книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

причем «1 =п-к. Поскольку величина лк комплексна, ее удобно

где гк = г_к', фк = —ф—к* Отметим, что независимой здесь являет* ся только половина величины лкНетрудно видеть, что

где л — средняя плотность электронов.

Найдем теперь элемент объема в пространстве Гк и фк, рас­ сматривая N{ как непрерывную переменную и предполагая, что в выражении (5.32) 8Ni = l. Тогда это выражение можно умно­ жить на элемент объема в ^-пространстве (dNь dN2, ..., dNit...), который также равен единице. Элемент объема в пространстве Гк >фк получим с помощью якобиана J при преобразовании от iVj-пространства:

Вероятность WJ есть произведение функций, каждая из кото­ рых зависит от единственного значения к. Физически это озна­ чает, что в рассмотренном приближении статистические флук­

40

или

распределению частиц в системе. В обратном предельном слу­ чае (62<Cx2), получим

Забавно, что этот результат можно себе представить с по­ мощью следующей аналогии. Пусть по достаточно большой пло­ щади в разных направлениях движутся автомобили, причем их движение довольно хаотично. Конечно, водители стараются из­ бежать столкновений. Милиционеры также стараются коррели­ ровать движение. Но увы! Аварии случаются! Пусть число этих аварий и есть флуктуация плотности автомобилей на площади. Рассмотрим два случая. Пусть погода настолько плоха (туман), что водитель может видеть соседнюю машину лишь на малом расстоянии %~а, где а — размер автомобиля. Тогда, поскольку

к у л о н о в с к и е с и л ы п р и в о д я т к с и л ь н о м у с н и ­

ж е н и ю ф л у к т у а ц и й .

Поскольку вклады отдельных компонент Фурье, как это было отмечено выше, независимы, можно написать среднюю кулонов­

При &<Сх <ык> = 1/(2р). Если вспомнить, что в случае длинных волн компоненты «к ведут себя почти коллективно и колеблются гармонически, то предыдущий результат легко понять физически на основе закона о равнораспределении энер­ гии по степеням свободы, согласно которому средняя потен­ циальная энергия гармонического осциллятора равна 1/(2р).

При /г» х

Предыдущее рассмотрение показывает, что на малых рас­ стояниях приближение индивидуальных частиц приводит к пра­ вильным результатам, тогда как на больших расстояниях необ­ ходимо учитывать упорядочение, связанное с кулоновскими си­

41

лами. В случае термодинамического равновесия энергия распре­ делена между движением отдельных частиц, а каждое из кол­ лективных нормальных колебаний обладает средней энергией

~ р - 1= и \

Подчеркнем в заключение, что приближение, в котором Ni считается непрерывной величиной, справедливо, строго говоря, лишь для малых значений волнового числа k:

переменных).

Рассмотрим однокомпонентную систему кулоновских частиц,

которых выступают компоненты Фурье от плотности частиц п(г). Разложим и(т) в ряд Фурье*:

и (г) = 2>(k) exp(ikry).

Для простоты, как и раньше, положим объем системы равным единице.

Если это так, то второй член в правой части уравнения (5.43). бесконечен. Однако не нужно забывать о наличии компенсирую­ щего равномерно распределенного заряда, который для k = 0 приводит к тому, что этот член следует опустить. Физически это

стеме большее число степеней свободы. Это, правда, не совсем так, поскольку новые переменные не являются независимыми, а связаны между собой соотношением (5.2). Это обстоятельство можно учесть, вводя в подынтегральное выражение произведе­ ние соответствующих б-функций. Тогда

Штрих означает, что в суммах и произведениях необходимо учитывать не все векторы к, а лишь те, которые лежат на полу­ сфере, так как п ск и п£ не являются независимыми перемен­

ными. Функция D(... nk...) играет роль якобиана для перехода

43

При этом использовано известное интегральное представление для 6-функции:

оо

6 (х) = j exp (2лт.ш) day.

Можно явно проинтегрировать выражение (5.48) по dr, если

разложить экспоненту, стоящую под интегралом в ряд по Ограничившись тремя членами разложения

Выражение для D0 распадается на произведение простых инте­ гралов. В качестве упражнения можно посоветовать читателю доказать, что

Тогда

ZN = ехр j— -^ - v (0 ) + -|- ^jTjnv

44

Следовательно, поправка к свободной энергии, обусловлен­ ная взаимодействием, имеет вид

k

Поскольку система квазиклассична, можно перейти от сумми­ рования по к к интегрированию:

2nk2dk

(2я)3 '

Тогда получим [3]

8F = ----J v (к) р — In [nv (к) р + 1] k2dk -f -у - v (0). (5.56)

Во всех формулах сохранены члены, содержащие v(0) по той причине, что предыдущее рассмотрение является общим и приложимо к задаче с любым потенциалом взаимодействия. При этом бF имеет смысл поправки на неидеальность в слабо неидеальной в термодинамическом смысле системе. Если вер­ нуться к рассмотрению электронного газа на компенсирующем фоне и подставить выражение (5.44) в формулу (5.56), то

да коллективных переменных в конкретном случае. Выраже­ ние (5.57) есть уже знакомая нам дебаевская поправка к сво­ бодной энергии идеального газа. Метод лишних переменных позволяет избежать расходимости при вычислении вириальных коэффициентов для системы с кулоновским взаимодействием.

Читатель уже обратил, конечно, внимание на то, что в толь­ ко что рассмотренных выкладках довольно искусно завуалиро­ вано приближение хаотических фаз, которое по существу ис­ пользовано в задаче. Что легко оговорить при более физичном подходе Пайнса и Бома, нетрудно «скрыть» при более фор­ мальном математическом изложении. Это замечание в равной мере относится и к методу функций Грина, о котором пойдет речь в следующих главах.

Отметим, что наличие коллективных эффектов характерно не только для плазмы, но и для системы многих частиц вообще. В частности, в теории атомного ядра также можно говорить о

45

коллективном описании системы (например, с помощью капель­ ной модели) и индивидуальных движениях отдельных частиц в поле других нуклонов (модель оболочек для отдельных нук­ лонов). В работе Д. Н. Зубарева [4] содержится интересное обобщение метода коллективных или лишних переменных, ко­ торое дает возможность построения обобщенной модели ядра. Рассмотрение этих эффектов, однако, выпадает из круга вопро­

качественную задачу, которая очень показательна в том отно­ шении, что она демонстрирует следующую (быть может, триви­ альную) мысль: отнюдь не всегда следует прибегать к громозд­ ким вычислениям, чтобы понять физику того или иного явления

сдвигу атомных уровней, что, конечно, сказывается на свобод­

ной энергии системы.

Любопытна следующая аналогия. Ганс Бете проделал акку­ ратные, но довольно сложные вычисления лэмбовского сдвига на основе квантовой электродинамики. Позднее Вельтон [10] изящно показал, что этот сдвиг можно вычислить весьма про­ сто, если рассматривать воздействие флуктуаций электромаг­ нитного поля вакуума на атомный электрон.

Нам представляется, что природа сдвига атомных уровней в плазме, обусловленная флуктуациями плотности, качественно та же, что и в задаче Вельтона по объяснению лэмбовского сдвига. Действительно, рассмотрим электрон, находящийся в не­ котором поле с потенциалом U. Представим координату элект­ рона в виде двух слагаемых, одно из которых плавно меняется со временем с частотой соп, а другое беспорядочно флуктуирует

Тогда, если можно оценить <(бг)2), то сдвиг энергии атомного уровня с главным квантовым числом п просто выражается через эту величину

46

где член в правой части характеризует вынужденные колебания электрона под действием флуктуирующего электрического поля

Однако он становится более понятным физически, если вспом­ нить приведенные в § 3 рассуждения о законе равнораспределе­ ния энергии в плазме по степеням свободы.

Следовательно,

туры легко понять, так как при этом роль упорядоченных плаз­

47

менных осцилляций падает. Отметим также, что в выражении (5.60) можно смело написать знак минус, так как флуктуации координат всегда приводят к уменьшению роли потенциальной энергии *. Можно показать, что если «атом» заряжен, т. е. пред­ ставляет собой связанную систему заряда Z и электрона (на­ пример, однократно ионизованный атом гелия — Нец), то в пре­ дыдущих выражениях вместо характерного размера Ь высту­ пает среднее расстояние между частицами Го. Тогда

где п — плотность заряженных частиц в плазме.

Несколько забегая вперед (подробнее будем обсуждать это в одной из следующих глав), укажем на функциональное соот­ ветствие энергетического сдвига связанных состояний в плазме со свободной энергией системы. Известно, что первая поправка на неидеальность системы в термодинамическом смысле опи­ сывается вторым вириальным коэффициентом. Учет второго вириального коэффициента приводит в квантовом случае к из­ вестной формуле Бете и Уленбека [6], которую для одноком­ понентной системы можно записать в виде

ной системы. Нетрудно убедиться, что при переходе к квазиклассической системе эта формула дает обычное выражение для AQ через классическое выражение для второго вириаль­ ного коэффициента [см. формулу (3.10)].

Напомним, что термодинамический потенциал системы за­

плотности частиц п, в то время как формула Бете и Уленбека получается при разложении термодинамической функции не по п, а по плотности идеального газа

£ = ехр (Рр) (т/2лЙаР)*Д.

* См. эпиграф.

48