книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

При Д» 1 выражение (17.16) дает асимптотически Г)0* (R) « « 12е2//?6, что представляет собой первый член более общего

i>2. Если R~>e, можно заменить Г, на Г{0) и воспользоваться

существенный вклад определяется областью гц вблизи единицы, даже если R мало. Следовательно, подстановка выражения (17.15) в эти интегралы приводит к хорошему приближению для всех значений R (предполагается, конечно, что е<С1). Од­ нако в этом разложении имеются два члена, каждый из кото­ рых содержит однократный интеграл. Для этих двух интегра­

к (R) = exp (— e/R) — 1 -f- (e/R).

200

Хотя другие члены в выражении для Г (, !) порядка е3, член,

содержащийся в формуле (17.14), в действительности порядка е3/(/? + е) и должен быть учтен при очень малых R. Тогда

Ох — и

Наконец, пренебрегая членами порядка R3 и е, найдем при

Л « 1 :

Г, (R) — fx (R) = s2 Jin e — 0,0956 + R2J-i- In R + -i- In e—0,120б ]+

Выпишем явные выражения для Ti(/?) в некоторых пре­ дельных областях изменения введенных выше параметров, где возможно разложение для этих функций.

При х<С 1

Поэтому при R<^e выражение (17.19) с точностью до членов R2/e2 сводится к виду

При е< 7?< 1

Фх (х) « In х — 0,0772 + ~ ( y In х + 0,7520^ ;

Ф2 (х )« In х — 0,9106 + - j (Inх + 0,9894^;

F (х) « л2/ 16х,

так что в этой области, пренебрегая членами порядка e2/Rz, R3 и членами более высоких порядков, получаем

Итак, бинарная функция корреляции w (1,2), представляю­ щая наибольший физический интерес при вычислении термоди­

201

намических функций, выражается через только что подробно

[см. формулу (17.5)], представляющую собой бесконечную сумму многократных интегралов. Каждому из этих интегралов поставлено в соответствие 12 неприводимых диаграмм специаль­ ного вида (кустовые диаграммы) [6]. В каждой из этих диа­ грамм единственной линии соответствует Г, а л линиям ста­ вится в соответствие выражение

Поскольку необходимо оценить Х2 в наинизшем порядке по е, можно заменить Г па Го и f на foИнтегралы, входящие в это выражение, конечны и при R-+0, так что вычисление не натал­ кивается на принципиальные трудности. В указанном прибли­ жении Х2 вычисляется аналитически:

202

Выпишем полезные формулы для различных областей измене­ ния характерных параметров:

при R < е

+ 0 (er-*)].

Последнее выражение показывает, что иц(#) спадает экспо­ ненциально при больших R, член же порядка #~® сокращается.

Вычислим теперь корреляционную энергию, обусловленную электростатическим взаимодействием. Определим ее следующим образом *:

* Предлагаем читателю связать корреляционную энергию с термодина­ мическим потенциалом системы Q или со свободной энергией F.

203

Член со знаком минус обусловлен взаимодействием с зарядовым фоном. Чтобы вычислить корреляционную энергию, включая члены порядка е2, достаточно написать

Первый член в этом выражении соответствует приближению Дебая — Хюккеля.

Отметим также, что выражение (17.27) соответствует вириалыюму разложению свободной энергии однокомпонентной разреженной плазмы по степеням плотности, включая члены, квадратичные по п. Это разложение было получено неодно­ кратно в предыдущих главах разными способами. Казалось бы, зачем получать это выражение еще раз? Можно сказать, что разложение (17.24) получено как предельное решение выве­ денных ранее более общих соотношений. Следовательно, переход к малым е и учет членов ~ е 2 является лишь проверкой под­ хода к решению задачи. Попытаемся проанализировать об­ ласти больших плотностей. Оказывается можно просуммировать ряд сравнительно простых цепных диаграмм, вклад которых в термодинамические функции становится существенным при приближении дебаевского параметра к единице (рис. 23). Вклад от ряда диаграмм, показанных на рис. 23, а, равен

Пусть A(R) =bS(R) +fi(R) и Т ( R ) — вклад от ряда цепных диаграмм, изображенных на рис. 23, б. В результате фурье-пре- образования получаем

~ f 2i(R) ~ е 4//?4. Учитывая это, можно показать, что основной

204

пеэкспоненциальпый член в выражении для T(R) асимптоти­ чески изменяется как е4/?-10. Теперь можно записать диаграммы в терминах Т-линий вместо Г-линий. Так, диаграмме с п Т-ли­ ниями вместо Г следует поставить в соответствие выражение вида

(д!)-1 [Т — (S f Г)]" + \{п — l)!!"1 (S - I - Г) [Т — (S + Г)]"-1. (17.30)

(S;

о-

а

Рис. 23. Диаграммы:

Тогда обобщением для бинарной функции корреляции вместо выражения (17.5) служит формула

включает графики, изображенные на рис. 22. Следовательно, остающиеся графики, относящиеся к Хт, имеют порядок е 3 (для е<§;1). Эти члены возникают от диаграмм, изображенных на рис. 23, в.

Оказывается возможным просуммировать Г-линии следую­ щим образом. Пусть S'(R) и T'(R) описывают вклад диаграмм

205

типа а и б, где Г-линии заменены соответственно 7-линиями. Тогда

S' (R) = [1 + S (R) + Г (£)] exp [ Т (R) - S ( R ) - T (R)] -

Таким образом, 7' содержит 7. Кроме того, 7' содержит члены, не входящие в 7 (для е<С1), которые возникают от диаграмм в. Эти члены имеют порядок е3. Члены в Хт', не содержащиеся в Хт, также возникают от диаграмм типа в.

Указанный процесс может быть продолжен итерационно до бесконечности. При этом можно надеяться (хотя это и трудно доказуемо), что ряд Т, Т', . . . сходится к предельной функ­ ции 7°°. Интересен анализ результатов, полученных численно. На рис. 21 построена вспомогательная функция T(R), которая в дебаевском пределе переходит в To{R)- Если известна функ­

вычисления 7 (к). Обратное преобразование Фурье, выполнен­ ное численно, приводит к выражению для T(R). Далее, из выражений (17.32) и (17.34) получаем A' (R). Соответствующее обращение этого выражения по Фурье дает А'(к). Тогда по формуле (17.33) вычисляем Т'(к), из которого получается иско­ мая функция T'(R).

Вычислив эти вспомогательные функции, можно сделать ряд

различие находится в пределах 10%. Вычисление следующего приближения Т" указывает на возможность очень быстрой схо­

вычислении этих выражений были отброшены члены порядка е3.) Отношения этих разностей к дебаевской функции парной кор­ реляции w0(R) слабо отличаются от единицы. Так, при е = ’/з максимальное отклонение отношения [A (R) — T(R)]/w0(R) от единицы составляет 10%, а соответствующее отношение величин со штрихами отличается от единицы не более чем на 3%. От­ метим, что и при е->1 не происходит качественного изменения этого отношения и оно даже в этом случае близко к единице.

206

Приведем численные результаты для двух физических вели­ чин, представляющих интерес. Первая из них — потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу и обусловленная поля­ ризующим облаком, окружающим фиксированный заряд, поме­ щенный в начале координат: w(0)-—и(0). Эта величина получена с помощью четырех последовательных приближений при вычислении функции w(R). Результаты представлены в табл. 4 [6].

Как видно из таблицы, результаты, полученные с помощью парной функции корреляции, определяемой выражением (Г — А) и (Т' — А'), весьма близки.

Другая величина, представляющая непосредственный инте­ рес, так как через нее выражается свободная энергия системы, есть Дкорр, определенная формулой (17.26). В табл. 5 пред­ ставлена величина —2£КОрр для трех значений е. Вторая графа таблицы получена подстановкой е в дебаевское выражение (что заведомо неправомерно для е — 1), третья графа — резуль­

численного интегрирования выражения (17.26) с использованием функций U = T — А и f2 = T' — А'.

Т а б л и ц а 5

Различные приближения для величины—2 £ КОрр£

207

Это вычисление позволяет сделать интересные выводы. Вопервых, численные результаты, полученные с помощью после­

Во-вторых, использование дебаевского приближения с поправ­ ками в случае умеренно плотной плазмы дает заведомо непра­ вильный результат. В то же время использование просто дебаев­ ского приближения для е=1 является более оправданным, чем вычисление по формуле (17.27). В-третьих, вычисление кор­ реляционной энергии, а следовательно, и свободной энергии системы является не очень грубым, если использовать в точных

из предыдущих глав: для получения неплохого результата для термодинамических функций нет надобности вычислять корре­ ляционные функции с большой степенью точности. Так, исполь­ зование дебаевского приближения для бинарной функции кор­ реляции (когда мы считаем, грубо говоря, дебаевский потен­ циал потенциалом парного взаимодействия в системе кулонов­ ских частиц) приводит к правильному выражению для свободной энергии системы. Если же подменить реальное взаимодействие дебаевским при вычислении вириальных коэффициентов, то получим неверный результат.

В рассмотрении, приведенном выше, получается сходимость численного счета, которая говорит о том, что область приме­ нимости дебаевского приближения «затягивается». Это можно, по-видимому, объяснить «игрой численных коэффициентов» или тем обстоятельством, что дебаевское приближение есть не только приближение первого порядка при разложении термодинамиче­ ских величин по плотности, но и приближение самосогласован­ ного поля. В теоретической физике известны примеры, когда приближение самосогласованного поля дает лучшие результаты, чем этого можно было бы ожидать на основе буквенного кри­ терия применимости этого приближения.

§ 18. КЛАССИЧЕСКАЯ ПЛОТНАЯ ПЛАЗМА

Как показано в первой главе, существует область термодина­ мических условий, когда отношение средней энергии взаимодей­ ствия пары кулоновских частиц к их средней кинетической энергии велико, но система еще далека от вырождения и подчинена статистике Больцмана. Такую плазму можно на­ звать классической плазмой с сильным взаимодействием. Об­ ласть возможных значений температуры и плотности для случая водородной плазмы обозначена на рис. 1 как область II. Параметр

208

характеризует систему кулоновских частиц с сильным взаимо­ действием. Плотность частиц в такой системе велика.

Впервые систему кулоновских частиц с сильным взаимо­ действием рассмотрел Вигнер. Он рассмотрел, однако, случай достаточно разреженного вырожденного электронного газа на фоне компенсирующего положительного заряда, когда среднеерасстояние между электронами велико по сравнению с атомными

гия становится малой по сравнению с энергией взаимодействия. При этом возникают условия, при которых электроны имеют возможность локализоваться и образовать упорядоченную струк­

вимся на модели Вигнера в следующей главе при рассмотрении термодинамики электронного газа.

Используя рассуждения Вигнера, можно было бы предпо­ ложить, что система в области II, являющаяся классической плазмой с сильным взаимодействием, представляет собой элек­ тронно-ионный кристалл (если для определенности рассмотреть водородную плазму с ЛЙ = г]кл)• Предположим, что такой кри­

сталл существует. Нетрудно показать, однако, что для элек­ тронно-ионного кристалла имеет место правило сумм для частот нормальных колебаний соДк):

где суммирование проводится по всем ветвям спектра колеба­ ний кристалла [2]. Если это так, то в спектре колебаний имеются мнимые частоты, соответствующие неустойчивым модам колебаний. Действительно, амплитуда смещений атомов в эле­ ментарной ячейке кристалла удовлетворяет системе уравнений:

209