книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

ский потенциал. В связи с этим можно предположить, что ана­ логичные члены будут являться основными и для диаграмм более высокого порядка. Тогда основной член для диаграммы с п добавленными к кольцевой линиями взаимодействия можно описать с помощью диаграммы

Следовательно, можно сделать вывод, что не будет сделано большой ошибки, если вклад в термодинамический потенциал от кольцевых диаграмм с любым числом добавленных линий взаимодействия свести к суммированию бесконечной последо-

И®

Нетрудно заметить, что правая часть этого выражения яв­ ляется итерационным решением интегрального уравнения Бло­ ха для двух частиц:

G(§1. Р; §„+!> P„+i) =G (5l Рь 5n+1, P„+ i)-

Полагая в функции (15.57) §n+i = 5i, Р«-ы= Pi—Р и сравнивая результат с выражением (15.56), получаем

6>— Г ( - W - Г

Решение уравнения (15.58) можно представить в виде

G (г, Р; г', Р') = Ц ^ (г') exp [ - (Р - р') £ п] (г), (15.60) I"}

181

где Е п и ¥„(/■)— соответственно собственные значения и соб­ ственные функции уравнения Шредингера

(15.60), приходим к следующему окончательному выражению для AQ:

ные функции и собственные значения для свободного движе­ ния. Выражение (15.61) написано для многокомпонентной си­ стемы, содержащей М сортов частиц, и является уже знако­ мым из предыдущих глав (см. формулу Бэта — Уленбека).

Спектр уровней Еп состоит из дискретного спектра отрица­ тельных значений и непрерывного спектра положительных энергий. Для первых оставим обозначение Еп, вторые переобозначим Ек. Тогда

является лишь численное решение. Однако в изучаемой обла­

Р, (г) = л / 2т* (Е — йм (г) —

182

Сумму по к можно заменить интегралом, введя плотность со­ стояний:

dpi (х) dE dx.

Используя волновые функции (15.62), получаем

Рассмотрим первый интеграл в квадратных скобках. По­ скольку [см. выражения (15.62)] dplldE = m*lpi, то, учитывая правила нормировки квазиклассических волновых функций, получаем

С2 j [dpt (x)ldE] dx = (c2/2) [dx/p, (x)] = 1.

2т*

При этом, как обычно, квадрат синуса заменяем его средним значением 1/2. Тогда получаем

183

Интегрируя и подставляя результат в выражение (15.63), по­ лучаем

При интегрировании по E необходимо учесть условие дви­ жения в классически доступной области: Е —йаь(г)> 0. Следо­ вательно, в случае ион-ионного взаимодействия

— pAQf/V = — 4 \ f n р5/зnanb f dl f r2uab (r) dr X

гичное выражение, а электроп-иопное взаимодействие дает сле­ дующий вклад в AQ„:

- рДСС/1' = 4 \ rn Р папеj dl f r2uae (r) dr х

о b

X {j exp^_ V E ~ “ae(r) dE — 1

1 oo

= — 2n$nane j* dl j y= r exp [— Puae (г)] X

оb '

где Г[3/2; —fW7nf.(r)] — неполная гамма-функция. Следователь­ но, суммарный вклад в AQ определяется выражением

Формула (15.64) совпадает с известным классическим ре­ зультатом, если положить потенциал йаъ{г) равным дебаевско­ му потенциалу. При этом под знаком интеграла будет стоять классическая бинарная функция корреляции (см. § 4):

КаЬ (г) = ехр {— феае„/г) ехр (—хг)),

где х — обратная дебаевская длина. В формуле (15.65) вместо этого классического выражения (при котором в случае г-Х)

184

бинарной функции корреляции для разноименно заряженных частиц в рассматриваемом приближении.

Отрицательные собственные значения Еп и собственные функции ЧМО, необходимые для определения вклада в тер­ модинамический потенциал от дискретного спектра, можно найти, решая уравнение Шредингера с потенциалом (15.52) численно. Для дебаевского потенциала такое вычисление про­ делано в работе [1]. Вклад в термодинамический потенциал от верхних уровней можно учесть квазиклассически, как в § 14.

приближенно. Если отношение амплитуды рассеяния к дебаев­

совпадающую с результатом работы [7].

Рассмотренный здесь достаточно подробно метод эффектив­ ного лестничного суммирования сложных диаграмм приводит к

185

поправкам к термодинамическому потенциалу дебаевской плазмы. Этого следовало ожидать, поскольку сам метод проде­ монстрирован в области, где характерные безразмерные пара­ метры плазмы малы. Тем не менее приведенные расчеты пока­

ванного лестничного суммирования в области, где взаимодейст­ вие является сильным. Более того, необходимо еще выяснить пределы применимости этого способа суммирования сложных диаграмм, что можно проделать, если известен более общий алгоритм суммирования диаграмм всех порядков (объединяю­ щий более широкое топологическое разнообразие диаграмм, чем рассмотренные выше). В этом смысле имеются конкрет­ ные результаты и рекомендации в классической теории элек­ тронного газа. Не будем здесь рассматривать имеющиеся не­ сколько подходов к суммированию довольно широкого класса майеровских диаграмм, сославшись на хорошую работу [10], где рассмотрены основные из этих способов.

Нам представляется, что распространение этих подходов в классике на квантовые диаграммы в сочетании с численными расчетами на ЭВМ является перспективным. По этой причи­ не и рассмотрено здесь большое количество формул, которые,

§ 16. КВАНТОВЫЕ ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ И УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ПЛАЗМЫ

Второй вириальный коэффициент полностью ионизованной высокотемпературной плазмы вычислен в работе [2] на основе диаграммной техники. Здесь будет получено соответствующее выражение для термодинамического потенциала системы с по­ мощью бинарной функции корреляции. Пусть термодинамиче­ ские условия таковы, что движение частиц следует описывать квантовомеханически, а статистика частиц является классиче­ ской. Иными словами, будем предполагать отсутствие вырож­ дения:

где %е— длина волны электронов; г0— среднее расстояние меж­ ду частицами. При этом для ионов неравенство (16.1) выпол­ няется с большим запасом. Предположим, кроме того, что

186

Напомним, что неравенство (16.2) позволяет вычислять инте­ ресующие нас величины по теории возмущений. При классиче­ ском описании бинарной функции корреляции разноименных по знаку зарядов возникают трудности, связанные с расходи­ мостью этой функции на малых расстояниях. Эта расходимость обусловлена «термодинамически выгодным» падением разно­ именных зарядов друг на друга. Если не вводить модели с силами отталкивания малого радиуса действия, то положение может быть исправлено лишь с помощью учета квантовых эф­

фектов.

В случае однородной системы можно рассматривать корре­ ляционные функции как функции от относительной координаты г двух частиц, причем бинарная функция корреляции может быть представлена в виде суммы двух членов

где Ккв (г) можно назвать к в а н т о в о й к о р р е л я ц и о н н о й фу нк ц и е й .

Отметим, что квантовая природа частиц проявляется лишь

(З^е-С/в). На столь малых расстояниях экранирование несуще­ ственно, и Кип (г) можно сравнительно легко вычислить, ис­ пользуя известное решение чисто кулоновской задачи двух тел.

падению частицы на центр в задаче двух тел *, поэтому учет квантовомеханической корреляции частиц на малых расстоя­ ниях должен устранить расходимость бинарной функции К (г).

тел с кулоновским взаимодействием. Выделяя движение цент­ ра масс (плоская волна) и интегрируя по суммарному импуль-

* Это обстоятельство является прямым следствием принципа неопреде­ ленностей.

187

су, получаем

где фк (г) описывает движение частицы с приведенной массой т* — те в поле неподвижного кулоновского центра; ек — энер­ гия этого относительного движения. Функции фк (г) для непре­ рывного спектра имеют вид [6]

то связанными состояниями можно пренебречь (для одноимен­ ных зарядов они вообще отсутствуют). Поскольку k велико, выражение (16.7) можно разложить в ряд и ограничиться пер­ вым приближением по к~1, считая kr произвольным. Тогда

(16.9)

Так как с необходимой точностью

(16.10)

188

где

ле (16.11) компенсирует расходимость, характерную для клас­

В случае тождественных частиц (электронов) корреляционная функция должна учитывать обменные эффекты, присущие только квантовомеханической системе. Это означает, что волно­ вые функции фк(гь г2), входящие в формулу (16.5), должны быть антисимметричными, как и для всякой системы фермио­ нов. Поэтому при суммировании по спиновым переменным сле­

189