х-%<g> р* det т^г три­

виально,

и на части

L X I

расслоение

det хи — det xLxI

три­

виально, так как нормальным расслоением многообразия L в М

является

det М и,

следовательно,

det xL <g> det т к . =

det хм

на L.]

с

2 7 і"

но прогомотопировать до отображения М' —> 2Ѵ —* Т£, где ѵ' —

/: (М ,

дЩ - у (X, 4) лежит в образе гомоморфизма F„.

4)

Наконец, докажем, что гомоморфизм d является эпимор­

над многообразием

М.

Расслоение

р: Р (£) -> М тогда

также

является гладким

расслоением и

р*хм ® 0, где

Ѳ =

= k e r(р*) — касательное

расслоение

вдоль слоев.

рас­

Расслоение 0 является

факторрасслоением касательного

слоения вдоль слоев расслоения 5 (Е) по действию группы б1' 1

- 1

или

странством пар ([(я, s)], у) в Е (X)

X Е (Н), таких, что р (х) = р (г/)

и ([(ж, te)], у)

([(о:, s)], іі/), или, эквивалентно,

с пространством

пар (ж,

у) £ S

(£) X Е (£), таких, что (to,

ty) ~

(ж, г/). Эти два

представления

пространства Е (X ® р* (£))

можно отождествить

при помощи отображения

([(ж, s)], у) -> (ж, sy).

Имеет место изо­

морфизм 0 ® 1

X ® р* (ç), где 0 — ортогональное дополнение

к сечению ж -у (ж, ж).

І' 0 1. Вложение I' с: g опре­

Предположим теперь, что | =

деляет вложение P (^ ')с

Р (£) с нормальным расслоением, задан­

ным расслоением X, так как Ѳ ® 1 = X ® р* (£) = X ® р* (£') 0

®А,®1.

Многообразие

Р (£')

является

факторпространством

ством

пространства (Е (£') X iS’1-1)

f| S (£),

которое совпадает

с образом многообразия М X 1 в Р (£). Над этим подпростран­

ством

расслоение X имеет сечение,

заданное

отображением т -у

от выбранной структуры).

некоторое отображение

Пусть теперь / :

(М,

дМ) - у (Z, А)

—

и р = del хм

(где

тм — стабильное

касательное

^-векторное

расслоение).

Рассмотрим

пространства

U = Р (р, ® 2),

V =

= Р (р 0

1),

W =

Р (р) и их проекции л: U

М, я': V -+■ М Т

л": W - у М. В стабильном касательном расслоении хи фиксируем

структуру Z -векторного

расслоения я*тм 0

X ® л* (р) ф X ф X

(изоморфного,

как

вещественное

расслоение,

расслоению-

л* (tir) ф X

л* (р ф 2)), в расслоении хѵ фиксируем

струк­

туру

расслоения я'*тм ф X <g> л'* (р) ф

X и

в расслоении xw

структуру

расслоения

л"*тм ф X ® л"* (р).

Тогда для класса кобордизмов, представленного отображением

/•л: (U, dU) -у (X , А), класс кобордизмов d [U, /-л]

представлен

отображением / -л": (W , dW) -у (X , А), так как

det хц =

л*р ®

® X ® л*р ® X ® X ^

X.

Заметим

теперь,

что

отображение

л":

W -у М является

диффеоморфизмом

и

я"*р =

X, так что

d et хм ф (d et

тм), то в Z K-когомологиях

полный характеристи­

ческий класс

многообразия N имеет

вид

o' (N) = о (М)І( 1 -

от*

(М))

где Ра — некоторый

целочисленный

полином

и

Ра (о* (М )) =

= Ош(М) + (члены,

содержащие в

качестве

множителя

класс

Оі (М)). Таким образом, все характеристические

числа

класса

ристические

числа.

В частности, если

H * (X,

А; 2.к) — свобод­

ный Жк-модулъ, то

группа

{К,

2)

(X, А)

изоморфна группе

F J f * (К, 2)

(X, А).

З а м е ч а н и я .

1. Трудность заключается

в случае К = С,

в котором Z-характеристические числа не определяют класс бор­

дизмов

пространств

с кручением в

гомологиях.

2.

То, что следующее доказательство проходит в комплексном

■случае, было указано мне Уоллом. Это доказательство было

использовано в работе Стонга [3].

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть /: (М, дМ)

(X, А) — такое

отображение,

что

{<з\ааІ* (х)} [М,

дМ] = 0

для всех х £

g:

f-> X .

нительную алгебраическую структуру. Для К = 01

это сделать

очень легко, используя тот факт, что пространство

Р (ВІ2) =

S 1

является коммутативной группой.

S 1: (z, w )^ - z - w

умножение

Обозначим через

т: S 1 X S 1

комплексных чисел модуля 1. Расслоение

является линейным

расслоением, ограничение которого на S 1

X 1 и 1 X S 1

совпадает

с I; таким образом,

т*g =

® л|Ё.

Тогда если

/:

М

S 1

и g: М' —у iS1 1

— отображения,

при которых £ индуцирует рас­

слоения det

и det тм», то

при отображении

М X М'

S 1 X 5 1 —

П р е д л о ж е н и е .

Группа W* (31, 2) (X,

А)

является сво­

бодным fj‘\

(31, 2)-модулем, изоморфным модулю

(X , И; Z2) ®

® 7

Г* (31, 2

),

и W * (R,

2 ) является

1 .2-подалгеброй

алгебры 91*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Используя,

как

показано

выше,

умножение

в

пространстве

»S’1,

можно

ввести

в

группу

91'\

(31, 2) (X, И) структуру “7/ ‘* (31, 2)-модуля. Так как образую­

щие

группы

H * (X , И;

Z2)

можно

выбрать

из

образа

групп

7Г* (31,

2) (X,

А), то для доказательства

того,

что

7Х* (R, 2)-

модуль

W* (31, 2) (X, И) является свободным, достаточно подсчи­

П р е д л о ж е н и е .

Группа Ж* (К,

2) ® Z2cp Й* ® Z2

является Ж2-?годалгеброй.

Фактически, если а, Ь £ Ж #{К, 2), та

Ф (а -b) =

а -b +

2 [У2к] да-дЬ,

где [У2к ] = [P (К 2) X P {К2)] -

[Р {К3)], и

если М - предста­

образие

в М, двойственное расслоению det тм .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как Ж*(К, 2)—прямое

слагаемое

в Й*,

то W * (К , 2 ) ®Z 2

C Û ®® Z2.

Пусть

р, gÇ W %(К , 2) <g>Z2

представлены элементами

х, у £й*;

тогда

а;= а + 2

н,

у = Ь-\-2 и,

где а,

ЪÇ т-Г* {К, 2), и,

і;£Й*. Поэтому

элемент

p-g6 ^ ® Z 2

доказана.

Тогда, с одной стороны, Ф {а-Ъ)

* {К, 2), а, с другой

стороны,

Ф (а-b) = а -b (mod 2). Таким образом, остается доказать

только формулу для Ф(а-Ь).

следовательно,

й* (Р (К°°))

является свободным й^-модулем

с базисом, заданным классами бордизмов вложений і: Р (ІС)

с-»- Р {Кх), г ^

1. Положим

Xj — (Р {ЮР1), і).

Обозначим через е: й* (Р (і?“))

й*: [М, /] ->- [АЛ аугмен­

тацию. Ясно, что s — гомоморфизм

й*-модулей. Пусть р: й*

-> й* (Р (К°°)) — отображение, сопоставляющее

классу бор­

дизмов \М] класс бордизмов

отображения {М, /),

где /* (£) =

= det т м. Отображение

Р (К°°) X Р (К °°) —>- Р (Ä“ ),

классифи­

цирующее расслоение \

® |,

естественным образом

определяет

del т МХДГ' =

det тм <8 >det тЛГ',

то

р является

гомоморфизмом

колец.

( К ,

2),

то \і х

принадлежит

образу

группы

Если

X £

Q* (Р (К 2)),

так что

fix =

ах0 +

ßa: l 5 где а,

ß GQ*. Тогда x =

=

ера; =

а + ßea,-! и da: =

еДра; ==

s (ßa;0) =

ßea0

= ß.

=

Для

любого

элемента

с Ç

имеет

место

формула

Ф (с) =

еД (р (с) .Tj).

Таким образом,

если a,

b £ W * (К , 2),

то ра =

=

ах0 +

а.'хи

рЬ =

ßa: 0

+

ß'a;b

поэтому

Далее,

еДаф =

еа^,

так

как

подмногообразие

Н ІЛ в

P (К2) X

X Р (К2),

двойственное

расслоению

Е ® È, совпадает

с Р (К2)

(а (І'Іі, і) = {(1 +

x) 2 (1 +

z/)2}/(1 -ß x +

у) и многообразие IIі, і двой­

ственно

классу

x +

у,

поэтому о^ (Ні,і)

=

(x +

у) 2 [P (К2) X

X Р (К 2)]

=

2 =

о1!

[Р (Д?)]).

Кроме

того,

еДа: 3

=

Зеа:2 — 2еа:2,

так

как

если

II а

P (К2) X P (К2)

X Р (К2) — подмногообра­

зие,

двойственное

расслоению І ® І

® Еі

то

„ /

LT\

(1 + ^ ) 2 (1 +

І/)2 (1 +

г ) 2

î + (x + y+ z) + 2(xy -I1- a:z -f yz),

1

>

i + x + y + z

и многообразие

II двойственно классу x -j- y

f- z,

поэтому

a\ [II]

=

c2

[II]

=

2

(xy +

xz + yz) (x +

y

f

z)

[P (К2) X

X P (К2) X P (K2)] = 6

o?

LP

(ДГ3)]

=

9 ,

ci2

[P (K2)] = 3 ,

or* [ ( P

(K2)2]

=

8 ,

Таким образом,

o, [P (K2)2] =

4.

Ф (ab)

=

aßex0 +

(aß'

+

ßa')

ext +

a'ß ' (Зеа; 2

— 2еа;2) —

=

(a

+

a'ea^) (ß +

ß 'ex}) + a 'ß ' (2 еа; 2 — 2

ea:2) =

Л е м м а. Если a, b £

(К, 2), то

5 7 % ( С , 2 ) ®

Z 2 = Z

г [ Ь j , ( b 2S+ i ) 2 +

c 2 s + 2 | s

> 0 ,

] Ф

2 ' + % f > 0 ] ,

где элементы

с2$+г

принадлежат

идеалу

в

£2 *,

порожденному

мы, алгебраически независим и порождает в £2* ® Z2

подкольцо

**

ГГ

= 2к.

Из

точной последовательности

О

-+7ГЩ(К, 2) ® Z2-^Q* ® Z2^ Q ® ® Z 2->0

следует

тогда,

что кольцо Q имеет тот же ранг, что и кольцо

57% (К, 2) ® Z2

(d имеет степень —2к). Так как 57% (К, 2) ® Z2

—

подкольцо в £2* ® Z2> то достаточно построить только образую­

щие. Определим многообразие М, следующим образом:

1)

Если

і =

21, то положим М,

= KP (2%.

2)

Если

і

нечетное и не имеет вид 21 — 1, то представим его

в виде

г =

2

Р ( 2 q + 1 ) — 1 , р, q ^

1 , и возьмем в качестве

М,

подмногообразие

в

KP (2Р) X /ОР (2р+1 д), двойственное классу

когомологий

а,

=

(2 Р -U 1 ) а, -|-

(2 р+1д +

1 ) а 2,

где

a Ç

6 ^

(/ТР (?г);

Жк)

— образующие

и

а, — образующий в

кого­

мологиях г-го сомножителя.

3)

Если і

— четное число и не является степенью числа 2, то

представим его в виде і = 2 Р (2 q +

1 ), р, у ^

1 , и возьмем в каче­

стве М, подмногообразие в KP (1)

X KP (2Р)_Х KP (2p+1 ç), двой­

ственное классу когомологий а, +

(2 Р + 1 ) а 2 + (2

p+1# +

1 ) а 3.

4) Если і = 2І+ 1

— 1, t~^ 1, то

возьмем

в качестве М,

под­

многообразие в KP (2% X KP (2*), двойственное классу когомо­

логий ai = (2

1 1

) (ai + a 2).

Покажем, что классы

кобордизмов

многообразий M t дают

полный

набор

образующих

кольца

кобордизмов

Q*(mod2 ).

В самом деле, имеем:

1)

о (Мі) = ( 1 + а)2І+І,

так что

S [Мі]= 2(

1 фО (mod 2), если

2 > 0 ,

и S [ІІД] ф 0 (mod 4), если і = 0. Далее, у многообразия ЛГр

характеристический

класс

cL■-=2 а

сферический,

задаваемый ото­

бражением

степени 2

сферы S2

на себя,

и Л/р

является

гранич­

ным в

2

) o(Mi) = ( l+ â 1 )2 P+1 ( l+ â 2 )2 P+1 î+V[H-(2

p+ l)â 1 -h(2 p+1 ?+ l)â 2],

так

что характеристический класс at (Мі) равен нулю и, следо­

вательно,

является сферическим;

далее,

S [Мі] = — [(2р + 1)а1 4-

+ (2p+1g +

l)ä 2 ] i + 1

[KP] =

—(2p-j- 1)2Р (2р+1^ + 1)2Р+1? ( 2Р {| р+ 1)) ,

и,

следовательно,

число S [Мі] нечетно.

3) 0 (iWi)==(l+a1 )2

( l+ a 2 ) 2 P +

1 (1

+ а 3 )2 Р+1 ?+1 /[1

+ а і+ ( 2 р+ 1 )а 2+

4

- (2

p+1 g-j-1 ) а3],

так

что

характеристический

класс

аі = а1

является

сферическим;

далее,

S [М;] = — [cc.j + (2Р -)-1) а2

+

(2р_+1д +

1) а 3 ] і + 1 [KP] =

-

(i + 1)а,

{(2Р +

l)â2

+ (2P + 1 g +

+

1)а3}‘

[KP]

=

-

(2p (2g

+

1) +

1) (2P

+ 1

)2P (2p+1g +

+

1 )2P+1®(

2

^2 P ~ ^

^ ) 1

и’ следовательно, число iS^M;] нечетно.

4)

о (Мі) = (1

+ а 2 )2 І+1 /(1+(2г+1) (о^ + аД),

так что

класс

сц (М) равен нулю и, следовательно, является сферическим;

далее,

5 [Mt] = —(2 г +

1 ) 2

' + 1

( 2 ‘Р ) ф 0 (mod 4).

По симметрии относительно

образующих сц и а2

все характе­

Положим теперь

хі = [Мр] для і ф 2s— 1

и возьмем в каче-

стве Ьі образующие

кольца

и

такие,

что

(Г*

Q*,

Ьі = [Mr] (mod 2).

Таким

образом, осталось показать,

что классы (^2 s) 3 и (k2 s + 1 ) 2 +

+ C0 S+ 2

принадлежат кольцу Ж* (К, 2) ® Z2.

Пусть Лг er KP (1) X KP (2г+1) X KP (2І+1), £ > 0,—подмногооб­

разие,

двойственное

классу

когомологий

aj + (2 l+l -}- 1 ) (a2 + o:3).

Тогда характеристический класс 0 1

(AT) = cq является сферическим

и, следовательно, [ІѴ] Ç #** (К, 2). Так как многообразие RP (2* + 1 ) 2

имеет

нулевой класс

ш1: то

—Ф (RP (2f+1)2) ~ RP (2t+1)2. Так