книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

UroT\\ Т \-* -А тзадает, по определению, A-ориентацию расслое­ ния £. Над каждой клеткой Dnкомплекса X расслоение | тривиаль­ но, и так как клетка Dn является линейно связным и односвязным

пространством, то класс UroT% задает ориентацию расслоения І над Dn. Пространство Тома ограничения расслоения | на Dn представляет собой пространство (Dn X S n)/Dn X *, и в этом случае гомоморфизм Тома совпадает с изоморфизмом надстройки.

Таким образом, гомоморфизм Тома определяет гомоморфизм спек­ тральной последовательности Атья — Хирцебруха для А-кого­ мологий комплекса X в спектральную последовательность Атья — Хирцебруха для приведенных А-когомологий пространства Тома TI, который является изоморфизмом в члене Е 2 и, следовательно, в члене Ех . я

Рассмотрим многообразие М п, вложенное в Нп+Г так, что его граница дМ вложена в Б ’иг_1 описанньш ранее способом. Пусть V — нормальное расслоение многообразия М и ѵ' —нормальное расслоение многообразия дМ.

Те о р е м а . (Атья [3].) Пары комплексов

a)(МІдМ) и Тѵ или

B) (М /0) и (Тѵ/Тѵ')

являются двойственными в сфере S n+r+1.

[Комплексы Б и С, вложенные в сферу S k, называются двой­ ственными, если они не пересекаются и каждый из них является сильным деформационным ретрактом дополнения к другому.]

мационыой ретракцией стянуть на пространство pt у (М — дМ) X X 1, и, обратно, дополнение к топке, лежащей внутри простран­ ства H n+r X ( — оо, 0) U ( — -/V) X [0, оо), и к (М — дМ) X 1 мож­ но сильной деформационной ретракцией стянуть на пространство Тѵ/Тѵ’ (см. рис. 1).

Отождествляя М/дМ с пространством (М X 1) U 00 в сфере 5"+г+1, можно дополнение к М/дМ сильной деформационной

ретракцией стянуть на подмножество N X 0 (J дЛг X [0, 2] U с, где с —конус над dN X 2 с вершиной в некоторой топке, послед­ няя координата которой больше двух, и N = N — (N |~| Дп+Г_1).

Ясно, пто это подмножество можно отождествить с пространством Тѵ. Аналогннным способом можно показать, пто дополнение к Тѵ сильной деформационной ретракцией стягивается на М/дМ (рис. 2).

З а м е п а н и е . Все деформации, унаствующие в доказатель­ стве теоремы, полупаются как радиальные деформации по направ­ лению к искомым топкам или в результате умножения на скаляр слоев нормального расслоения к многообразию М. Ш

Пусть В в С, как и выше, — иепересекающиеся множества

в иепересекающиеся подмножества в R h. Рассмотрим отображение

/: В X С S h~1, задаваемое формулой / (b, с) = ..-Ь ~ с Пусть

Il ü 0 II

Ъи с — отмененные топки множеств В в С соответственно. Так как

Тогда композиция отображений

определяет элемент в группе # h-i-p(C; JL), обозначаемый через Da.

Так как пространства Sk— b и Sh—В стягиваемы, то H* (S h—b) —

= Н* (Sh— В) = 0. Результат леммы следует теперь из точно­ сти когомологической последовательности пары (іSh—b, S h—В). ■

в которой крайние гомоморфизмы являются изоморфизмами, так как они связывают нулевые группы; гомоморфизм D" также, оче­ видно, является изморфизмом. Применяя теперь лемму о пяти изоморфизмах, получаем доказательство следствия. В

Т е о р е м а . (Двойственность Александера.) Для любой поли­ эдральной пары (В, В') в пространстве R h гомоморфизм двойствен­ ности

легко провести доказательство, используя индукцию по числу клеток комплекса В, результат следствия и лемму о пяти изомор­ физмах. ■

ГЛ-умножение задается при помощи последовательности отоб­ ражений

и: S n+r Л TN/TN' Л (М/дМ) /\TN

(М/дМ) А АТ— Л (МІдМ) Л (М /0 )/\Аг,

где А — отображение, определяемое диагональю. Если х: 2 г(Л// 0)-»- A q+i — представитель элемента х £ H q (М ; А ), то его г\-про- изведение с фундаментальным классом задается отображением

Аналогичным образом определяется и второй гомоморфизм.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Построенные гомоморфизмы разла­ гаются в композицию изоморфизма двойственности Спеньера — Уайтхеда и изоморфизма Тома. ■

ГЛАВА IV

ИНТЕРЕСНЫЕ

ПРИМЕРЫ.

ОБЗОР

ЛИТЕРАТУРЫ

Так как теория кобордизмов является средством классифика­ ции, то интерес в ней представляет в основном исследование харак­ терных задан классификации. К настоящему времени рассмотре­ ны многочисленные примеры и существует обширная литература. Однако число общих теоретических методов невелико, а все разно­ образие связано с характерными свойствами конкретных примеров.

Цель этой главы—перечислить многие из этих примеров и крат­ ко указать, что известно и где найти изложение их в литературе.

Пример 1. Оснащенные кобордизмы: Q£r.

И с т о р и я в о п р о с а . Первое применение теории кобор­ дизмов, связанное с задачей вычисления гомотопических групп сфер.

О б ъ е к т ы . Оснащенные многообразия, т. е. многообразия с классом эквивалентности тривиализаций нормального расслое­ ния.

О п р е д е л е н и е . (В , /)-коборднзмы, где все В т— стяги­ ваемые пространства (классифицирующие пространства для единич­ ных подгрупп 1г групп Ог), поэтому группа й£г ^ 1 іт я п+г (Sr)

Г— Усо

является стабильной гомотопической группой сфер (Понтрягнн [2]). Р е з у л ь т а т ы . Существует обширная литература, в основ­ ном не связанная с теорией кобордизмов. Применение перестроек (Милнор [7], Уоллес [1]) в классе оснащенных многообразий пока­ зывает, что в качестве представителя класса оснащенных кобордиз­ мов часто можно выбрать гомотопическую сферу (Кервер, Милнор [1]). В недавней работе Коннера и Флойда [81 дана интерпретация

е-инвариапта Адамса [3] в терминах кобордизмов.

Пример 2. Неориентированные кобордизмы: 9Ц.

И с т о р и я в о п р о с а . Основополагающий пример теории кобордизмов.

О б ъ е к т ы . Все компактные многообразия, т. е. категория

{3>, д, і).

О п р е д е л е н и е . (В, /)-кобордизмы, где В г = ВОг и /г— тождественное отображение (Том [2]).

Р е з у л ь т а т ы . 9Ï* является кольцом полиномов над коль­ цом вычетов Z2 от образующих x t размерности і для всех целых чисел г, не имеющих вида 2s — 1. В качестве представителей четномерпых образующих можно выбрать классы кобордизмов вещественных проективных пространств RP (2г) (Том [2]). Гео­ метрические представители печетномерных образующих впервые построил Дольд 11].

Х а р а к т е р и с т и ч е с к и е ч и с л а . Ж2-когомологичес- кие характеристические числа дают полный набор инвариантов класса кобордизмов (Том [2]). Все соотношения между этими чис­ лами (вычисленными через касательное расслоение) задаются формулой By [1], связывающей характеристические классы много­ образия с действием квадратов Стинрода в его когомологиях (Дольд [2]).

П ример 3. Комплексные кобордизмы:

О б ъ е к т ы. Стабильные квазикомплексные многообразия, т. е. многообразия, в нормальном расслоении которых фиксирован класс эквивалентности структуры комплексного векторного рас­ слоения.

смаиа) и отображения /г определяются отображениями классифи­ цирующих пространств BUr -+ В 02г В 02г+и индуцированными каноническими вложениями групп UTer 0.1Гer 02г+і.

Р е з у л ь т а т ы , является кольцом полиномов над целы­ ми числами Z от образующих xt размерности 2і для всех целых положительных і. В качестве представителей образующих ,т; можно взять классы кобордизмов некоторых проективных ком­ плексных алгебраических многообразий (Милнор [6], Новиков

[1], [2]). Фактически каждый класс кобордизмов из может быть представлен аналогичным многообразием (Милнор; см. Хирцебрух [1] или Том [4]).

X а р а к т е р и с т и ч е с к и е ч и с л а . Целочисленные когомологические характеристические числа дают полный набор инвариантов класса кобордизмов (Милнор [6], Новиков [1], [2]).. Все соотношения между этими числами задаются теоремой Рима­ на — Роха в форме Атья —Хирцебруха (см. Атья, Хирцебрух [1]), устанавливающей связь между комплексной /С-теорией и ра­ циональными когомологиями (Стонг [2], Хаттори [1]).

С в я з ь с к о л ь ц о м й^г. Каждое оснащенное многообра­ зие является границей квазикомплексного многообразия. Опре­ деленный классом Тода гомоморфизм группы относительных кобордизмов Й* ((5£/, /), (51,/))-»- О, определяет гомоморфизм Адамса е: й* (51, /) ->-Q,/Z (Коннер и Флойд [8]).

П ример 4. Ориентированные кобордизмы: О®0 .

Об ъ е к т ы . Ориентированные многообразия.

Оп р е д е л е н и е . {В, ^-многообразия, где Вг — BSOr— классифицирующее пространство специальной ортогональной группы SOr (BSOr— прямой предел многообразий Грассмана

ориентированных плоскостей) (Том [2]).

S о

Р е з у л ь т а т ы . Й* ® Q, является кольцом полиномов над полем рациональных чисел Q, от образующих х,1( размерности 4г для всех положительных целых чисел і. В качестве представите­ ля образующих x,ti можно взять классы кобордизмов комплексных

проективных пространств СР (2г) (Том [2]). Группа й®° не имеет

элементов нечетного порядка (Милнор [5], Авербух [1]) и й*°/Тогз является кольцом полиномов над Z от 4і-мернътх образующих (Милнор [5], Новиков [1], [2]).

Группа й*° имеет кручение только порядка 2, и факторкольцо

ßf°/2Qf° можно описать следующим образом. Пусть W # — кольцо полиномов над Z2 от образующих x 2h, x2h_t, где к =/=2 \

и Z2-KoroMOflorH4ecKne характеристические числа дают полный набор инвариантов класса кобордизмов. Все соотношения между 2 3-числами задаются соотношениями By и условием равенства нулю первого класса Штифеля — Уитни (Уолл [1]). Все соотно­

ния комплексной структуры» кольцо й^ эпиморфио отображается

ориентации» кольцо Й*°/2Й*° изоморфно отображается на под­ кольцо ker дь описанное выше, где х ( — (специально выбранные) образующие кольца ïïi* (Уолл [1]).