книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Используя алгебру Стинрода Jbv, можно тогда повторить для ориентированных многообразий почти все конструкции, которые применялись в 2-примарном случае для теории неориентирован­ ных кобордизмов.

Пусть М п — замкнутое ориентированное многообразпе. Из тео­ ремы двойственности Пуанкаре и теоремы об универсальных коэф­ фициентах следует, что спаривание

IP (М; Zp) 0 Яп_і (М; Жр) - + lp: a 0 b -► {а и Ъ) [М\

является обычным двойственным спариванием. Тогда существуют единственные классы By щ 6 Я “і(р~11 (М; Жр), такие, что

(&1а) [М] = (щ и а) [М\

Т е о р е м а . Пустъ М п — замкнутое ориентированное мно­ гообразие. Тогда класс Qi совпадает с приведенным по модулю р классом S /р-1 р_п (Т (т)), т. е. если касательный класс Понт-

\’ ' '' 1 2 '

рягина многообразия М п формально представитъ в виде Ц (1 + а:))>

сом Бу и касательными классами Штифеля — Уитни, достаточно рассмотреть результат действия операции &г па классе Тома

U £ Я* ( TB S02k\ Z ) . Используя принцип расщепления, класс U можно представить в виде произведения х1 . . . xh 2-мерпых классов, так что элемент П‘г (хг . . . xk) равен сумме всех мономов

приведенной по модулю р. Покажем это. По предыдущей теореме

Тогда имеет место (mod р)-аналог теоремы Дольда:

Т е о р е м а . Все соотношения между числами Понтрягина

ориентированное п-мерное многообразие Мп, такое, что ср (а) =

является свободным J-.pH.Qa)-модулем, и из результатов о гомото­ пических группах спектров с такими когомологиями непосредст­

венно следует, что образ группы я* (T B S O ) в Я* (T B S O ; Zp) в точности состоит из элементов, аннулируемых элементами груп­

пы J vIi* (T B S O ; Zp). Используя теперь метод доказательства теоремы Дольда, нетрудно получить доказательство теоремы. ■

З а м е ч а н и е . Этот результат и его аналог для комплексных многообразий (который доказывается точно так же, с использо­

ванием того, что группа Я* {TBU; Zp) является свободным ^р/(<2о)-м°дулем) впервые был получен Атья и Хирцебрухом [3]. Так как все р-примарыые соотношения между Z-когомологиче- скими характеристическими числами следуют из Х-теории, то и со­ отношения By должны вытекать из соотношений, даваемых Х-теорией. Предлагаемый ниже вывод соотношений By также был получен Атья и Хирцебрухом.

Т е о р е м а . Для каждого разбиения со обозначим через Ѳм Ç 6 Я* (В SO; 31) класс, полученный из S a (е^) L умножением каж­

дой компоненты размерности (2і -)- Ап (со)) на ql, где q = р1/<р_1>. Тогда каждая компонента класса Ѳш может бытъ представлена в виде произведения некоторой степени числа q на рациональный полином от классов Понтрягина со знаменателем, взаимно простым с р, так что для класса Ѳю имеет смысл приведение по модулю р 1), и, следовательно, определен класс рр (Ѳш) 6 Я* (BSO; Zp). Факти­

где правая частъ равенства сравнима с нулем по модулю р, и, сле­ довательно, соотношения Бу {$>т* (Ъ) — ѵх* (b)} [М ] = 0 для всех Ъ 6 Я* (BSO; Zp) вытекают из соотношений, даваемых К-теорией.

*) Заметим, что кольцо целых р-адическпх чисел Zp замкнуто относи­

тельно извлечения корня степени (р — 1), поэтому g Ç Zp и 0О g В* (ВSO; Zp).

Обратим внимание, что ниже все вычисления будут проводиться в поле р-адических чисел; по модулю р будут приводиться элементы, принадлежащие кольцу Zp CZ С5,р.— Прим, перев.

тогда и только тогда, когда к является степенью числа р. По тео­

=(x) & - 1 (x) =

=cP 1 (x2) (mod p).

Обозначим через сршфункцию, полученную из Sa (е^) умножением

то L* г= у (mod р). Тогда

Это дает равенство

(g>) v - S a ( f )} [M] = ~2n(“)} {Sa ( e # ) L - S a ((?)} [M\

по модулю p. Так как числа iS(a(e^)L[M] и Sa (<j?)[M] принад­

лежат кольцу Z [ 1 ] , то правая часть равенства сравнима с нулем

Ъѵ — &b = &~1 (&b)v — (&b)= S K {'9v_1Sa(k®)y—<Sffl(^)} = 0(mod p).

Следовательно, соотношения By вытекают из соотношений, давае­ мых /С-теорией. g

З а м е ч а н и е . Можно использовать тот же метод и в случае комплексных кобордизмов. Действительно, если каждую компо­

(с) и и тем самым все соотношения By опять будут выте­ кать из соотношений /іГ-теории. Этот метод проходит и для р = 2,

так как в этом случае члены, содержащие 2р;_1, не возникают

и[е)ПМ] в Z.

Для полноты исследования р-примарной ситуации приведем еще один результат, получаемый так же, как и в 2-примарном случае.

Т е о р е м а . Пустъ р — нечетное простое число. Д ля каждого оснащенного многообразия М п рассмотрим ориентированное мно­ гообразие Fn+1, дѴ = М. Тогда (mod р)-инвариант Хопфа гомо­

топического класса отображения 5Л+ТІ S N, N ^ п>представи­ телем которого является М , равен

Sfy-i p -i^(f (ѵ)) [F, Ж],

где 2i (p — 1) = n + 1, и является единственным инвариантом оснащенных кобордизмов, который можно получитъ таким спосо­ бом при помощи Zp-когомологических характеристических чисел.

З а м е ч а н и е . Из работы Люлевичуса [1] о разложимости операций бРг известно, что (mod р)-инвариант Хопфа, соответст­

вующий операции éP\ может быть ненулевым только для £ = 1 х). Для п = 2р — 3 имеем

Н Р(\М]) = Ç, ( V ) [7, М] = щ ( V ) [У, М] - - у, (т) [У, М\ -=

= —pL(р-1 )/2 (х) [У, М] = —рес [М] (mod р).

Таким образом, если инвариант Адамса в£ ([іѴЛ) представить в виде

( y j + , где а, Ь, с Ç Z и с взаимно просто ср, то Н ѵ([М ]) ===

= —а (mod р). Таким образом, инвариант Адамса определяет (mod р)-ииварпаит Хопфа в точном смысле этого слова.

2-примарные результаты

Для полноты изложения, по-видимому, желательно привести основные результаты о 2-примарной структуре пространства ВSO из тех, которые не использовались при выбранным выше методе исследования кобордизмов.

Т е о р е м а . Кольцо когомологий H* (BSOn\ Z2) является

кольцом полиномов над Z2 от классов Штифеля— Уитни иц (у71) для 1 <; і ^ п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим отображение BSOn ->■ ВОп, классифицирующее расслоение у". Тогда гомоморфизм

fl: Н* (ВОп; Z2) = Z2 [іщ | 1 < £ < ni H* (BSOn; Z2)

переводит w-t в wt (y"). Так как wx (yn) = wx (det y") = 0 вслед­ ствие тривиальности расслоения det yn, то определен гомоморфизм

ІпРп = Z2 ІШі I 1 < i < 711 H* {BSOn‘, Z2).

Покажем, что он является мономорфизмом. Пусть gn: ВОп^х

все эти элементы алгебраически независимы в кольце Z2 [іщ | 1 ^

*) Методы А-теорпи позволили дать простое решение задачи об инва­ рианте Хопфа 1 п о (mod р)-йнварнаите Хопфа. Первым такое решение получил Дайер (Dyer, Chern characters oî certain complexes, Math. Z., 80

(1963), 363—373). В настоящее время существует очень много вариантов решений, основанных на различных результатах из А-теоріш. См., например, работы: Adams J. F., Atiyah М., А-theory and Нор! invariant, Quart. J. Math.,

17 (1966), 31—38; Бухштабер ß. M., Модули дифференциалов спектральной последовательности Атья — Хирцебруха, II, Машем, сб., 83, № I (1970), 61—76.— Прим, перев.

^ і ^ (п — 1)], то гомоморфизм ff, ір„ является мономорфизмом. Покажем, что ft \рп является эпиморфизмом, используя индукцию по п. Для а — 1 пространство BSOx является точкой, для п = 2 имеем B S0 2 — BU\ = СР (оо), и поэтому кольцо кого­ мологий Н* (BS0 2; Z2) является кольцом полиномов, порожден-

которая в когомологиях дает следующую коммутативную диаг­ рамму:

О <—Я* ( B S O ^ ^ - H 1 (BSO„) < - Я ип (BSOn)

4-х t 4"n t

^-I-P(BOn) < - Hi~n (BOn) <— 0

где когомологии пространств Тома заменены когомологиями баз при помощи изоморфизма Тома. [Последовательности короткие, так как гомоморфизм s является эпиморфизмом. Вследствие того что /£_і — эпиморфизм, гомоморфизм г также является эпимор­ физмом.] Используя также индукцию по і, можно считать, что

f n n является эпиморфизмом, а так как /,\_ і — эпиморфизм, то

и fn — эпиморфизм. Следовательно, и ft — эпиморфизм. Шаг индукции завершен.

З а м е ч а н и е . Этот результат объясняет, почему все Z 2-KO- гомологпческие характеристические числа ориентированных мно­ гообразий должны совпадать с числами Штифеля — Уитни.

Лемма. В кольце Н* (ВО] Z2) имеет место формула

S q 1 W i — w p v i + ( i + 1) W i + 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применяя принцип расщепления, представим класс wt в виде і-го элементарного симметри­

моном встречается столько раз, сколько существует способов

Адема) Sq^Sq1 = 0. Таким образом, операция Sq1 является диф­ ференцированием, квадрат которого равен нулю, и поэтому можно рассмотреть гомологии относительно операции Sq1.

Л е м м а. Группы гомологий относительно операции Sq1 сле­ дующие:

H (Н* (ВО; Z2), S q ^ ^ l ß w l ß

является тензорным произведением колец полиномов следующего вида:

Z2 1ш2і-, б'д1^ ] и Z2 [шД,

замкнутых относительно действия Sq1. Применяя теорему Кюннета, получаем, что кольцо гомологий кольца Н* (ВО) является тензорным произведением колец гомологий сомножителей, изо­ морфных Z2 [w\j\ и Z2 соответственно.

Для колец H* (BSOn; Z2) данное вычисление полностью при­

чение в группе H* (BSOn; Z) является 2-примарным. Если бы неко­ торый элемент конечного порядка в H* (BSOn; Z) имел порядок 2fe,

0 +-H* (BSOn Z2) -Ч- H* (BSOn; Z2) ч- H* (TBSOn; Z2) ч-0,

в которой класс Тома отображается в wn и когомологии про­ странства Тома можно отождествить с идеалом в H* (BSOn; Z2),

порожденным классом wn. Так как Sqhon = wxwn = 0, то опе­ рация Sq1 аннулирует класс Тома, и поэтому ядро гомоморфизма V содержит группу ji^Sq1.

Пусть gn: ВОп_і ->- BSOn — отображение, классифицирующее

ff* (BOn-L; / 2), порожденный классом гнп-і> получаем, как уже

отмечалось выше, что гомоморфизм Л 2 —>■Н* (ТВ О; Z2): a^ - a(U) является мономорфизмом в стабильной области. Таким образом,

ченный вычислением действия операций на классе Тома, является

(U <g>х) = (Sq1!!) ® X -f (члены, делящиеся на a:2),

Sq^q 1 (U ® a;) = Sq1 (U ® x2) = (Sq1!!) ® a;2.

Так как элементы Sq1!! линейно независимы над Z2, то элементы (Sq1!!) ® X и (Sq1!!) ® а:2 также линейно независимы, и поэтому гомоморфизм вычисления на U ® х является мономорфизмом.

Как уже отмечалось выше, S 1 является группой, что позволяет превратить В В і2) в JT-пространство. Поэтому в кольце ff* ( T B R {2); Z2) существует структура коалгебры, коединицей которой является класс Тома. Применяя теорему Милнора — Му­

ра, получаем, что кольцо Н* (Т B R (2); Z2) является свободным ,?#2-модулем. s

З а м е ч а н и е . Из результатов следствия и того, что кого­ мологии пространства ВО эпиморфно отображаются на когомоло­ гии пространства В В і2), можно вывести, что кольцо W \ (Я, 2) мономорфно отображается в 91*, и фактически вывести все резуль­ таты о структуре кольца (Я, 2).

Отсюда можно получить также следующий результат Уолла:

Т е о р е м а . Как модуль над алгеброй Стинрода, группа

H*(TBSO; Zo) является прямой суммой экземпляров Л 2 и Л АЛ ^Sq1. Более того, существует отображение спектра ТВ,SO в произве­ дение спектров типа К (Z) и К (Z3), которое является 2-примар- ной гомотопической эквивалентностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим Т = Н* (TBSO; Z2). Взяв приведенное произведение спектра T B S O с корасслоением S1 -ѵ RP (2) S 2 и применяя функтор 2 2-когомологий, получаем

точную последовательность

О -+-Т+-Т{х, х2}+ -Т< - О

морфно отображается на дополнительное слагаемое к л (ker Sq1).

и так как операция Sq1 аннулирует пространство К , то он инду­

Так как / — эпиморфизм, то и Е также является эпиморфизмом.

F

Поскольку композиция гомоморфизмов (L ® х) 0 (К ® я) —►

Поскольку образ элемента m в Т/Т' не равен нулю, ибо он отобра­ жается в дополнение к п Т' , то элемент m 0 х2 £ IT SË А 2 ® М 0 х не равен нулю. Таким образом, естественное отображение U’ -*■ Т/Т1 должно иметь нензміевое ядро в размерности і + 2, и, сле­

= 2 Q-ßi "T / j b j k j ,

где l'iÇ_L’, kjÇ.K и a,, b j ^ A z- Применяя гомоморфизм я к обеим частям равенства и используя независимость групп M, V и К ,

Sqhn = Sq1 ( S ad'i) + Sq1 (У, bjkj).

следовательно, и тѣ', и ш" оба равны нулю, что противоречит