книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

§ 15. МЕТОД КВАНТОВЫХ ГРУППОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ МОНТРОЛЛА И УОРДА И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ

Интересный, хотя и несколько сложный, подход в термоди­ намике системы кулоновских частиц был предложен Монтроллом и Уордом, которые обобщили метод групповых интегра­ лов Майера на квантовый случай [12]. Метод не позволяет по­ лучить термодинамические функции сильно неидеальной систе­ мы, поскольку он базируется на теории возмущений. Однако с его помощью можно, вообще говоря, продвинуться при вы­ числении термодинамического потенциала в область больших плотностей плазмы. Квантовомеханическое рассмотрение позволяет преодолеть трудности классической теории, связан­ ные с малыми расстояниями между частицами. Кроме того, ес­ ли плотность частиц не слишком мала, имеет смысл вводить в

термодинамические функции поправки, связанные с вырожде­ нием системы, т. е. с отклонением от статистики Больцмана.

изучать эту область термодинамических условий, то параметр вырождения п%Ае< 1 и эффекты вырождения приводят к не­

большим поправкам.

Рассмотрим систему кулоновских частиц в объеме V при температуре (Н в состоянии термодинамического равновесия. Термодинамические свойства системы N частиц можно вычис­ лить, зная ее статистическую сумму (для канонического ан­ самбля) :

Z„ = 2 f^ (q * O e x p {- p tf}¥ J q ^ q " = Spexp(-p//) (15.1)

{"} V

или статистическую сумму системы с переменным числом частиц, соответствующую большому каноническому ансамблю:

Здесь dqN = dqidq2 ■■■ dqN\ dqi^dXidyidZi. Суммирование про­ водится по всем наборам квантовых чисел {n} = ni, п2, ...

Функции 'Кп(ч^) образуют полную ортонормированную систе­ му, симметризованную соответствующим образом. Гамиль­ тониан

лшЛ

KKN

160

t . e. знание функции Грина определяет все термодинамиче­ ские свойства системы.

Величина GN(qNP; qN, 0) представляет собой амплитуду вероятности для системы частиц, находившихся в данных точ­ ках пространства qN при бесконечной температуре, возвра­ титься в те же точки пространства после медленного охлажде­ ния системы до температуры р-1. Таким образом, статистиче­

6 З ак . 635

Зная решение уравнения (15.8), казалось бы, можно по формуле (15.7) подсчитать статистическую сумму и построить таким образом термодинамику системы. Однако в общем слу­ чае решение этого уравнения аналитически в замкнутом виде невозможно. Поэтому для решения конкретных задач исполь­ зуются различные приближенные методы.

Точно уравнение (15.8) решается лишь для идеальной си­ стемы. Предположим для простоты, что система невзаимодей­ ствующих частиц подчинена статистике Больцмана и удовлет­ воряет граничному условию для GK

2 А * ( Р - р ') 1

где фактор ЛП учитывает число возможных перестановок из N одинаковых частиц. Полагая qAr = qftr' и Р' = 0, легко получить из формул (15.7) и (15.9) статистическую сумму

\ < i < N

Это хорошо известное выражение для статистической сум­ мы системы, представляющей собой идеальный газ.

Спиновые состояния системы невзаимодействующих элек­ тронов можно учесть, записав функцию Грина, антисиммет­ ричную по координатам qiV' и qX т. е.

Это выражение эквивалентно детерминанту Слэтера, по­ строенному из одночастичных волновых функций системы.

Рассматриваемый формализм по существу ничем не отли­ чается от формализма функций Грина, который обсуждался в шестой главе. Однако математический язык изложения яв­

162

Чтобы лучше освоить этот язык, рассмотрим задачу о зоммер-

можно описать детерминантом Слэтера. Статистическая сум­ ма такой системы равна

Чтобы вычислить величину \x\ Zn , воспользуемся известным из теории интегральных уравнений Фредгольма разложением, связывающим интеграл от определителя ядер с итерирован­ ными ядрами [5]. Тогда

где

Л, = JG<°> (q1, Р; q', 0) G°(q', p; q'" 1, 0) . . .G<°> (q3, p; q2, 0) X

Подставляя в выражение (15.13) сумму произведений величин,

Л/, ПОЛУЧИМ

z% = exp I f (— Z()H 1OVoj • U=i

Следовательно,

6* 163

Составим следующее вспомогательное выражение:

Ft (Р) = J Ft(q) exp (— ipq) dq = [G° (p, P)]r.

Тогда, учитывая выражение (15.16), получим

Подставляя это выражение в равенство (15.15) и суммируя получившийся ряд, приходим в итоге к известному выражению для термодинамического потенциала идеального электронного газа [5]

- Р 02 = РКр = 1п 2? = - ^ г fpM n(l + zeexp[-

В случае слабого вырождения, чему соответствует 2е<С1, подынтегральное выражение в формуле (15.17) следует разло­ жить по степеням ze. Если сохранить при этом два первых чле­ на разложения, то

ного газа от классических ведут к увеличению давления. Ины­ ми словами, мы еще раз убедились, что квантовомеханические обменные эффекты приводят к эффективному отталкиванию между частицами.

Вернемся теперь к рассмотрению системы взаимодействую­ щих кулоновских частиц и уравнению Блоха (15.8). Решение

164

этого уравнения можно искать в виде итераций: G„(q", Р; q ^ ', Р') = (q^ , Р; Чл ' , Р ') -

-j f G%(q^, р; x"p*)t/(x")G&(x", Р"; q " ', p')dx"dp'+

Н'

многократных интегралов, под знаком которых стоит произве­ дение известных величин G°N и ^(q^). Решение (15.18) пред­

ставляет собой разложение функции Грина в ряд теории воз­ мущений по константе взаимодействия. Соответственно для ста­ тистической суммы Zn также имеем ряд теории возмущений.

Если рассматриваемая система кулоновская, то дальнодействующий характер кулоновского взаимодействия проявляется формально в расходимости этих интегралов. Поэтому, вообще говоря, для получения конечного результата для ZN необходи­ мо просуммировать весь ряд (15.18). В общем случае эта за­ дача неразрешима. Тем не менее из последовательности членов разложения (15.18) можно выделить определенный класс ин­ тегралов, сумму которых удается вычислить. Из дальнейшего будет видно, что эти интегралы играют основную роль в рас­ сматриваемой теории. Для интерпретации различных членов теории возмущений воспользуемся диаграммной техникой, ко­

показано на рис. 15, б. Следовательно, первый член разложе­ ния (15.18) соответствует этой диаграмме. Будем в дальней­ шем называть его нулевым членом теории возмущений, вто­ рой— первым членом теории возмущений и т. д. Предположим

165

линию на графиках. Тогда второй член ряда теории возмуще­ нии будет содержать диаграмму, представленную на рис. 15, в.

Чтобы по виду этой диаграммы восстановить аналитиче­ ское выражение функции G<‘>(q;, q;, (3; q,, q'., p'), необходимо

перемножить указанные функции G° и потенциал U, а затем выполнить интегрирование по узлам диаграммы с координата-

Рис. 15. Графическая иллюстрация .разложения многочастичной функции Грина в ряд теории возмущений.

ми х,-, х3- и р" в пределах объема системы V и обратных темпе­ ратур р и Р'. Величина G ^(qu qy, Р; q-, q), Р') является функ­

цией распространения двух частиц, находившихся первона­ чально в точках (qi, Р; q’, Р0> затем провзаимодействовавших

содержит выражения, соответствующие диаграммам г и с? на рис. 15. Первая из них соответствует функции распростране­ ния трех частиц, причем каждая частица взаимодействует только с соседней. Вторая же описывает функции распростра­ нения двух частиц, которые взаимодействуют между ^собой дважды: в точках (хг-, р"; х,-, р") и в точках (х^ , р'"; х'., р"').

При рассмотрении более высоких порядков теории возму­ щений возникают более сложные типы взаимодействий, кото­ рым можно также сопоставить определенные диаграммы. Об­ щее правило построения таких диаграмм для п-го порядка со­ стоит в учете всех возможных размещений линий взаимодейст­ вия (для п-го члена таких линий п) между N вертикальными

линиями. Размещая, например, в третьем порядке теории воз­ мущений три линии взаимодействия, получим диаграммы, при­ веденные на рис. 16.

Сравнивая диаграммы в и г на рис. 15, можно видеть, что

соединением ее линией взаимодействия с соседней вертикаль­

В п-м порядке теории возмущений цепная диаграмма содер­ жит (гс+1) вертикальных линий, которые соединены п линия­ ми взаимодействия. Диаграммы типа в на рис. 16 образуются из цепных диаграмм соединением крайних вертикальных линий линией взаимодействия и называются к о л ь ц е в ы м и . В п-м порядке теории возмущений кольцевая диаграмма содержит п вертикальных линий, соединенных п линиями взаимодействия. Другой класс диаграмм представляют графики типа изобра­ женных на рис. 15, д и 16, а. Правило их построения очевид­ но: каждый последующий член теории возмущений содержит диаграмму с числом линий взаимодействия, равным порядку этого члена. Это диаграммы л е с т н и ч н о г о типа.

Более сложные диаграммы, возникающие в различных по­ рядках теории возмущений, являются, по сути дела, всевоз­ можными комбинациями этих типов диаграмм. Например, график на рис. 18, б представляет собой комбинацию графика рис. 15, д н графика рис. 16, в.

Выражение статистической суммы через групповые интегралы

Все многообразие диаграмм можно подразделить на груп­ пы, аналогично тому как это делалось при рассмотрении в § 6 классических майеровских диаграмм. Будем говорить, что в данной диаграмме образованы г руппы, если в ней имеются

167

содержащих по одной вертикальной линии, что соответствует (N—2) свободным частицам, и одна группа из двух линий, сое­

Для группы из двух линий (частиц)

i

Для группы из трех частиц

\y\y

О Л А А /

+диаграммы с четырьмя и большим числом линий взаимодей­ ствия.

Формально майеровские диаграммы можно получить из вышеприведенных диаграмм стягиванием вертикальных линий в точки. Если при этом между вертикальными линиями имеется

168

несколько линий взаимодействия, то они сольются в одну ли­ нию. Например, можно проследить такое соответствие:

ПиЛ

л г и

Л П и

пил пил пил

Различие между квантовомеханическими и классическими

ный эффект от этих взаимодействий. Из определения квантово­ механических групповых сумм видно, что начиная с эти

суммы имеют бесконечное число членов. Это также отличает групповые суммы, введенные здесь, от соответствующих груп­ повых сумм в теории Майера.

С помощью групповых сумм S;(q*, Р; q'', р') (г, /, «:... = /)

разложение (15.18) для функции распространения N частиц GJV(qJV, Р; ПЛ", р') можно символически записать в виде

Здесь суммирование распространено по всем возможным рас­

формулу (15.7)]:

Оно формально совпадает с классическим представлением ZN в теории Майера. Отличие состоит в том, что групповые инте­ гралы, определенные как

169