книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

где пе, щ, па — плотности электронов, ионов и «атомов» соот­ ветственно. Для графиков типа 2 получаются аналогичные вы­ ражения, нужно лишь вместо множителя Z подставить фактор

( Z 2 + 1 ) .

Волновые функции фп(р) для водородоподобных систем мож­ но записать в виде

где CVN (,v) — функция Гегенбауэра (см., например, работу [2]).

Подставляя выражения (12.24) в формулу (12.23), получаем для s-состояний:

Для графиков типа 3 получается следующий вклад в энергети­ ческий сдвиг s-состояний:

Расходящимися при малых q являются также графики типа 5 и 6, где заштрихованным квадратом обозначен «эффективный потенциал»

140

Вычисление вклада от этих диаграмм (графиков «с лестницей») приводит к результату

Для выяснения физического смысла выражения (12.30) вычис­ лим собственную энергию свободного электрона

2 * 0 » ) = 7 Г ^ - У Л ^ С о(Р-9)[^*(Ч, <7*)-^(Ч)Ь 02.31)

(2л)3 р лаЛ J <?<

где

V(q)=-

Яг

Gq(P- q) = (ip* — ><7* + И- — 8 p - q ) - 1 .

В сумме по <74 выделим член с <74 = 0 и рассмотрим подынтеграль­ ное выражение при малых q. Поскольку при <74 = 0 и q= 0, то

Для свободного (невозмущенного) электрона полюса определя­

141

■+ s

2P

Следовательно,

oo

0

Подставляя этот результат в выражение (12.34), получаем

У4’ (р) = —е2к/4ерр.

Следовательно, А Е п в формуле (12.30) представляет собой поправку к собственной энергии «атома», т. е. иона с зарядом (Z—1) при его свободном движении. Действительно, усредняя выражение (12.30) по распределению Максвелла, получаем де­ баевскую энергию иона с зарядом (Z—1)

Д£ = — (1/2) (Z— 1)2е2к.

Этот сдвиг не зависит от состояния «атома». Отметим, что для обменных графиков, например диаграмм типа 4, можно полу­ чить выражения, сходящиеся при всех значениях q, и сдвиг имеет порядок (аох)2р-1, что согласуется с обычным вычисле­ нием обменного интеграла для гелия.

Из формул (12.25) и (12.26) следует, что сдвиг уровней про­ порционален корню из плотности и растет с температурой как Р-1/2. Сдвиг растет также с увеличением главного квантового числа. Эффект (в рассмотренном порядке по плотности) отсут­ ствует для водорода (Z = 1), что физически очевидно ввиду ко­ роткодействующего характера взаимодействия нейтрального ато­ ма водорода с плазмой. О величине эффекта можно судить из сравнения полученного сдвига с линейным штарковским рас­ щеплением

Дшт ~ пе2а0г0п2,

где п — главное квантовое число; г0— среднее расстояние меж­ ду частицами. Легко видеть, что

ДШт/Д£п ~ xr0 < 1.

142

Условие применимости теории возмущений имеет вид АЕп/Еп<С <С1. Следует отметить, что при выводе выражения для сдвига пренебрегалось eg~ P _1 по сравнению с Еп, поэтому получен­ ные формулы справедливы при достаточно низких температурах.

Напомним, что еще в § 5 делалась попытка интерпретиро­ вать результат (12.25) с помощью полуклассического рассмот­ рения эффекта динамического экранирования орбитального электрона. Конечно, столь грубое рассмотрение не позволило получить строгий количественный результат. Однако буквенное выражение (12.21) уже было получено на основе изучения флуктуаций плотности в приближении RPA [см. формулу (5.23)].

§ 13. ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ

Термодинамические функции частично ионизованной плазмы также удобно вычислять с помощью двухчастичной функции Грина G2, поскольку она описывает состояния двух частиц как в непрерывном, так и дискретном спектре энергий.

Система частиц с короткодействующими силами

Рассмотрим систему одинаковых взаимодействующих частиц в объеме V в состоянии термодинамического равновесия при температуре р-1. Гамильтониан системы представим в виде

где Н0— оператор системы невзаимодействующих частиц; Н {— гамильтониан взаимодействия:

станта взаимодействия. Отметим, что полевые операторы ф(х) и

ф(х) записаны в представлении взаимодействия. Поскольку ста­ тистическая сумма системы связана с термодинамическим по­ тенциалом Q простым соотношением П, 5]

ZN = Sp exp [—р (Я — рЯ)] = exp (—PQ),

то выражение £2 через двухчастичную функцию Грина имеет вид

где Q0 — термодинамический потенциал идеальной системы.

143

Интегрирование является четырехмерным, т. е. отвечает обычному интегрированию по трехмерному пространству импуль­ сов р и суммированию по дискретным значениям четвертой ком­ поненты р4. Для системы частиц-фермионов

Для системы бозонов суммирование необходимо проводить по четным значениям четвертой компоненты импульса:

р4 = 2л/с/0.

Согласно законам сохранения энергии и импульса при рассея­ нии частиц, Ри= р\ + Р2 —Рз- Уравнение для двухчастичной функ­ ции Грина G2 в «лестничном» приближении можно описать урав­ нением Бете—Солпитера (12.1). Введем функцию

зависит от четвертой компоненты импульса. Тогда для функции

144

Отметим, что при суммировании по р4 в выражении (13.9) исче­ зает р/. Выпадает также и сумма по <74, входящая в формулу (13.8). Это также легко проверить, если воспользоваться прави­ лом суммирования по четвертым компонентам импульсов, при­ веденным в § 12. Напомним, что

рассматривается система одинаковых частиц. Член g2/4 т описы­ вает кинетическую энергию центра масс, где т — масса частицы.

Уравнение (13.10) имеет вид неоднородного уравнения Шредингера. Известно, что решение интегрального уравнения

(Е — Ер) ф (р) — J dpu (р — рх) ф (pi) = / (р).

можно выразить через собственные функции однородного урав­ нения <pi<:

где (/, фк)= j / (Pi)фк (pi)^pi — скалярное произведение. Следо­ вательно, решение уравнения (13.10) легко выразить через соб­ ственные функции относительного движения двух частиц в поле с потенциалом и:

(13.12)

Выполнив в выражении (13.6) суммирование по р4, получим

Выражения (13.12) и (13.13) отвечают поставленной задаче нахождения AQ в системе с короткодействием. Поступим не­ сколько иначе. Введем функцию

X(Р) = Г (р)/[£' — (р2/т)],

145

где

Тогда уравнение для функции %также имеет вид неоднородного уравнения Шредингера:

Выражая решение уравнения через волновые функции относи­ тельного движения частиц, подставляя его в выражение (13.13), выполняя суммирование по /?4, q4 и интегрируя по g', получаем в случае статистики Больцмана

Здесь явно записано как квантовомеханическое усреднение энер­ гии взаимодействия, так и среднее по статистическому ансамб­ лю. Это ясно демонстриует физический смысл формулы Бете — Уленбека.

Перейдем в выражениях (13.16) и (13.18) к квазиклассическому пределу. Тогда

00

ф в(г)— квазиклассические волновые функции.

146

оо

jехр (— рЕ) [т (Е — w)]‘/adE — т 1гехр (— Pw) X

и( г )

147

(13.21)

где

l = exp (Pp) (т/2лР) 4

Формула (13.21) совпадает с выражением для ДЙ, обусловлен­ ным вторым вириальным коэффициентом в классическом случае.

Система частиц с кулоновским взаимодействием

Поскольку кулоновские силы являются дальнодействующими, при разложении термодинамических величин по степеням плотности газа уже в первом члене нельзя ограничиться парны­ ми взаимодействиями. Необходимо учитывать влияние многих кулоновских частиц. Рассмотрим систему электронов на фоне равномерно распределенного положительного заряда. Для кор­ ректного учета взаимодействия следует ввести эффективный по­ тенциал, представляющий собой цепочку из электронных петель.

Поскольку в данной задаче существенны расстояния е2|33>ао (а0— боровский радиус), можно рассмотреть адиабатическое приближение. Будем считать, что эффективное взаимодействие, описываемое функцией u*(q, q4), не зависит от q4. Тогда в де­ баевском пределе

П (q, qt) -> — р/г,

где п — плотность электронов. После вычислений, аналогичных приведенным в предыдущем разделе, получим

него первый член теории возмущений ДЙ1= (п2/2)и(0), который выпадает в реальной плазме вследствие ее квазинейтральности. В квазиклассическом случае (<?2/Йу^>1) аналогично предыдуще­ му разделу получим следующее выражение:

1 ОО

рДЙ = 2я| 2 (е2Р)3 [ХЧХ j tdt {exp [(Г1 exp (— «01 — 1}, (13.23)

оо

148

типа (12.1). Формулу (13.25) дополняют условия равновесия и квазинейтральности плазмы:

+ ^ < 7 ^ = 0. <13-26>

где pi — заряд частиц i-й компоненты.

Рассмотрим случай, когда в плазме присутствуют электроны е, ионы i с зарядом Z и (Z—1) раз ионизованные атомы. По­ следние представляют собой одноэлектронную связанную си­ стему, и в дальнейшем будем условно называть их просто ато­ мами а. При этом в плазме имеются следующие виды взаимо­ действий: ее, ii, ie, аа, еа, ia. Взаимодействие с потенциалом отталкивания учитывается квазиклассически совершенно так же, как это делалось при выводе формулы (13.25). В результа­ те получим, например, для взаимодействия И:

*a = W l h + Z % + ( Z - l Ш 'Ч

При наличии потенциала притяжения необходимо выделить вклад от первых дискретных уровней, считая остальную часть квази­ классически. Переходя в формуле

= - w Zexp 10 ^ +1*'» (-wP х

x .ff j* dpdp'u (р — р') exp (— 0££е) (р') ф£е (р) (13.28)

о

149