книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

При рассмотрении системы кулоновских частиц наибольший вклад среди неприводимых диаграмм дают так называемые кольцевые диаграммы, которые соответствуют взаимодействию каждой частицы лишь с двумя соседними (т. е. в каждой вер­ шине графика сходятся две линии). Примеры кольцевых диа­ грамм третьего, четвертого и пятого порядков представлены на

мого числом способов построения кольца, неприводимые коль­ цевые интегралы имеют вид:

Как было показано во второй главе, f(r) представляет со­ бой не что иное, как бинарную функцию корреляции. Тогда, если плазма слабо неидеальна, т. е. амплитуда рассеяния ре2 мала по сравнению со средним расстоянием между частицами, бинарную функцию корреляции можно приближенно записать

в виде

Отметим, что линейный по р член обращается в нуль вследст­

вие требования квазинейтральности плазмы.

В первом приближении можно учесть поправку к давлению идеального газа, считая амплитуду рассеяния очень малой, т. е. формально устремляя / = ре2 к нулюТогда для кольцевого груп­

60

пового интеграла рк>0, соответствующего диаграмме с (7с+1) вершинами, имеем выражение

Второй член в правой части представляет собой дебаевскую по­ правку к давлению идеального газа.

Учет следующих членов разложения по малому параметру приводит к дальнейшим поправкам по плотности п к термоди­ намическим функциям системы.

§ 7. О ДИАГРАММНОМ МЕТОДЕ В ТЕРМОДИНАМИКЕ ПЛАЗМЫ. АНАЛОГИЯ С ДИАГРАММАМИ ФЕЙНМАНА

Метод термодинамических, или температурных, функций Грина, к обсуждению которого переходим, является одним из

ных вариантах интенсивно разрабатывался как советскими, так и зарубежными теоретиками. Подмеченная в 1955 г. японским физиком Мацубара [5] аналогия между матрицей рассеяния S в квантовой электродинамике и матрицей плотности р в кван­ товой статистике сыграла большую роль в бурном развитии статистической физики бозе- и ферми-систем. Указанная анало­ гия позволила перенести основные элементы математического аппарата, хорошо разработанного в теории поля, для описания статистического ансамбля многих частиц. В частности, в кван­

61

товой статистике многих частиц (и в задаче о термодинамике плазмы, в том числе) удалось построить чрезвычайно изящную

При квантовомеханическом исследовании систем, состоящих из очень большого числа одинаковых, произвольно взаимодейст­ вующих частиц, удобным способом описания системы является м е т о д в т о р и ч н о г о к в а н т о в а н 'и я. Смысл его заклю­ чается в том, что для описания свойств системы используется волновая функция, зависящая не от координат каждой частицы системы, а характеризуемая числами заполнения, т. е- числом частиц, находящихся в данном состоянии (N\, N2, ...), а именно волновой функцией фдг,, лг2••• (основные формулы см. в при­ ложении) .

Метод температурных функций Грина дает способ исследо­ вания, который при конечных температурах не приводит к боль­ шим трудностям, чем для систем в основном состоянии, т. е. при нулевой температуре. Отметим также, что этот метод при­ меним к исследованию как равновесных, так и неравновесных задач квантовой статистики.

Поскольку функции Грина имеют, как увидим ниже, смысл функций распространения, они содержат детальную информа­ цию о динамическом поведении системы, а так как они, с дру­ гой стороны, представляют собой средние значения по большому каноническому ансамблю, то содержат и термодинамическую

операторы в отличие от соответствующих операторов в представ­

лении Шредингера зависят от времени. Оператор ф+(г, t), дей­ ствуя слева направо на какое-либо состояние системы, добав­ ляет одну частицу к этому состоянию в пространственно-вре-

/ Ч

менной точке (г, t). Оператор уничтожения ф(г, t), сопряжен­ ный оператору рождения, действуя направо, удаляет частицу из точки (г, t). Оказывается, что все макроскопические операторы, представляющие физический интерес, могут быть выражены

через произведение операторов ф+ и ф **. Например, плотность частиц в точке (г, t)

* Одинаковых опять-таки из соображений простоты.

** Разумеется, произведение операторов есть также оператор. При этом соответствующие матрицы перемножаются по обычным законам линейной алгебры.

62

Поскольку акт удаления и последующего немедленного восста­ новления частицы в точке (г, t) служит мерой плотности частиц в этой точке, оператор полного числа частиц можно предста­ вить в виде

N (t) ■-=f dnj>+ (г, /) -ф (г, t).

Аналогично полная энергия системы частиц, имеющих мас­ су т, взаимодействие которых описывается мгновенным двух­ частичным потенциалом и(г), выражается в представлении вто­ ричного квантования следующим образом:

При этом первый член в правой части описывает одночастич­ ный оператор кинетической энергии системы, а второй — опера­ тор двухчастичного взаимодействия — представляет потенци­ альную энергию системы. Если система частиц находится во

внешнем поле, то одночастичный оператор, как будет показано

/ч /ч

ниже, приобретает другой вид (равно как и операторы -ф и ф+).

Операторы ф и подчиняются правилам антикоммутации для системы ферми-частиц (см. приложение). Эти перестановочные соотношения для операторов определяют свойства симметрии волновой функции системы. В частности, из антикоммутаци-

онных соотношений следует, что ф2(г, t)=Q. Это и есть выра­ жение принципа Паули, запрещающего нахождение в одной и той же пространственно-временной точке двух идентичных фермионов.

Поскольку нас будет интересовать поведение системы мно­ гих кулоновских частиц при конечной температуре, то для си­ стемы, находящейся в термодинамическом равновесии, сред­

нее значение любого оператора А, характеризующего систему, может быть получено усреднением по большому каноническому ансамблю:

63

ниям системы с любым возможным числом частиц. Более ком­ пактно среднее значение (7.3) может быть представлено в виде

S p [e x p { -p (tf-^ A /)} A ]

Splexp { - Р ( « - р Л 0 } ]

где символ Sp характеризует след оператора. Термодинамическое состояние системы определяется пара­

метрами р и р. Основному состоянию системы соответствует нулевая температура, т. е. р_1 = 0.

Необходимо вспомнить теперь некоторые общие положения статистической физики, чтобы понять, в каких термодинамиче­ ских переменных удобнее описывать в дальнейшем систему мно­

Тогда плотность п необходимо также выразить Е(р), и для по­

ложения формально можно считать малым параметром, отве­ чает плотности частиц в системе с выключенным взаимодейст­ вием, т. е. плотности идеального газа.

Описанные выше подходы к рассмотрению термодинамиче­ ских функций соответствуют двум альтернативным описаниям системы: каноническому ансамблю Гиббса и большому кано­ ническому ансамблю. Поэтому и статистическая сумма по со­ стояниям системы записывается по-разному в этих двух слу­ чаях. А именно:

64

Здесь данное состояние системы определяется не только набо­ ром квантовых чисел к, но и числом частиц, которое является переменной величиной.

Более компактно статистические суммы ZG и ZN можно записать через след соответствующих операторов *:

жет убедиться читатель с помощью непосредственного вычис­

ления, мацубаровская матрица плотности 5(Р) удовлетворяет уравнению

что соответствует случаю бесконечно большой температуры и, следовательно, отсутствию взаимодействия между частицами. При этом

Нг (т) = ехр [ - (рЯ - Я0) г] ЯI ехр [(рЯ - Я0) т] (7.14)

/* ч

соответствует оператору Н{ в представлении взаимодействия. Отметим, что каноническое представление (7.14) отлично от

* В соответствии с общими правилами под ехр (—(ЗЯ) понимают опера­

тор, собственные функции которого совпадают с собственными функциями

/ч

гамильтониана Я, а собственные значения есть ехр (—Р£„).

обычного гейзенберговского представления операторов через

шредингеровский оператор (в данном случае H i ) тем, что вместо

/Ч

полного гамильтониана Н в «обкладки» входит лишь оператор

где операторы рождения и уничтожения частиц также записаны в представлении взаимодействия, т. е.

ф+ (х) = exp [— (\iN — Нп)т] ф* (г) exp [(p/V — Н0) т];

ф (х) = ехр [— (pJV — Н0) т] ф (г) ехр [(рЛ/ — Н0) т].

Поскольку среднее от матрицы S(p) по ансамблю невзаимодей­ ствующих частиц

определяет статистическую сумму системы взаимодействующих кулоновских частиц, то для термодинамического потенциала Й можно написать выражение вида:

стиц.

Очень существенно, что введенное представление взаимодей­ ствия позволяет вычислять средние величины по ансамблю не­ взаимодействующих частиц. Таким образом, если бы удалось

выразить величину < 5 (р )> о в виде ряда по параметру взаи­ модействия е2(точнее, по отношению амплитуды рассеяния к среднему расстоянию между частицами), то, во всяком слу­ чае, в рамках теории возмущений можно было бы решить за­ дачу о вычислении термодинамического потенциала, если, ко­ нечно, при этом не появится расходимость в отдельных членах ряда теории возмущений. Как будет показано ниже, расходи­ мость действительно имеет место в случае системы кулоновских частиц.

66

Возникает вопрос, зачем нужно строить способ описания системы по теории возмущений, если уже давно существует хорошо известная термодинамическая теория возмущений (см., например, работу [2]). Дело в том, что вычисление каждой следующей поправки к термодинамическим функциям по стан­ дартной теории возмущений связано с громадными математиче­ скими трудностями. Построение же теории возмущений мацубаровским методом чрезвычайно просто. Введение диа­ граммного метода, аналогичного методу графиков Фейнмана в квантовой электродинамике, позволяет выделить наиболее су­ щественные члены ряда теории возмущений и провести выбо­ рочное суммирование ряда диаграмм, отвечающих разным по­ рядкам по параметру взаимодействия.

Задача состоит в том, чтобы построить ряд теории возмущений

по е2 для величины < S(f})> 0. Для этого удобно ввести одноча­ стичную и двухчастичную функции Грина в представлении взаи­ модействия:

где индекс 0 означает по-прежнему усреднение по ансамблю не­ взаимодействующих частиц.

з* 67

6

Представим | H\(x)dx в виде

где б-функции выражают законы сохранения энергии и импуль­ са. Воспользуемся известным приемом введения внешнего па­ раметра /., меняющегося в пределах от нуля до единицы, так что

Продифференцируем отношение Zx/ Z ^ = <5(|3) > 0 по парамет­

Следовательно, можно установить простую связь между тер­ модинамическим потенциалом и двухчастичной функцией Грина G2:

ег

В импульсном представлении, в котором обычно удобнее рабо­ тать,

Отметим, что интегрирование по «координатам» и «импуль­ сам» записано условно, так как в технике температурных функ-

68

нейшем будет записано интегрирование по х и по р, то это озна­ чает, что в обычном смысле следует интегрировать по вектор­ ным составляющим этих величин. Что же касается четвертой компоненты импульса, то ввиду конечного интервала изменения т(0, р) по р4 проводится не интегрирование, а суммирование по

а остановимся на физическом смысле введенных формально од­ ночастичной и двухчастичной функций Грина. Одночастичная функция Грина G (1, Г) описывает распространение возмуще­ ния, при котором одна частица добавляется или удаляется из многочастичной равновесной системы. Например, когда оператор рождения, действуя первым, вызывает возмущение, до­ бавляя частицу в пространственно-временной точке (iv, т4-). Затем происходит распространение возмущения, которое про­ должается до «момента времени» п , когда частица удаляется в точке (гь t\), в результате чего возмущение снимается и систе­ ма возвращается в равновесное состояние. При Ti<Ti' первым

действует оператор ф. Распространение возмущения, которое

возмущения, вызываемые удалением или добавлением двух ча­ стиц, производимыми в различной последовательности. Напри­

то двухчастичная функция Грина описывает возмущение и воз­ вращение к равновесию в результате добавления и удаления одной частицы. Разумеется, столь непосредственный четкий фи­ зический смысл имеют так называемые временные функции Грина. Поэтому не случайно ставим слова «позже» и «рань­ ше» в кавычки, когда говорим о температурных функциях Грина, для которых мерилом «времени» является обратная температура |3 (точнее, ip).

Перейдем к графическому изображению отдельных членов ряда теории возмущений по константе взаимодействия е2. Вообще метод графиков можно представить себе просто: в виде рисунков изображают различные физические процессы, которые происходят с частицами. Распространение, например, кванта света или плазмона можно представить пунктирной линией, а распространение свободной частицы можно изо­

69