книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

а суммирование проводится по всем ячейкам. Для электронноионного кристалла

Ф (г) = eiei,/r.

Тогда

где х( с)— радиус-вектор t-ro атома в l-й ячейке. Для вывода правила сумм (18.2) удобно переписать уравнения (18.3) в мат­ ричном виде:

где / характеризует различные ветви спектра колебаний; н,- — нормированные па единицу собственные векторы матрицы D ( k ) . Отсюда следует, что

Следовательно, последние три соотношения приводят к правилу сумм (18.2), из которого следует неустойчивость электронноионного кристалла.

Таким образом, в системе, состоящей только из заряженных частиц, либо электроны, либо ионы, либо частицы того и другого сорта должны находиться в неупорядоченном состоянии. При этом нельзя представить себе газ с сильным взаимодействием. Следовательно, изучаемая система должна рассматриваться как жидкость, состоящая из заряженных частиц. Оказывается (это покажем ниже), что члены в термодинамических функциях такой системы, ответственные за взаимодействие, не зависят от масс частиц, а в случае водородной плазмы полностью сим­ метричны относительно протонов и электронов. Поэтому в водо­

210

родной плазме как систему электронов, так и систему ионов можно рассматривать как жидкости.

Не исключено, что рассматриваемая система с сильным: взаимодействием может оказаться устойчивой. Так, в несим­ метричной плазме ( 1 ф \ ) в результате более сильного взаимо­ действия между ионами в определенных термодинамических условиях может образоваться система, в которой ионы упоря­ дочены, а электроны образуют жидкость. Эта проблема еще ждет своего решения.

Термодинамика классической системы кулоновских частиц с сильным взаимодействием была рассмотрена в 1952 г. Берли­ ном и Монтроллом на основе метода, предложенного Крамерсом [5]. Решение задачи выглядит очень изящно, но не совсем понятно, во всяком случае, автору этой книги. Выражение для свободной энергии было получено Берлином и Монтроллом в

Fm — свободная энергия термодинамически идеальной системы. Отметим, что авторы ввели отталкивание на малых расстояниях между частицами, устранив тем самым трудности с «падением частицы на центр». Однако в конечный результат (18.10) корот­ кодействующие силы или какой-либо параметр короткодействия не входит. Это не совсем понятно. Непонятно и другое: как в системе частиц с сильным взаимодействием, когда плотность частиц велика, удается в явном виде выделить член в свободной энергии (Fnд), соответствующий системе невзаимодействующих частиц. Казалось бы, если плотность частиц велика, необходимо учитывать, кроме того, возможность образования связанных состояний, если рассматривается система разноименных по знаку частиц.

Дифференцируя выражение (18.10) по объему при неизмен­ ныхчисле частиц N и температуре (З-1, получаем уравнение состояния плазмы:

где первый член в правой части соответствует идеальному газу. Если вычислить коэффициент сжимаемости (dP/dV) р, то не­ трудно видеть, что знак этого коэффициента положителен. Это означает, что рассматриваемая система не может быть устой­ чивой. Так обстоит дело в плотной ионизованной плазме (во

211

всяком случае, для ее модели, рассмотренной Берлином и

Монтроллом).

Что произойдет, если такую плазму разбавить нейтральными частицами? Может создаться впечатление, что полученная та­ ким образом частично ионизованная плазма устойчива. Это утверждение делается в работе [2], которое, по-видимому, можно поставить под сомнение. Если считать, что в частично ионизованной плазме взаимодействие между атомами и заря­ женными частицами отсутствует полностью (это предположение делается в указанной работе), то, казалось бы, частично иони­ зованная плазма с сильным взаимодействием кулоновских ча­ стиц может быть устойчивой. Действительно, нейтральная компонента внесет в уравнение состояния (18.12) дополнитель­ ный член +па/р. Тогда вычисление коэффициента сжимаемости приводит к одному из условий термодинамической устойчивости ■системы:

Формально это неравенство указывает область термодинами­ ческих параметров, где система может оказаться устойчивой. Однако выполнения неравенства (18.13) недостаточно для

•обеспечения термодинамической устойчивости системы. Необ­ ходимо также выполнение неравенства

где ра, Na— химический потенциал и число атомов. Нетрудно видеть, что это неравенство эквивалентно одному из условий устойчивости заряженной компоненты. Поэтому подмешивание нейтрального газа к сильно неидеальной классической плазме не может в рассматриваемой модели привести к устойчивости системы. Следует отметить, что в плотной плазме необходимо учитывать также взаимодействие заряженных частиц с ней­ тральными атомами.

Кроме того, при больших плотностях устойчивость системы должна определяться отталкиванием частиц на малых рас­ стояниях. Существенным при этом становится и межатомное взаимодействие. Поэтому как в выражение для уравнения со­ стояния, так и в условие устойчивости должен входить пара­ метр короткодействия (например, размер защитной сферы в модели твердых шариков). Отметим также, что неустойчивость, приводящая к конденсации с образованием двухфазной системы, должна, по-видимому, проявляться уже при таких плотностях, когда коэффициент сжимаемости еще отрицателен. Такое явле­ ние наблюдается, например, в обычной вандерваальсовой си­ стеме.

21.2

Взаимодействие частиц в плазме приводит к уменьшению давления в объеме при заданных значениях плотности и тем­

увеличения степени ионизации. Этот вопрос обсуждался во вто­

рой главе.

В низкотемпературной частично ионизованной плазме могут существовать такие условия, когда при больших давлениях число заряженных частиц в единице объема мало по сравнению с числом нейтральных атомов, т. е. в случае однократной иони­ зации:

Если плотность нейтральной компоненты плазмы велика, то необходимо учесть вклад в термодинамику взаимодействия заряженная частица — атом и атом — атом.

Рассмотрим качественно, как повлияет па свободную энергию плотной частично ионизованной плазмы в случае условия (18.14) учет термодинамической неидеальности системы, о кото­ рой идет речь. Предположим плотность заряженных частиц такой, что их взаимодействием между собой можно пренебречь. Поскольку не рассматриваются далыюдействующие кулоновские силы, выражение для свободной энергии в приближении парных соударений частиц можно записать в виде

F = [ехр(_Ри/к)~ '11 dVidVK' (18Л5)

где индексы j и к нумеруют сорта частиц и принимают зна­ чения 1, 2, 3; F’ — свободная энергия идеальной подсистемы

ввыражение (18.15):

А= — j [1 — ехр(— ыоаР)] dVadVa;

сорта. Для вычисления В н С рассмотрим характер взаимо­ действия иона и электрона с нейтральным атомом. Вблизи иона

213

атом поляризован полем иона. Дипольный момент атома вблизи иона d = ea/r2, где г — расстояние иона до центра атома; а — по­ ляризуемость атома. Потенциал ф, создаваемый диполем в точке нахождения иона,

Отсюда энергию взаимодействия иона с поляризованным ато­ мом можно записать в виде

ком мала, то вплоть до расстояний того же порядка можно считать, что нг1|3<с1. Тогда, разлагая экспоненту в выражении (18.16) в ряд, ограничиваясь членом, линейным по этой вели­ чине, и переходя к интегрированию по относительным перемен­ ным, получаем

где Ь' соответствует интегралу от 0 до 2а. Величина Ь', как и постоянная Ван-дер-Ваальса Ь, обусловлена взаимной непро­ ницаемостью частиц. Эти величины, очевидно, одного порядка.

Подставляя выражение (18.19) в формулу (18.20), получаем

При интегрировании выражения для С область интегрирования от 0 до оо была разбита на подобласти (0 , а) и (а, о о ).

В результате получаем следующее выражение для свободной энергии системы:

В = £ р > д + ^ ( Ь - а Р ) + - ? ^ ( Ь ' - а ' Р ) +

Поскольку изменения различных термодинамических величин при малых изменениях внешних условий или свойств системы

214

равны [(6Ф)Р= (бF)v], то можно сразу написать формулу для термодинамического потенциала

Будем считать, что выполнены такие условия, когда опреде­ ляющий вклад в статистическую сумму Za по связанным со­ стояниям вносит лишь основное состояние атома. Тогда закон действующих масс щ, = цг + це приводит к уравнению иониза­ ционного равновесия вида

которое является обобщением известной формулы Саха; сj — концентрации отдельных компонент плазмы;

f (Р) = Ра [Ф— 26' — 26") + (6а' — а) Р].

Поскольку в рассматриваемых условиях Р „—Р, где Р — полное давление в плазме, а концентрации связаны со степенью иони­ зации и:

Ci = с е = а /( а + 1), са = (1 — а)/(1 + а ) ,

то получим выражение, весьма удобное для вычислений:

Из-за наличия экспоненциального множителя в этой формуле при достаточно больших давлениях Р степень ионизации a, a следовательно, и электропроводность плазмы должны увели­ чиваться *. Напомним, что для термодинамически идеальной системы, когда ехр[—р/(Р)] = 1, степень ионизации всегда па­ дает с увеличением давления. Следовательно, как функция давления степень ионизации должна проходить через минимум. Этот минимум, как легко видеть, соответствует значению

* Этот эффект наблюдается и экспериментально [1].

215

Г л а д а д е в я т а я

ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ

И ЭЛЕКТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ

§ 19. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Если в объеме V, содержащем обычный газ, увеличивать давление и понижать температуру, то свойства газа сначала меняются непрерывным образом, а затем претерпевают каче­ ственные изменения. Они происходят по двум причинам: уси­ ливается взаимодействие частиц вследствие увеличения плот­ ности и с понижением температуры уменьшается роль кинетиче­ ской энергии по сравнению с энергией взаимодействия частиц. При определенных термодинамических условиях газ испытывает фазовый переход первого рода в жидкое состояние. Это состоя­ ние характеризуется сильной корреляцией частиц, которая обус­ ловливает их сцепление в жидкости.

По своему характеру фазовый переход является динамиче­ ским, так как он возникает в результате взаимодействия частиц. Этот чисто классический эффект приводит к появлению клас­ сической жидкости. При дальнейшем понижении температуры кинетическая энергия жидкости также уменьшается, а взаимо­ действие частиц начинает играть относительно все большую роль. Вследствие этого почти во всех случаях* наблюдается фазовый переход из жидкого состояния в твердое. Если не гово­ рить о квантовых жидкостях, которые составляют исключение в природе, переход в твердое состояние нормальных жидкостей

дебройлевская длина волны становится сравнимой со средним расстоянием между частицами. Поскольку й для частиц с мас­ сой порядка атомной достаточно мала при температурах ~ Т Кр, то обычная жидкость испытывает фазовый переход в твердое состояние, оставаясь классической системой.

Однако для электронов, которые больше чем на три порядка легче атомов, дебройлевская длина волны при той же темпе­ ратуре в такое же число раз больше. Ясно, что квантовые эффекты в электронной жидкости, если такая существует, дол­

217

турах), чем в более тяжелых жидкостях. Оказывается, чтоквантовой жидкостью с известными оговорками можно считать электроны проводимости в металлах, в меньшей степени в полу­ металлах и вырожденных полупроводниках. Для электронов проводимости в металлах квантовые эффекты начинают прояв­ ляться при температурах порядка температуры вырождения (~ 5 эв), для полуметаллов — при температуре порядка 0 ,1 э й .

Вследствие большого радиуса кулоновского взаимодействия «заряженная» ферми-жидкость заметно отличается от нейтраль­ ной. В такой жидкости имеют место, например, экранирование и плазменные колебания. Кроме того, электронная жидкость в металлах неоднородна, поскольку электроны в твердом теле движутся в периодическом поле ионной решетки. Особенно хорошо изученной моделью металла является модель газа взаимодействующих электронов, согласно которой периодически распределенный заряд ионов заменен равномерно распределен­ ным по всему кристаллу положительным компенсирующим за­ рядом. Такая модель лучше всего описывает простые металлы (например, щелочные), в которых электроны ведут себя почти как свободные, т. е. периодический потенциал может рассматри­ ваться как возмущение, лишь слабо искажающее движение электронов. В некоторых случаях можно достаточно точно ввести поправку на периодическую структуру поля.

Изучение свойств электронной жидкости представляет особый интерес, поскольку основная задача настоящей работы — изуче­ ние термодинамики плазмы. Поэтому имеет смысл рассматри­ вать систему заряженных частиц, в частности электронную жидкость, не только для плотностей, характерных для метал­ лов *, а также для меньших и больших плотностей. Изучение термодинамики электронной жидкости при больших плотностях полезно по двум причинам. Во-первых, такая система может иметь отношение к некоторым астрофизическим явлениям, на­ пример к коллапсам внутри звезд. Во-вторых, получение сколь­ ко-нибудь точного решения задачи в предельном случае полезно для построения разумных интерполяционных формул.

При изучении свойств электронной жидкости возможны два подхода: макроскопический и микроскопический. Первый из них основан па обобщении построенной Л. Д. Ландау в 1956 г. полуфеноменологической теории макроскопического поведения нор­ мальной ферми-жидкости при низких температурах. Однако макроскопическая теория, сколь бы хороша она ни была, не может объяснить ряд явлений, которые интерпретируются лишь на основе микроскопического рассмотрения. Так, теория Л. Д. Ландау неприменима к тем микроскопическим явлениям, для которых характерны длины порядка расстояния между

* Характерная плотность электронов проводимости в металлах соответ­ ствует значениям параметра г ,= г | /а,=2-ь5.

218

частицами или энергии, сравнимые с энергией частицы на по­ верхности Ферми. В случае больших длин волн и малых энер­ гий возбуждения обобщение теории Ландау, т. е. макроскопи­ ческий подход к описанию свойств системы, может дать существенную информацию. В частности, такая теория может ответить на вопрос о том, на какие свойства системы взаимо­ действие между электронами не оказывает заметного влияния. Кроме того, макроскопическая теория в пределах своей приме­ нимости позволяет определить минимальное число параметров, необходимых для описания того или иного свойства системы.

Точной и достоверной микроскопической теории электронной жидкости в настоящее время, к сожалению, не существует. При­ ходится поэтому прибегать при вычислениях к грубым моделям и представлениям. Это относится как к термодинамике соб­ ственно плазмы, так и к теории металлов. Однако в некоторых случаях комбинация микроскопического и макроскопического подходов позволяет делать не только качественные, но и коли­ чественные заключения о термодинамических свойствах системы. Это замечание не касается, конечно, таких характеристик, как корреляционная энергия электронного газа, плазмоны и др., для описания которых необходима только микроскопическая теория.

§ 20. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ЗОММЕРФЕЛЬДА

Наиболее простая кваптовомеханическая модель для опи­ сания поведения электронного газа в металлах была предло­ жена Зоммерфельдом в 1928 г. Согласно этой модели кулонов­ ское взаимодействие электронов не учитывается, а многоэлек­ тронный характер задачи принимается во внимание при рас-" пределении электронов по состояниям (плоским волнам) в соответствии с принципом Паули. В рассматриваемом газе электроны распределены по различным квантовым состояниям таким образом, что полная энергия газа имеет наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы, то электроны запол­ няют все состояния с энергиями от наименьшей (равной нулю) до некоторой наибольшей, которая определяется числом элек­ тронов в газе N.

Если система заключена в куб со стороной L и на границах заданы периодические граничные условия, то одноэлектронные

где /.г — спиновая часть волновой функции, индекс а характе­ ризует направление спина и вектор импульса. Энергия элек­ трона не зависит от направления спина и равна eh=fr2k2/2 т.

219