книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

польного момента d во вращающейся системе, и подставляя фор^ мулу (11.46) в выражение (11.34), находим

Здесь индексы i n f при квантовых числах обозначают принад­ лежность к верхнему или нижнему уровню.

которого видно, что каждая из боковых компонент линии L а расщепляется на две, а центральная — на три компоненты, две из которых симметричны относительно третьей невозмущен­

ной.

Основное отличие реальной задачи об излучении атома при столкновении с заряженной частицей от рассмотренного приме­

130

ра заключается в том, что при переходе во вращающуюся си­ стему координат электрическое и магнитное взаимодействия оказываются зависящими от времени. Однако решающим об­ стоятельством для возможности использования настоящего ме­ тода в реальной задаче является возможность диагонализации гамильтониана, которая обусловлена наличием двух выделенных направлений (щ и ю2. При этом достаточным условием примени­ мости рассмотренного метода является независимость от вре­ мени отношения Q(t) / (а'/е) F (t) [11, 13]. Интересно, что имен­ но такое положение существует в действительности: во вращаю­ щейся системе мгновенная угловая скорость Q(t) и поле F(7) имеют одинаковую зависимость от времени, так что угол, обра­ зуемый их векторной суммой с полем F, не меняется в процессе столкновения.

4.Коган В. И. Уширение спектральных линий в высокотемпературной плаз­ ме.— В сб.: Физика плазмы. Под ред. М. А. Леонтовича. М., Атомнзда г, 1958, т. 4.

9.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963.

10.Ларкин А. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1959, т. 37, с. 264.

11.Лисица В. С., Шолин Г. В. «Ж. эксперим и теор. физ.», 1971, т. 61, с. 912.

12. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М, Физмат­ гиз, 1963.

13.Шолин Г. В., Лисица В. С., Коган В. И. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1970, т. 59, с. 1390.

14.Elwert G. Zs. Naturf., 1954, В. 9а, S. 637.

15.Grieni Н. R. Zs. Phys., 1954, В. 137, S. 280.

16.Hoffman H., Theimer О. Astroph. J., 1958, v. 31, p. 134.

17.Holtsmark 1. Ann. Phys., 1919, v. 58, p. 577.

5*

Г л а в а ш е с т а я

СДВИГ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ

И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ

СЛАБО НЕИДЕАЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

§ 12. СДВИГ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ

При рассмотрении ионизационного равновесия в дебаевской частично ионизованной плазме было показано, что взаимодейст­ вие атом — заряженные частицы приводит к эффективному сни­ жению потенциала ионизации атомов и сложных ионов в ре­ зультате ограничения статистической суммы. Если плотность за­ ряженных частиц не слишком мала, то это взаимодействие при­ водит также к сдвигу связанных состояний, который необходи­ мо учитывать при вычислении термодинамических функций плазмы.

Изучим сдвиг одноэлектронных состояний ионов в дебаев­ ской плазме (например, сдвиг уровней Ней) с использованием двухчастичной функции Грина. Вычислим сдвиг уровней свя­ занных состояний с помощью четырехмерной теории возмуще­ ний с привлечением уравнения Бете — Солпитера [2].

Теория возмущений. Рассмотрим систему кулоновских частиц в объеме V в состоянии термодинамического равновесия при температуре р-1. Связанные состояния двух частиц описыва­ ются двухчастичной функцией Грина, полюса которой опреде­ ляют уровни дискретного спектра [1]. Рассмотрим такие термо­ динамические условия, когда в плазме преобладают связанные системы из иона с зарядом Z и электрона. Если энергия взаимо­ действия такой системы с плазмой достаточно мала, то указан­ ные полюса можно искать по теории возмущений. Выпишем

ния Шредингера (это будет показано ниже). Во всяком случае, априори ясно, что это уравнение содержит в себе более богатую информацию о свойствах системы по сравнению с уравнением Шредингера уже хотя бы потому, что оно является интеграль­

132

ным. В частности, уравнение Бете — Солпитера описывает не только потенциальное взаимодействие между частицами, но и взаимодействие, зависящее от времени, т. е. «потенциал» U(q), входящий в уравнение (12.1), вообще говоря, зависит не только от вектора импульса q, но и от четвертой компоненты q4. По­ скольку рассматривается уравнение для температурной функции Грина G2 , четвертые компоненты импульсов могут принимать лишь дискретный ряд значений:

р4 — (2/с+ 1)лР-1, /с = 0, 1, 2, . . .

Это связано с тем, что в температурных функциях Грина мни­ мое время т меняется в конечных пределах. Такой набор зна­ чений четвертой компоненты импульса характерен для системы фермионов. Для бозонов суммирование проводится по четным

Действительно, в координатном представлении [точнее, в представлении (г, т)] свободная температурная функция рас­ пространения Go является разрывной функцией т. Это, кстати, затрудняет применение мацубаровской техники в координатном пространстве. Пусть

= Y [1 — exp (— icoKT)] [ exp (icoKr) G0(t) dx. 0

Следовательно, Go(u)к) фО при coK= (2к+1)лф-1, что и требова­ лось показать.

133

Ниже будет видно, что четвертые компоненты импульса опи­ сывают энергию частиц или энергию системы частиц. Не будем приводить здесь вывод уравнения Бете — Солпитера, поскольку его можно посмотреть в любом учебнике по функциям Грина в квантовой статистике, а перейдем к построению теории возму­ щений на основе уравнения (12.1), считая, что это уравнение нам уже известно. Перейдем к относительным переменным, вы­ делив «центр масс»:

Во всех предыдущих уравнениях обобщенная 6-функция имеет следующий смысл:

некера. Входящие в выражения (12.1) и (12.3) одночастичные функции Грина являются функциями распространения свобод­ ных частиц [1.5]

где ер — кинетическая энергия свободной частицы; ц — химиче­ ский потенциал.

Нетрудно видеть, что функция Чг(р, р', g) удовлетворяет уравнению

'г <л ^ > = ^ Ч т + р ) Ч т - ,,) х

Хотя суммирование записано здесь лишь по четвертой компо­ ненте импульса р, в результате получается функция, зависящая лишь от векторов р и р' (при этом импульс «центра масс» оста­ ется четырехмерным).

Суммирование по четвертым компонентам импульсов чрезвы­ чайно удобно проводить с помощью изящного приема, описан­

134

ного Е. С. Фрадкиным [4]. Пусть необходимо вычислить сумму

2 F ( ..., р4) по четвертой компоненте импульса от некоторой

Pi

функции F ( . . Ра). Рассмотрим контурный интеграл

§F ( . . ., z)f(±) (z)dz

в комплексной плоскости переменного z. Вспомогательные функ­ ции выберем в виде

/(±) (г) = ± ip/[l + exp (+ ipz)],

где верхний знак соответствует фермионам, а нижний — бозо­ нам. Поскольку подынтегральная функция на бесконечности об­ ращается в нуль, то § = 0. Кроме того, полюса функций совпадают с дискретным набором значений р4, по которым про­ водится суммирование, поэтому *

135

Если же одна из функций G0 ионная, а другая электронная, то

где т и М — массы электрона и иона соответственно. Следова­ тельно, в результате суммирования обеих частей уравнения (12.5) получим

Обозначив ig4—(g2/4 т) +2 ц — Е', можно видеть, что уравнение (12.10) совпадает с неоднородным уравнением Шредингера для относительного движения двух частиц, собственные значения ко­ торого определяют невозмущенные уровни энергии.

Суммирование по четвертой компоненте импульса выражения (12.5) оказалось столь простым ввиду предположения, что взаи­ модействие u(q) =w(q), т. е. не зависит от <74. При рассмотре­ нии взаимодействия атома или иона с плазмой к ядру инте­ грального уравнения (12.5) «(q) добавляется дополнительный член Ди, зависящий, вообще говоря, от <74. Чтобы найти сдвиг энергии, возникающий от A«(q, <74), можно построить теорию возмущений, аналогичную четырехмерной теории возмущений в квантовой электродинамике [3]. Пусть Ч ^ р ) — волновая функ­ ция; Еп — собственное значение некоторого стационарного со­ стояния, описываемого уравнением Шредингера:

Fn (р) = £ n — — .

т

Аналогично уравнение (12.5) для этого состояния имеет следую­ щий операторный вид:

[Fn (р) — Ц Ф„ (р) = 0,

( 12. 12)

^Фп (Р) = - ± - ^ $ d q u ( q ) ф „ ( р - 9, р \ g)

Чк

Тогда собственная функция фп(р), соответствующая состоя­ нию п, может быть записана в виде

(12.13)

1.36

Для некоторого постоянного значения Дд, не совпадающего с Еп, введем две новые функции:

и пусть решением соответствующего возмущенного уравнения является функция (совпадающая с функцией фп(р) при Аы-^0). Пусть далее собственное значение энергии, соответст­ вующее этому решению, равно

ножая уравнение (12.18) слева на фп .получаем с учетом (12.17)

и (12.18)

Пренебрегая членами второго порядка малости, получаем пос­ ле суммирования по р4

Нетрудно видеть, что, когда Ди не зависит от р4, получается, обычная поправка к энергии в первом порядке теории возму­ щений для уравнения Шредингера.

137

Аналогично можно показать, что при наличии вырожденных невозмущенных состояний сдвиг АЕ следует находить из секулярного уравнения

2п‘( G n , П' — Д £ 6 п , п ’ ) с п ' = О ,

где п, п' пробегают все значения, относящиеся к невозмущен­ ному уровню ЕПу а

с выводом Солпитера для сдвига уровней в квантовой электро­ динамике. Разумеется, эту формулу можно получить более про­ стым путем (что легко проделает каждый читатель).

Вычисление сдвига уровней в дебаевской плазме. В случае двух разных связанных частиц (ион с зарядом Z и электрон) следует писать:

где т0 = тМ/(т + М), а це и ц ,— химические потенциалы элект­ ронов и ионов. Вычисление Д£п по формулам (12.21) удобно выполнить с помощью диаграммной техники. Пусть сплошная линия диаграммы соответствует свободной одночастичной функ­ ции Грина G0, а пунктир — кулоновскому взаимодействию u(q).

Тогда наибольшие члены, которые дают вклад в Аи, т. е. члены, пропорциональные первой степени плотности, можно изо­ бразить графиками, приведенными на рис. 12. Петли в этих графиках могут быть электронными (е), ионными (t) или атом­ ными (а) и могут вставляться в обе линии. Например, для графика типа 1 с ионной петлей Аи имеет вид:

части, соответствующее графику 2, имеет вид:

(РP i)t .<U

+- f - ) ии (ФdPid4 -

138

Нетрудно убедиться в том, что диаграммы типа 1—3 и 5, 6 дают выражения, расходящиеся при малых q, и для устране­ ния этой расходимости требуется суммировать цепочки из пе­ тель типа е, i и а. В результате такого суммирования получим эффективные «потенциалы» взаимодействия H*(q, <74). Напри­ мер, потенциал для взаимодействия {ее) имеет вид

где Пе — электронная петля

a n p = exp[—р(ер—ц ) ] — числа заполнения в случае статистики Больцмана (так как рассматривается дебаевская плазма).

Рис. 12. К вычислению сдвига уровней атомов и ионов в де­ баевской плазме.

Существенно, что при q->0 величина n(q, q4) отлична от нуля для q4 = 0. Поэтому при суммировании по q4 члены с q4 = 0 дают наибольший вклад, пропорциональный более низкой сте­

(в системе центра масс):

и2 = 4яе2Р [пе + ZJtii + (Z — I)3 па],

139