книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

Обсудим физический смысл суммы произведений операторов рождения и уничтожения электронов, записанной в выражении (21.12). Прежде всего отметим, что это выражение отлично от нуля для процессов, в которых внутри сферы Ферми уничтожа­ ются две частицы, а две другие вновь возникают там, так что вся система возвращается в исходное состояние. При этом воз­ можны процессы двух типов. Один из них — прямой. Рождение и уничтожение частиц в нем задается следующими парами

операторов: (а^к.о а Р,о ), (dqLu.a' a q,a')- Этот процесс схема-

диаграмма, соответствующая этому процессу. Сплошные линии описывают при этом одночастичную свободную функцию рас­ пространения (функцию Грина), а пунктирные— взаимодействие. В гамильтониане взаимодействия этому процессу соответствуют члены с к = 0, которые учитывают вклад в энергию взаимодей­ ствия в приближении Хартри. Эти члены не могут дать ничего нового по сравнению с результатами, полученными в модели Зоммерфельда, поскольку в электронном газе в присутствии равномерно распределенного положительного фона часть взаимо­ действия с к= 0 отсутствует. Физически это можно интерпре­ тировать следующим образом: одночастичные волновые функ­ ции свободного электронного газа есть плоские волны, поэтому самосогласованное поле создается однородным распределением отрицательного заряда, который компенсируется фоном поло­ жительного заряда.

Другой возможный процесс в первом порядке теории воз­ мущений— обменный. Рождение и уничтожение частиц в нем задается парами операторов: (d++k а dq,a), (d+_k а, dp,а). Чле­

ны в гамильтониане, соответствующие этим операторам, отличны от нуля при сх=а', т. е. для электронов с параллельными спи­ нами. Поэтому процесс, соответствующий этим операторам, график которого изображен на рис. 25, а, можно назвать обмен­ ным. Графическое представление этого процесса приведено на

230

пульса), а также учитывая перестановочные соотношения для операторов, получаем вклад в энергию основного состояния в расчете на одну частицу от обменного взаимодействия:

и.

=-W N) ~2~ « р + к ,пра, а■

р, к, а

Замена переменных k= q—р дает:

Iр I<рр

I q I <pF

что после замены суммирования интегрированием приводит к окончательному результату:

Следовательно, результат теории возмущений в первом порядке

Для разъяснения физического смысла приближений Хартри и Хартри — Фока полезно рассмотреть корреляционные функции электронного газа, соответствующие этим приближениям. Вве­

моменту времени. Если система пространственно однородна, то функция 3й(г) должна быть инвариантна относительно простран­ ственных трансляций, т. е. не должна зависеть от г'. Поскольку при достаточно больших г свойства частиц должны быть стати­

Координаты гг- и Tj в смысле одновременного наблюдения ком­ мутируют.

231

Поскольку система трансляционно-инвариантна, выражение

= б (г) + (1/jV) < ^ о I 2 б (г + г, - гу) I % > = б (г) + ( N - l ) g (Г),

— бинарная функция корреляции. Она определяет вероятность найти частицу внутри характеристического объема Vo= (N —I)-1, расположенного па расстоянии г от некоторой точки г0 при усло­ вии, что в последней уже находится другая частица. Очевидно, что в отсутствие корреляции двух частиц g(r) = l. Фурье-ком- понента 5s (г) имеет вид:

Величина 5 (к) называется форм-фактором и представляет собой среднюю квадратическую флуктуацию плотности частиц в основном состоянии системы. Через форм-фактор выражаются важные характеристики системы. Так, среднее значение потен­ циальной энергии электронного газа в расчете на один электрон равно

Очевидно, что для газа невзаимодействующих частиц S(k) = l. Это можно показать и формально, что предлагается проделать читателю в качестве упражнения.

В представлении вторичного квантования форм-фактор

р, q, а, а ' а Р+ к , o a t - k , a ' a q, а' % , 0 ¥ 0> . (21.18)

Вэтой записи особенно отчетливо видна связь с потенциальной энергией системы. J ]S ( k ) = l + ( 1/A /)< ¥0|

232

Тогда в приближении Хартри

gx (г) = (N - I) - 1 ^ (N - 1) So tk exp (ikr) = 1,

к

т. е., как и следовало ожидать, корреляция отсутствует. Следо­ вательно, в модели Хартри вероятность найти электрон на рас­ стоянии г от фиксированного в начале координат электрона не зависит от г.

Последний член представляет собой сумму по всем состояниям,

Соответственно для бинарной функции корреляции g(r) получим

Последняя функция представлена на рис. 26.

Функция gx -ф (г) учитывает принцип Паули. При больших г она стремится к единице вследствие ослабления действия прин-

Рис. 26. Бинарная функция корреляции электро­ нов в приближении Хартри — Фока.

ципа Паули на больших расстояниях. Интересно, что gx- ф (г) = = 1/2 при г= 0. Физически этот результат не оправдан и является прямым следствием модели Хартри — Фока, не учитывающей корреляции электронов с антипараллельнымн спинами (куло­

233

новской корреляции). Осцилляции функции g x - Ф (г ) обуслов­ лены резким скачком функции распределения электронов на поверхности Ферми при температуре Т = 0. Осцилляции возни­ кают из-за разрыва производной Sx(r) при k = 2kF.

Таким образом, квантовомеханическая корреляция электро­ нов с параллельными спинами приводит к появлению обменной энергии. Средние квадратичные флуктуации плотности для ма­ лых k уменьшаются благодаря проявлению принципа Паули. Поэтому спиновая корреляция в электронном газе приводит к уменьшению энергии основного состояния системы. Количест­ венное представление о точности метода Хартри — Фока можно получить, например, из сравнения вычисленной в этом прибли­ жении энергии связи простых металлов с экспериментальным значением. Энергия связи определяется как разность энергий

связи наиболее сильно связанного электрона проводимости (т. е.

3) средней энергии кулоновского взаимодействия между электронами, равной, как будет показано ниже, ■—■(1,2/rs) Ry.

Величины Е„оп и т* определяются из решения одноэлектрон­ ной задачи, в которой учитывается периодический потенциал ионных остатков. Наиболее надежные расчеты такого рода были выполнены для щелочных металлов [10].

Для полной энергии связи на одну частицу в приближении Хартри имеем (в ридбергах):

тально значения энергии связи Е3ксп для щелочных металлов приведены в табл. 8.

Как видно из таблицы, в приближении Хартри энергия связи положительна, т. е. металл не может быть устойчивым. Приближение Хартри — Фока приводит к устойчивому решению,

234

но значения энергии связи весьма далеки от экспериментальных значений.

Следовательно, энергия связи весьма чувствительна к учету кулоновской корреляции между электронами в отличие от ранее рассмотренных величин, например парамагнитной восприимчивости электронного газа. Очевидно, что учет взаимо­ действия электронов с антипараллельными спинами увеличит энергию связи по абсолютной величине и приблизит ее к экспе­ риментальному значению. Действительно, кулоновская корреля­ ция приводит к уменьшению g(r) на малых расстояниях из-за отталкивания электронов и понижает энергию основного состоя­ ния электронного газа.

Квазичастицы. В системе взаимодействующих частиц воз­

идеальной системе, т. е. в системе невзаимодействующих частиц. В этом случае различие между частицей и квазичастицей теряет смысл. Второй тип возбуждений связан с коллективным пове­ дением системы взаимодействующих частиц. Эти длинноволно­

можно представить как совокупность одночастичных возбужде­ ний или квазичастиц. Однако такое представление является сложным. Проще считать коллективное возбуждение качественно новым явлением, вызываемым всеми частицами системы и кото­ рое не имеет места в отсутствие взаимодействия между части­ цами. В плазме, и в электронном газе в частности, квантом коллективного возбуждения является плазмой. Экранирование, которое подробно рассмотрено в первой главе, есть проявление коллективного эффекта — реакции системы на внешнее воздей­ ствие.

Можно говорить о некотором сосуществовании коллектив­ ных и индивидуальных возбуждений системы. В отсутствие взаимодействия энергия частицы с импульсом р и массой пг определяется выражением ер = р2/2т. Вследствие взаимодей­ ствия между частицами характер одночастичного движения мо-

235

жет значительно измениться. При своем движении частица стал­ кивается на своем пути с другими частицами, увлекает их за собой и т. д.

Можно говорить о такой модифицированной частице как о квазичастице. Для нее возможна другая зависимость энергии от импульса по сравнению с той, которая имеет место для сво­ бодной частицы. При достаточно низких температурах можно рассматривать систему как совокупность независимых квази­ частиц. Это представление в задаче многих тел явилось рево­ люционным шагом вперед.

Некоторые важные макроскопические характеристики систе­ мы, например удельную теплоемкость, можно определить из спектра квазичастиц — элементарных возбуждений. Представ­ ление об элементарных одночастичных возбуждениях — квази­ частицах— лежит в основе феноменологической теории фермижидкости Ландау. Такое представление чрезвычайно плодо­ творно и при описании взаимодействия в электронной жидкости.

Остановимся кратко на элементарных возбуждениях в «не­ взаимодействующем» электронном газе. Согласно сказанному выше, такие возбуждения являются одночастичными, а понятия частицы и квазичастицы неразличимы. В основном состоянии

Добавим к системе одну частицу. Основное состояние системы из (/V+1) частиц можно получить, если добавленную частицу поместить в состояние с наименьшей с учетом принципа Паули энергией, т. е. в состояние на ферми-поверхности. Тогда хими­ ческий потенциал вырожденного электронного газа

р = Е0 (N + 1) — Е0 (N) = dE0/dN = рр2/2т,

где pF — импульс Ферми, т. е. химический потенциал равен энергии частицы на ферми-поверхности.

Возбужденные состояния системы лучше определять по отно­ шению к основному состоянию Ео. Возбужденное состояние получается путем переноса определенного числа частиц из об­ ласти внутри ферми-поверхности наружу. Эта процедура экви­ валентна возникновению частиц вне S,F и равного числа дырок внутри S F. Частицы и дырки являются в данном случае элемен­ тарными возбуждениями, а различные наборы этих возбужде­ ний описывают все возбужденные состояния системы. Степень возбуждения характеризуется отклонением функции распреде­ ления от ее поведения в основном состоянии

8пр = Пр— л<°>.

Частице с импульсом p '> p F соответствует б«р =бр,р', а дырке с импульсом р'<Срр соответствует бпр= —бр,р' . При отсутствии

236

взаимодействия между электронами энергия возбуждения си­ стемы есть сумма энергий одночастичных возбуждений, т. е.

(21.23)

р

При низких температурах частицы и дырки возбуждены только вблизи ферми-поверхности, величина бп р имеет порядок еди­ ницы в малой окрестности вблизи S F и пренебрежимо мала за пределами этой области.

В изолированной системе сохраняется полное число частиц. Поэтому число возбужденных частиц равно числу дырок. Это ограничение иногда неудобно. Предпочтительнее работать с си­ стемой, которая эквивалентна большому каноническому ан­ самблю, т. е. характеризуется не числом частиц N, а химическим потенциалом ц. Для этого необходимо рассматривать систему в контакте с большим резервуаром, способным поглощать и поставлять частицы. В этом случае интерес представляет не энергия Е, а свободная энергия, которая при 7 = 0 определяется равенством F= E — juTV. Тогда свободная энергия возбуждений, описываемых отклонением 6га р функции распределения, равна

(21.24)

р

Если число частиц сохраняется, т. е. если Х6гар=0, то выра­ жение (21.24) сводится к (21.23). Как это следует из равенства (21.24), свободная энергия частицы с импульсом р равна р212т. Это соответствует свободной энергии элементарного возбуж­ дения вне ферми-сферы. Внутри ферми-поверхности SF элемен­ тарными возбуждениями являются дырки, для которых бгар= 1. Свободная энергия, связанная с этими возбуждениями, равна

\х. — {р2/2т), а не (р2/2т) — ц. Поскольку fx=pz/2m на поверх­ ности Ферми, свободная энергия элементарного возбуждения с импульсом р (которую не следует путать со свободной энергией на частицу) может быть записана в виде | (р2/2т) — ц|. Этот результат справедлив как внутри, так и вне S F. Заметим, что свободная энергия возбуждения всегда положительна. Это не­ обходимо для обеспечения устойчивости основного состояния.

Рассмотрим, какой характер носит движение отдельных частиц в приближении Хартри — Фока. При движении электрона другие электроны, обладающие тем же спином, что и данный, будут в силу принципа Паули стремиться уйти с его пути. Этот эффект описывается корреляционной функцией gx-o(r). По­ этому можно говорить об обменной дырке в окрестности данного электрона, т. е. области, в которой концентрация других элек­ тронов понижена. Таким образом, в модели Хартри — Фока электрон не свободен, а имеется сложное образование: элек­ трон плюс связанная с ним обменная дырка. Такие модифи­

237

цированные электроны в приближении Хартри — Фока также называют квазичастицами, хотя силовое взаимодействие между частицами отсутствует, а существует лишь корреляция электро­ нов, обусловленная действием принципа Паули.

Зависимость энергии квазичастицы от ее импульса отли­ чается от аналогичной зависимости для свободной частицы.

Вид функции F(pJpf) показан на рис. 27. Иной характер зави­ симости г(р) приводит к изменению температурной зависимости электронной теплоемкости. Теплоемкость пропорциональна плот­ ности одночастичных состояний, отнесенной к единице энергии, на поверхности Ферми. Для плотности состояний можно напи­ сать следующее, достаточно общее выражение:

1

где ek — энергия квазичастицы с импульсом k, \i = BkF — энергия квазичастицы на поверхности Ферми. В приближении Хартри — Фока, согласно формуле (21.25), (c?ek/<?k)ft- ft/,—>-оо, т. е. р*'(е) =0.

Таким образом, в этом приближении получается абсурдный результат для теплоемкости. Следо­ вательно, в данном случае нельзя пользоваться простой формулой (21.5), а следует аккуратно учесть изменение распределения Ферми с температурой. Соответствующее вы­ числение было проделано Бардином [10], который получил С\-~ ~7'/1п7'. Этот результат не согла­ суется с экспериментом [7].

Оказывается, что и другие вели­ чины, зависящие от плотности со­ стояний вблизи поверхности Фер­

ми, например вероятности перехода, в приближении Хартри — Фока противоречат эксперименту. В приближении Хартри — Фока возникают трудности и при исследовании магнитных

238

свойств электронного газа. Спиновую восприимчивость элек­ тронного газа %s в этом приближении легко найти с помощью формулы (20.17). При этом вычисление обменной энергии как функции р предполагает учет деформации сфер Ферми для обоих направлений спина. Тогда а определяется как кинети­ ческой, так и обменной энергией

2 4

ах—ф = — бр -|—— Еобм.

Нетрудно учесть также влияние периодического потенциала решетки на %s. Этот учет сводится к замене массы электрона на поверхности Ферми эффективной массой т*:

Рр/т* = (dehdk)k=k .

где — одноэлектронная энергия с учетом периодического

поля решетки. При этом для простоты рассматривается случай сферической поверхности Ферми. Тогда

2 т . 4 „

ах_ф = т е^— + Т До­

полученные отсюда значения Хх- ф с К ом Для газа Зоммерфельда, а также %э8ксп сопоставлены в табл. 9.

Как видно из таблицы, приближение Хартри — Фока при­ водит к сильно завышенному значению для парамагнитной восприимчивости электронного газа, весьма далекому от экспе­ риментального. Интересно, что более простая модель электрон­ ного газа Зоммерфельда, пренебрегающая обменным взаимо­ действием электронов, приводит к лучшему согласию с экспери­ ментом. Это завышение %s в модели Хартри — Фока легко по­ нять следующим образом. Обменная энергия благоприятствует поляризации спинов, в то время как кинетическая энергия стре­ мится разрушить эту поляризацию. Следовательно, учет обмен­ ных эффектов в случае системы отталкивающихся частиц при­ водит к увеличению Xs-

Интересно, что учет обменной энергии в приближении Хар­ три— Фока приводит к предсказанию ферромагнетизма элек­ тронного газа умеренной плотности (г«ж 5,5). Действительно,

239