книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

При этом многоэлектронная волновая функция в модели Зоммерфельда есть произведение одноэлектронных волновых функций

i-=1 1

где Хг — пространственная и спиновая координата электрона. Поскольку электроны не взаимодействуют, то энергия всей системы

Значения вектора к представляют дискретный ряд и опре­ деляются периодическими граничными условиями:

к = (2я/1) п,

где компоненты вектора п — целые числа. Следовательно, плот­ ность узлов для одного направления спина равна

dnxdnydnz/d3k = (L/2л)3 = р (к).

Тогда переход от суммирования по к к интегрированию в к-про- страпстве для любой функции /(к) совершается по правилу*

V/(k)к = (L/2jt)»j7 (k)dk.

Какие волновые векторы к должны фигурировать в волно­ вой функции (20.2)? Согласно принципу Паули, каждому зна­ чению к можно поставить в соответствие не больше двух электронов (с противоположными спинами). При пулевой тем­ пературе (р = оо) энергия системы минимальна, если электроны заполняют в соответствии с принципом Паули N наинизших состояний. Таким образом, приходим к распределению по им­ пульсам, представляющему собой две заполненные сферы Ферми— по одной для каждого направления спина, в которых заняты все состояния вплоть до некоторого максимального им­ пульса hk р.

Величина kF определяется из условия, чтобы в занятой части пространства импульсов содержалось N/2 векторов, т. е.

N = 2 n&dk (L/2n)3= L ^ /Зл2.

о

Таким образом, максимально возможное значение kF опреде­ ляется плотностью электронов n = N(V:

* Отметим, что рассматриваемый объем системы V=L3 предполагается достаточно большим, так что спектр дискретных значений k можно считать квззинепрерывным.

220

Объем, приходящийся на один электрон, можно выразить через среднее расстояние между электронами г0:

Ve =i / n = (4я/3) г3 .

Удобно ввести безразмерный параметр, который будет часто использоваться в дальнейшем: гя = Го,'ао, где flo — боровский радиус. Тогда

где Ry = me'lj2h2. Поскольку концентрация электронов в боль­ шинстве металлов соответствует значениям параметра rs —

= 2-=-5,5, то

Среднюю энергию, приходящуюся на частицу, условно можно> записать в виде (она, конечно, совпадает со средней кинетиче­ ской энергией, приходящейся на частицу в газе Зоммерфельда):

Отметим, что eF и еКШ1 пропорциональны п2/3. Энергия Фер­ ми' eF имеет простой термодинамический смысл. Действительно,, функция распределения Ферми по квантовым состояниям

в пределе низких температур (|}—>-оо) обращается в единицу при

22 Е

тде S — энтропия, легко получить выражение для термодинами­ ческого потенциала вырожденного электронного газа

5 т

Поделив это выражение па объем системы, получим выражение для давления с обратным знаком. Таким образом, уравнение

•состояния зоммерфельдовского электронного газа имеет вид

Полученные формулы для макроскопических величин при­ ближенно верны также и при температурах, достаточно близких (при данной плотности газа) к абсолютному нулю. Поскольку температура вырождения в металлах порядка нескольких электронвольт, параметр вырождения (|3ер)-1 остается малым при температурах, составляющих десятые доли электронвольта (сотни градусов) *.

При конечных температурах функция распределения Ферми плавно меняется вблизи границы Ферми ер. Говорят, что сту­ пенчатая функция распределения, соответствующая вырожден­ ному электронному газу, «размазывается». Если температура системы невелика, то размазывается лишь малая область вблизи поверхности Ферми, т. е. бkfkpta ((Зе^)-1. Физически это ■означает, что только доля электронов порядка (ре^)-1 принимает участие в тепловом возбуждении. Остальные 1—(Ре^)"1 элек­ тронов «выморожены» согласно принципу Паули. Поэтому априори ясно, что в этих условиях теплоемкость электронного таза, близкого к состоянию полного вырождения, должна быть мала, ибо малая доля электронов способна участвовать в явле­

как возмущение, должна быть меньше температуры Дебая, которая порядка сотен градусов.

222

ного ферми-газа. Рассматривая второй член как малую до­ бавку, легко получить выражение для любой термодинамической функции. Например, выражая ц через Т и V, имеем для сво­ бодной энергии

** Предлагаем читателю убедиться в том, что выражение для теплоемко­ сти совпадает с выражением для энтропии S.

223

Теплоемкость удобно выразить через плотность одночастич­ ных состояний на поверхности Ферми pF:

ких температурах не только подтверждает ее линейную зави­ симость от температуры Т, но для ряда металлов дает доста­

для данного элемента. Как видно из табл. 6, модель свободных электронов при Na, равном числу валентных электронов на атом, является не такой уже плохой для перечисленных метал­

рое не является слабым), ни взаимодействие электронов с фоно­ нами не оказывает существенного качественного влияния на электронную часть теплоемкости. Не исключено, что влияние решетки в какой-то мере компенсирует коллективные эффекты, связанные с дальнодействием кулоновских сил. Столь хорошего соответствия простейшей теории с опытом не наблюдается ни для полуметаллов типа Ш или Sb, ни для переходных метал­ лов, для которых влияние периодического потенциала играет большую роль.

.224

Если модель свободных электронов приводит к разумному результату для теплоемкости при наличии малого параметра (Рер)-1, характеризующего слабое возбуждение системы, то не

вой поляризации электронного газа запишем «парциальные плот­

Считая, что магнитное поле слабо поляризует «замороженные»

электроны в сфере Ферми, что имеет место при реЯ<Се^, раз­ ложим энергию основного состояния электронного газа, прихо­ дящуюся на одну частицу, в ряд по степеням отношения Р/п:

Е(Р) = Е (0) + аР2 — Рр,Я,

а=(2/3)е^. Следовательно, парамагнитная восприимчивость идеального электронного газа

3_

(20.18)

2 '

Спиновая восприимчивость электронов проводимости в щелоч­ ных металлах (Li, Na) была получена экспериментально с по­ мощью комбинации эффектов электронного спинового и ядерного магнитного резонансов [8]. Сравнение данных опыта с результатом (20.18) приведено в табл. 7.

Более строгое рассмотрение поэтому приводит лишь к уточ­ нению изложенной выше теории. Учет влияния периодической структуры решетки при вычислении теплоемкости и спиновой восприимчивости также приводит лишь к поправке. Физически это связано с тем, что указанные величины зависят от пове­ дения электронов в непосредственной окрестности поверхности Ферми. Поэтому наиболее просто поправка на периодическую структуру внешнего поля вводится с помощью эффективной массы электрона т*. В простейшей модели, когда поверхность Ферми является сферической, т* определяется из выражения

усреднением градиента одиоэлектронпой энергии в к-простран- стве:

При корректном вычислении теплоемкости и спиновой вос­ приимчивости следует учитывать также воздействие электро­ нов друг с другом и с фононами. Оказывается, что учет послед­ него взаимодействия важен при вычислении теплоемкости, но практически не сказывается на спиновой восприимчивости. Поправки на взаимодействие электрон — электрон и электрон — фонон можно получить с помощью замены спектра свободных частиц спектром квазичастиц, соответствующих рассматривае­ мому взаимодействию.

§ 21. ПОПЫТКА УЛУЧШЕНИЯ МОДЕЛИ ВЫРОЖДЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА

Энергия зоммерфельдовского газа свободных электронов может быть получена из вариационного принципа, хорошо из­ вестного в квантовой механике. Если волновая функция системы есть произведение одноэлектронных волновых функций [см.

226

выражение (20.2)], то, минимизируя энергию системы, получаем уравнение для одночастичных волновых функций фа :

действующее на данный электрон. Метод Хартри является

свободных электронов функции фа— плоские волны, удовлетво­ ряющие уравнению

Из-за наличия равномерно распределенного фона положи­ тельного заряда средняя напряженность поля, действующего па электрон, равна нулю. Поэтому плоские волны представляют собой решения уравнения Хартри. Следовательно, приближение Хартри не может внести ничего нового по сравнению с рассмот­ ренной в предыдущем параграфе теорией для зоммерфельдовского газа свободных электронов. В приближении Хартри не учитывается не только взаимодействие электронов, но и прин­ цип Паули. Учет взаимодействия электрон — электрон рассмот­ рим ниже, а сейчас определим поправку к энергии системы, связанную с обменным взаимодействием электронов. Это просто сделать в приближении Хартри — Фока, которое получается из вариационного принципа, но в качестве волновой функции системы при этом используется должным образом антисимметризованная комбинация одноэлектронных волновых функций.

С учетом условия нормировки Ф выражается через детер­ минант Слэтера:

Тогда одноэлектронные волновые функции, согласно вариацион­ ному принципу, удовлетворяют уравнению Хартри — Фока:

Это уравнение отличается от уравнения Хартри обменным членом. Задачу можно по-прежнему решать с помощью итера-

8* 227

ций, беря в качестве фа и фр плоские волны. Поскольку плоские волны удовлетворяют уравнению (21.1), необходимо показать, что они являются также и собственными функциями обменного члена:

Отметим, что, как и в последующих формулах, необходимо сум­ мирование по к', соответствующим электронам с параллельными спинами. Кроме того, сумма по к' не содержит члена с к= к'.

Из выражения (21.4) видно, что плоские волны действи­ тельно являются собственными функциями обменной части га­

мильтониана НобмЭнергия электрона в приближении Хартри—■ Фока

Следовательно, энергия основного состояния в расчете на один электрон есть

Этот же результат легко получить с помощью вторичного кван­ тования. Такой подход необходим также для введения понятия элементарных возбуждений и квазичастиц. Гамильтониан си­ стемы

удобно выразить через флуктуации плотности пк, являющиеся фурье-компонентами плотности п:

Соотношение (21.7) написано для единичного объема системы.

Поскольку электронный газ рассматривается на фоне положи­ тельного, равномерно распределенного заряда, при суммиро­ вании по к необходимо опустить член с к= 0, в силу квазипейтральности системы.

228

где ер=р2/2т — энергия свободного электрона, а операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют правилам анти­ коммутации для фермионов:

возбуждения системы с гамильтонианом (21.9). Нужные резуль­ таты можно получить как первые члены ряда теории возмуще­ ний. При таком подходе главным членом в гамильтониане считается кинетическая энергия, а потенциальная рассматри­ вается как возмущение. Это оправдано в предельном случае высокой плотности электронов.

Если полностью пренебречь потенциальной энергией, то волновая функция основного состояния системы, которую обо­ значим |0> , будет описывать состояние с полностью заполнен­ ной сферой Ферми. По определению волновой функции основ­ ного состояния к заполненной сфере Ферми нельзя добавить

частицу, т. е. ap,a|0> = 0 при |р |>/?*■, и нельзя уничтожить электрон вне сферы Ферми, поскольку их там нет, т. е. dp,a|0> = = 0 при |p |> p F. Поэтому плотность

а энергия основного состояния в расчете на одну частицу в нулевом по взаимодействию приближении равна просто средней кинетической энергии на один электрон:

Вычислим теперь энергию основного состояния в первом порядке теории возмущений. Формально эту поправку, отнесен­ ную к одной частице, можно записать в виде

где, как и в формуле (21.11), записано усреднение по волновым функциям «вакуума», которым в задаче многих фермионов яв­ ляется заполненная сфера Ферми.

229