книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

к квазиклассическому пределу, начиная с уровня £n„>i легко получить сходящееся выражение

Разложение по а с указанной выше точностью приводит к сле­ дующему выражению, не зависящему от По:

Аналогично вычисляется вклад от квазиклассической части взаимодействия еа. Вклад от основного состояния атома Е0, ко­ торое в первом приближении можно считать кулоновским, уже учтен в й 0- Вклад в уравнение состояния от сдвига основного уровня можно получить, пользуясь построенной нами четырех­ мерной теорией возмущений [3]. При этом рассмотренное выше адиабатическое приближение уже не является правильным, а взаимодействие не является потенциальным, поскольку и зави­ сит ОТ <74-

Построение термодинамической теории возмущений

Нетрудно видеть, что Ай можно выразить через функцию Г, определенную формулой (13.14). Эту функцию иногда называют

150

Пусть полное взаимодействие описывается функцией U(p), ко­ торую запишем в виде суммы двух членов: потенциального ку­

+

яс

Рис. 13. Диаграммы лестничного типа.

щения, зависящего, вообще говоря, от четырех компонент им­ пульсов, т. е.

Эффективное взаимодействие Г также представим в виде

причем Г0 изображается «лестницей» с кулоновским потенциа­ лом и (рис. 13). Подставляя функцию (13.34) в уравнение (13.32) и пренебрегая членами второго порядка малости, полу­ чаем уравнение для Ti

Г1 (Р. Р', g) = (- ^ - р J и (Р— Р>) Ф (Ри g) Гх (ръ р \ g) dPl +

В первом приближении учтем второй член в правой части этого уравнения, т. е.

'р я*

Легко видеть, что Г{0) не зависит от р\. Решая уравнение

(13.25) методом итераций, убеждаемся, что Г, также не зави­ сит от р'. Выражение (13.36) для Г,(1) с Ли в виде петли можно

151

изобразить графически (рис. 14, а). На этом графике заштрихо­ ванный квадрат соответствует Го. Во втором приближении Ti изображается графиком б и т . д., так что диаграмма в соответ­ ствует решению уравнения (13.35) для Гь Рассматривая реше­ ние (13.35) для Ди вида г, д и т. д., получим для Ti график типа е.

Рис. 14. К построению четырехмерной термодинамической тео­ рии возмущений.

Аналогичный график ж получается для собственно энергетиче­ ской части.

Пусть

Тогда уравнение для %имеет вид уравнения Шредингера с пра­ вой частью:

так что решение для %выражается через ф-функции относитель­ ного движения двух частиц. Записывая в качестве Аи цепочку вместо петли, выполняя суммирование по четвертым компонен­

152

ший вклад в AQ дает член с n = k. Выделяя вклад основного со­

энергетической части, вставленной в G„ и Gl0, причем вместо петли по-прежнему записывается цепочка. В результате тако­

го потенциала рассматриваемой системы с точностью до чле­

Последний член в правой части обусловлен сдвигом основного состояния, и имеются реальные физические условия, когда этот член является основной поправкой к дебаевскому члену [вто­ рой член в правой части выражения (13.41)].

153

Г л а в а с е д ь м а я

ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ

ФУНКЦИИ СЛАБО

НЕИДЕАЛЬНОИ ПЛАЗМЫ

§ 14. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НИЗКОТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ

Перейдем к корректному учету возбужденных состояний атомов в термодинамических функциях низкотемпературной плазмы. Напомним, что если пренебречь взаимодействием ча­ стиц в плазме, то термодинамический потенциал системы Q выражается через параметры идеального газа совсем просто:

где Zt — заряд иона i-го сорта. При Z= 1 учитываются и ней­ тральные атомы.

Формула (14.1) представляет собой первый член разложе­ ния термодинамического потенциала системы по степеням |. В следующем приближении необходимо к выражению (14.1) добавить дебаевский член x3D/ 12я, где

Кроме того, последний множитель в формуле (14.2) нужно

заменить на сумму 2 ехр(р/т ) по всем возбужденным связан-

т

ным состояниям i-го иона. Такая операция не корректна из-за расходимости этой статистической суммы, если не ограничи­ вать число членов суммы. В четвертой главе показано, что если ограничиться суммированием лишь по таким состояниям,

155

в которых размеры иона (или атома) меньше среднего рас­ стояния между частицами, то вклад в термодинамический по­ тенциал от возбужденных связанных состояний пропорциона­ лен | 3/2 и по порядку величины равен вкладу дебаевского члена.

Однако можно показать, что правильный учет взаимодейст­ вия иона, имеющего заряд Zj, с электронами непрерывного спектра приводит к выражению, компенсирующему расходи­ мость статистической суммы по связанным состояниям иона с зарядом Z;—1 [7]. Поэтому после выделения дебаевского чле­ на остаются выражения, пропорциональные £21п§, I2 и более высоким степеням £.

Рассмотрим взаимодействие иона с зарядом Zj и электро­ на. В работе [2] показано, что правильное значение члена по­

мости необходимо на больших расстояниях от иона его куло­ новский потенциал заменить на дебаевский (Zje/r)exp (—xDr),

что и было сделано в § 13.

Сумма в первом члене выражения (14.5) берется по всем состояниям как непрерывного, так и дискретного спектра. Вклад от самого большого слагаемого в этой сумме, соответ­

для энергий первых (низших) уровней нужно брать экспери­ ментальные или приближенно вычисленные значения, но при высоких энергиях возбуждения энергетический спектр является Еодородоподобным, т. е. уровни п2 кратно вырождены, а их энергия

где п — главное квантовое число.

ниям непрерывного спектра можно заменить интегралом, вос­ пользовавшись для плотности уровней квазиклассическим вы­ ражением dn = dpdr/ (2я)3. При больших по оставшаяся сумма пропорциональна п$, но интегральный член содержит компен­

сирующее слагаемое. При вычислении удобно дважды про­ дифференцировать по р выражение, стоящее в фигурных скобках формулы (14.5), после чего можно положить п0=оо и вычислить отдельно сумму и интеграл. В результате получим

где С= 0,5772 — постоянная Эйлера, а сумма берется по всем связанным состояниям и представляет собой сходящееся вы­ ражение. Отметим, что этот прием, использованный А. И. Ларкиным [2], аналогичен приему Планка, рассмотренному в чет­ вертой главе.

Вклад в термодинамический потенциал от взаимодействия одноименных зарядов вычисляется по классической формуле для второго вириального коэффициента:

Так как ионы отталкиваются, расходимости на малых расстоя­ ниях не возникает, а расходимость на больших расстояниях устраняется описанным выше способом. При вычислении инте­ грала в формуле (14.8), так же как и при вычислении инте­ грального члена в формуле (14.7), существенны расстояния порядка амплитуды рассеяния /= pZ fZ,-e2. На этих расстояниях взаимодействие даже между сложными ионами можно считать кулоновским. В результате получим

если рассматривать взаимодействие ионов разных сортов (/, /). Член, описывающий взаимодействие одноименных зарядов, естественно, содержит еще множитель 1/2. При вычислении дебаевского члена нужно учесть, что экранировка осуществ­ ляется не свободными заряженными частицами, а частицами, находящимися в поле других частиц. Для корректного вычис­ ления этой поправки можно воспользоваться диаграммной тех­ никой, изложенной в § 13. Для этого при учете вклада от

157

кольцевых диаграмм нужно записать не свободные гриновские функции G0, а эффективные одночастичные функции Грина, учитывающие наличие поля, т. е. учесть собственно энергети­ ческую часть вида

\

ч

1

/

/

где жирным пунктиром обозначается дебаевская цепочка из петель за вычетом кулоновского потенциала (светлый пунк­ тир). Вычисление читатель может сделать в качестве упраж­ нения; укажем, что при этом получается следующий вклад в термодинамический потенциал системы:

- f ^ i'L Z te % ) ® z U 4 i ) .

2.i i

Окончательное выражение для термодинамического потен­ циала частично ионизованной дебаевской плазмы с учетом чле­ нов порядка £2 имеет вид

Если дебаевская плазма содержит одноэлектронные ионы ти­ па Нец, то сдвиг основного состояния таких ионов, как это бы­ ло показано в § 13, приводит к поправке к AQ, описываемой

По отношению к | е этот член порядка | 5/2 по плотности (так как lz -\~ lelz\ kd~ 1 1/2)-

158

= р£о^>1. Первое из этих неравенств более сильное, поэтому

мерно равно 10-1. Таким образом, когда число одноэлектрон­ ных ионов сравнимо с числом электронов, член в AQ, обуслов­ ленный сдвигом уровня, более существен, чем остальные по­ правки к дебаевскому члену. Поэтому вместо выражения (14.10) можно написать:

(14.12)

Это выражение следует дополнить условием химического рав­ новесия

причем / < 1; / — потенциал ионизации. Функция f достаточно громоздка и не будем выписывать ее здесь [11]. В случае водородной плазмы (Z=l)

/ ~ ^ H D+ y ( e 2PxD)2,

где

х2, = 8ле2Рде.

159