книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

§ 9. ИОНИЗАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ДЕБАЕВСКОЙ ПЛАЗМЫ

Изучение уравнения состояния тесно связано с исследова­ нием состава плазмы. Если плазма термодинамически равно­ весна, то вычисление концентраций отдельных компонент пред­ ставляет собой наиболее простую задачу, поскольку для этого не нужно подробно знать микроскопические свойства плазмы, не нужно знать элементарные процессы столкновений частиц и т. д., не нужна и предыстория установления равновесия. Состав плазмы совершенно так же, как и для всякой термодинамиче­ ски равновесной системы, определяется заданием характерных макроскопических величин, определяющих состояние равнове­ сия. Поэтому состав плазмы фиксирован состоянием системы и определяется законом действующих масс, или условием хими­ ческого равновесия, совершенно так же, как и в теории термо­ динамически равновесных химических реакций.

Не будем обсуждать здесь диссоциацию молекул, а предпо­ ложим, что температура и давление в системе таковы, что число молекул ничтожно мало и плазма представляет собой трехкомйонентную систему, состоящую из атомов, ионов и электронов. Более того, для простоты рассмотрим конкретный случай ча­ стично ионизованной водородной плазмы. Тогда закон действую­

где ре, Цт и Ца — химические потенциалы подсистем электронов, ионов и атомов соответственно. Уравнение (9.1) записано для случая однократной ионизации (для водорода, конечно, и воз­ можна лишь однократная ионизация). Если плазма полностью идеальна, то, записывая явные выражения для химических по­ тенциалов отдельных компонент [4]:

где п j и Zj — соответственно плотность и статистическая сумма по внутренним степеням свободы атома, иона и электрона; под­ ставляя выражение (9.2) в уравнение (9.1) и потенцируя полу­ ченное равенство, получаем

90

Здесь т — масса электрона; ge = 2 — статистический вес элек­ трона и иона, обусловленный двумя возможными ориентациями

[7]. Эта формула, полученная индийским физиком Саха, хотя и описывает ионизационное равновесие в термодинамически иде­ альной плазме, весьма полезна для предварительных прикидок и в случае неидеалыюй дебаевской плазмы. Если 1/р<С/, то 1 /Za можно заменить экспонентой ехр(—р/) (см. § 8). Для еще бо­ лее грубых оценок степени ионизации можно пользоваться упро­ щенной формулой Саха:

n2Jna^ . ( 1/ft3) exp (— р/),

где ft— дебройлевская длина волны электрона.

Перейдем теперь к изучению ионизационного равновесия и уравнения состояния частично ионизованной дебаевской плаз­ мы. При этом будем исходить при описании статистической суммы атома Za из модели, рассмотренной в § 8 [см. выражение (8.43)], когда величина пмакс, зависящая от г, определяется функ­

приближение. С одной стороны, предположение о том, что пол­ ная энергия атома £ = еМапс= 0 приводит как бы к эффективно­ му уменьшению потенциала ионизации. С другой стороны, это означает, что атомный электрон с е > (еп)макс является «свобод­ ным» в том смысле, что он равноправен с несвязанными элек­ тронами плазмы, движущимися в дебаевском потенциале. Такое рассмотрение, строго говоря, не является корректным. Однако вследствие слабой чувствительности статистической суммы к Пмакс (о чем говорилось выше) результат вычисления слабо кри­ тичен к этому предположению.

Введем еще одно не совсем корректное предположение: пусть

где dP(r) определяется формулой (8.39). Распределение dP(r) иногда называют р а с п р е д е л е н и е м « б л и ж а й ш е г о со­ седа », поскольку при выводе формулы (8.39) предполагается,

91

что основным возмущающим атом агентом является единствен­ ный квазистатистический ион. Функция (8.39) учитывает корре­

иона водорода; экранированием возмущающего иона при этом

описывает, конечно, и распределение для возмущающего элек­ трического поля £, поскольку

Р (г) dr = Р (Е) dE.

Нетрудно показать, что более правильным является усредне­ ние статистической суммы атома не в виде (9.5). Правильнее писать:

Это следует из простого рассуждения. Запишем свободную энер­

Тогда, поскольку Na и пмакс зависят от г, то каждому числу Nа нужно приписать вес Р(г) или Р(Е). Следовательно,

откуда и следует формула (9.6). Однако, как показывает чис­ ленный анализ, усреднение по формуле (9.5) не вносит большой

ошибки.

Итак, для получения уравнения ионизационного равновесия по-прежнему необходимо пользоваться законом действующих масс в виде (9.1). Считая, что поправка к химическим потенциа­ лам для ионной и электронной подсистем мала вследствие ма­ лости параметра гц.-л, можно предположить, что свободная энер­ гия системы F складывается из двух частей:

92

Тогда, дифференцируя F по соответствующему числу частиц Nj при неизменных объеме и температуре, получим соответствую­ щие выражения для химических потенциалов отдельных компо­ нент. Так, для ионной и электронной компонент плазмы

где n = n.i + ne, а (рг)ид и (щ.)цд описываются выражениями (9.2). Отметим, что статистическая сумма атома теперь уже не яв­ ляется функцией лишь температуры, как это имело место в слу­ чае идеального газа, а зависит от плотности заряженных частиц в плазме из-за взаимодействия ион — атом. В свою очередь, плотность ионов зависит от Za, т. е. задача является самосогла­ сованной. Поэтому при вычислении ц„ необходимо учитывать зависимость Z(p, пе) и аккуратно вычислять соответствующую производную от свободной энергии Fa. Дальнейшая процедура вывода аналогична рассмотренному выше выводу формулы Саха. В результате получается следующее уравнение ионизационного

равновесия:

приближении по малому параметру f/r0 неидеальность заряжен­ ной компоненты плазмы. Показатель экспоненты в формуле (9.12) можно рассматривать как эффективное снижение потен­ циала ионизации атома. Кроме того, формула (9.12), в отличие от формулы Саха, учитывает взаимодействие ион — атом. Пока­ затель экспоненты мал, и можно упростить формулу (9.12), разложив экспоненту в ряд *.

Выше говорилось о том, что для определения степени иони­ зации недостаточно одного уравнения ионизационного равнове­ сия. Необходимо еще уравнение состояния плазмы, которое лег­

где Х = —д In Za/d In пР, 0<>,<1. Первый член в правой части со­ ответствует идеальному газу, второй член — знакомая нам де­ баевская поправка к давлению, а третий член учитывает конеч­ ное число возбужденных связанных состояний. Таким образом, система уравнений (9.12) —(9.13) позволяет при заданных дав­

* Уравнение ионизационного равновесия, обусловленного термической ионизацией плазмы, изменится, если плазма находится в магнитном поле (см. Приложение VI).

93

тывался сдвиг и расщепление атомных термов в плазме. Легко показать, что учет при вычислении Za расщепленных штарковских компонент вместо вырожденных термов приводит к нич­ тожной поправке. Сдвиг уровней, описываемый квадратичным эффектом Штарка, также мал. Можно рассмотреть другие фи­ зические явления, приводящие к смещению атомных уровней. Представим себе, что электрон переходит в результате возбуж­ дения в состояние с достаточно большим главным квантовым числом (6—10). Тогда радиус его боровской орбиты становится значительным. При этом электрон медленно движется между атомами и положение близко к тому, как если бы через газ про­ ходил медленный несвязанный электрон. Присутствие других атомов изменяет энергию рассматриваемого возбужденного со­

атомом водорода, по порядку величины равная корню квадрат­ ному из эффективного сечения рассеяния; а — поляризуемость атома водорода, равная 9/2 атомных единиц. Легко видеть, что в условиях рассматриваемой задачи оба указанных эффекта малы даже по сравнению с квадратичным эффектом Штарка. Далее, учет диполь-дипольного взаимодействия атомов также приводит к ничтожно малой поправке. Оказывается *, что этот эффект сравним с эффектом Штарка лишь тогда, когда 5 -10-18 па1пе2/г~ 1, что заведомо не выполняется в условиях рас­ сматриваемой задачи.

С учетом выражений (9.12) и (9.13) можно записать урав­ нение для расчета плотности электронов при заданных значе­ ниях давления Р и температуры 1/р:

(9.15)

* Это легко может проделать читатель ,в качестве упражнения.

94

Интересно сравнить сдвиг ионизационного равновесия в плаз­ ме, обусловленный взаимодействием, относительно равновесия, определенного по формуле Саха. Физически очевидно, что взаи­ модействие облегчает условия для ионизации, поэтому учет по­ правок к формуле Саха должен приводить к увеличению сте­ пени ионизации. Проиллюстрируем это численным примером в условиях Р = 50 атм и 1/|3=1; 2 и 10 эв. Отметим, что при этом давлении и температуре 1/р = 1 эв параметр г] еще довольно мал (~0,4). Для более высоких температур критерий Кирквуда — Онсагера выполняется с запасом. В табл. 2 сравниваются абсо­ лютные значения плотности электронов, вычисленные соответ­ ственно по формуле (9.15) и по формуле Саха (пе, 1018 см~3).

венно, что неидеальность плазмы, как это следует из расчета [3], сильнее сказывается на ионизационном равновесии плазмы, чем на уравнении состояния. Малая поправка к давлению не так уж важна сама по себе. Изменение же концентрации заряженных частиц заметно влияет на многие свойства плазмы: излуче­ ние, кинетические коэффициенты, в частности на электропровод­ ность.

Как показано в первой главе, при наличии локального тер­ модинамического равновесия можно пользоваться термодина­ мическими функциями для неизотермической плазмы, считая, что в отдельных слоях плазмы температуру с известными ого­ ворками можно считать постоянной.

Разумеется, это замечание относится и к возможности ис­ пользования ионизационных формул типа Саха, в частности формулы (9.15).

Если плазма находится в равновесных условиях, но не яв­ ляется термодинамически равновесной даже в локальном смыс­ ле, то для вывода формул ионизационного равновесия необхо­ димо исследовать «конкуренцию» различных элементарных про­ цессов, т. е. привлекать кинетические соотношения, вытекающие из известного принципа детального равновесия.

95

Для изучения ионизационного равновесия в плазме, о кото­ рой идет речь, необходимо иметь сведения об элементарных про­ цессах ионизации и рекомбинации. Следует рассмотреть процес­ сы фотоионизации и ионизации электронным ударом, рекомби­ нации с излучением и вклад тройных столкновений. Баланс этих процессов, согласно принципу детального равновесия, приводит

кионизационной формуле.

Вравновесных условиях число квантов излучения, поглощаю­ щихся в единицу времени, равно числу испускаемых квантов, так же как и при переходе электронов из связанных дискретных состояний в сплошной спектр. Число актов фотоионизации в еди­ ницу времени равно числу актов радиационной рекомбинации. Ионизация может вызываться также электронным ударом; ре­ комбинация же может осуществляться не только с передачей возбуждения кванту света, но и в трехчастичном процессе, ко­

гда возбуждение передается третьей частице или, как часто говорят, третьему телу.

Число соответствующих процессов в единицу времени и в еди­ нице объема можно записать так:

Здесь Qij и Sj{— вероятности соответствующих процессов; пг- — плотность i-кратно ионизованных атомов, для / = 0 имеем По— плотность нейтральной компоненты плазмы. Приравнивая скорости прямых и обратных процессов согласно принципу де­ тального равновесия, получим соответствующие ионизационные формулы.

Если плазма достаточно разрежена (т. е. плотность плазмы достаточно мала), то можно пренебречь механизмом тройной рекомбинации. Если же температура плазмы такова, что про­ цессы фотоионизации превалируют над процессом ударной иони­ зации, то формула, описывающая ионизационное равновесие в плазме, имеет простой вид:

Эффективные сечения процессов фотоионизации и радиационной рекомбинации достаточно хорошо известны в настоящее время (см., например, [6]). Вычисление степени ионизации в стацио­ нарной, но термодинамически неравновесной плазме, а также сравнение с экспериментом содержится в работах [1].

Обсудим некоторые вопросы, связанные с выводом формул (9.12) и (9.13). При выводе этих формул неявно предполага­ лось, что по состояниям непрерывного спектра атомного элек­

96

трона можно проинтегрировать от нуля * до бесконечности, вы­ делив тем самым поступательное движение, аналогично выра­ жению (8.28). Это, конечно, некорректная операция. Более последовательным было бы разбиение статистической суммы Za на три части:

где Z\ соответствует положительным значениям полной энер­ гии Е системы, Z2 — области О^ Е > —у, a Z3 — изменению энер­ гии в пределах: —у ^ Е ^ —е2/2а0= 1 н, где е2/г0< у < 1/Р- Если объем атома конечен, то

При этом по импульсам следует интегрировать не от нуля, а от

точки поворота Е = 0, т. е. от значения po=V 2/п|ы| до беско­ нечности. Тогда в результате интегрирования получаем

Если дебаевский параметр мал, т. е. л ^ Е т0 можно ограни­ читься несколькими первыми членами разложения (9.22). Кста­

ти, Паули вычислил функцию Х(л) и в другом предельном слу­ чае, когда л ^ К и получил выражение

Нетрудно показать, что Z2 можно представить в следующем окончательном виде

* Правда, от «специфического нуля».

Г л а в а п я т а я

ВНУТРИПЛАЗМЕННОЕ

ПОЛЕ

§10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРИПЛАЗМЕННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Вдостаточно малых объемах плазмы V<1^, где 1Э— харак­

терный радиус экранирования, на расстояниях г < /э распреде­ ление заряженных частиц системы не однородно. Поэтому, хотя плазма в целом и электрсшейтральна, на достаточно малых рас­ стояниях проявляется действие электрического поля, что суще­ ственно сказывается на многих свойствах плазмы (на кинетиче­ ских коэффициентах, термодинамических свойствах, излучении).

Если рассмотреть дебаевскую плазму, то легко представить масштаб этого внутриплазменного поля, которое иногда назы­ вают микрополем в плазме. Пусть, например, плотность заря­ женных частиц ««ПО18 см,-3. Тогда среднее расстояние между

частицами г0^ 6 ПО-7 см, а напряженность поля порядка е/го~ »4 в/см. Соответствующая напряженность внутриатомного поля по порядку величины составляет е/а~~ 105 в/см. Следовательно,

в достаточно разреженной плазме характерное внутриплазменное поле мало по сравнению с атомным, и микрополе можно рассматривать как возмущение. На достаточно малых расстоя­ ниях a0<^ir<^ilD микрополе является чисто кулоновским. Кар­ тина усложняется при наличии экранирования. Электростатиче­

распределению микрополя в плазме. Если рассматривать много­

4* 99