книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

полученное выражение по / от 1 до оо. Тогда слева получится статистическая сумма для большого канонического ансамбля,

а справа — разложение функции exp |( ^00 zlVbi}. Отсюда термо­ динамический потенциал получаем в виде:

Суммирование диаграмм для кулоновской системы частиц

Для системы заряженных частиц отдельные групповые ин­ тегралы расходятся, поэтому для получения конечных резуль­ татов необходимо, вообще говоря, просуммировать весь ряд (15.25), что в общем случае неосуществимо. Возможно, однако, из каждого группового интеграла 6; ( /= 1, 2, ...) выделить определенные частные интегралы, число которых бесконечно, и вычислить их сумму в явном виде, получив при этом конечное выражение.

Для осуществления этой идеи полезны следующие сообра­ жения: поскольку ряд теории возмущений представляет собой разложение по константе связи е2, то члены каждого частного ряда, выделенного из общего ряда, должны располагаться по возрастающим степеням е2. При этом наибольший вклад в тер­ модинамический потенциал Q дают частные ряды, члены кото­ рых содержат наинизшие степени е2. Диаграммный метод су­ щественно упрощает процедуру построения таких частных ря­ дов. Из каждой групповой суммы можно выделить диаграмму с наименьшим числом линий взаимодействия и просуммиро­ вать все такие диаграммы.

Рассмотрим графики для групповых сумм Si и выделим в каждой из них диаграммы с наименьшим числом линий взаи­ модействия, что соответствует выделению частных групповых

170

теграле 62 член, линейный по е2. Этот член в электрически ней­ тральной среде обращается в нуль. Отметим, что условие квази­

одна из вертикальных линий имеет лишь один узел), также не дает вклада в Q. По этой причине в групповой сумме Бц к диа­

(15.28)

Множитель (—1)' в формуле (15.27) учитывает знакопеременность ряда теории возмущений, а (/—1) ! — число способов построения кольца (число различных перестановок вертикаль­ ных линий); коэффициент 1/2 возникает вследствие необходи­ мости интегрировать по всем ориентациям кольца, так что в любой точке кольца правое и левое направления эквивалент­ ны. Подставляя формулу (15.27) в выражение (15.26), получаем

171

Подставляя G\l)в формулу (15.29), легко убедиться, что полу­

чающиеся интегралы, соответствующие кольцевым диаграм­ мам, являются мультипликативными интегралами типа сверток и просто вычисляются с помощью преобразования Фурье. В ре­ зультате, согласно формуле (15.25), получим вклад кольцевых диаграмм в термодинамический потенциал системы:

К=—со

где

П(*>=2 4я/Л>2 22Я(к>/р2.

1 < а < М

Это выражение написано для многокомпонентной плазмы, где М — число компонент; а характеризует сорт частиц.

Вклад диаграмм более высокого порядка в термодинамический потенциал

Чтобы определить вклад в Q диаграмм высшего порядка, в следующем приближении выделим из ряда теории возмуще­

и т. д. Ненулевой вклад в SaK с четырьмя волнистыми линиями дают диаграммы, представленные на рис. 18.

График а можно, очевидно, рассматривать как две простей­ шие кольцевые диаграммы, соединенные общей вертикальной линией. В /-частичной групповой сумме следует учитывать диа­

172

тикальной линией. Правое кольцо содержит i вертикальных ли­ ний, а левое— (/—/) линий, причем г = 2, 3, ..., I—1. Общее число линий взаимодействия равно ( /+ 1).

Диаграмма на рис. 18, б строится из соответствующей коль­ цевой диаграммы с помощью добавления одной волнистой ли­ нии. Однако линии взаимодействия расположены в ней иначе, чем в диаграмме й. Такого вида диаграммы появляются во

Рис. 19. Два типа диаграмм, описывающих вклад в /-частичную групповую сумму.

всех групповых суммах начиная со второй. Для описания /-ча­ стичной групповой суммы необходимы графики типа представ­ ленных на рис. 19, б. Функция распространения определяется суммированием таких графиков

На этой диаграмме дополнительной линией взаимодействия соединены первая и г-я вертикальные линии. Пользуясь выра­ жениями, соответствующими графикам рис. 19, а и б, можно получить групповые интегралы. Такое вычисление является простым, но достаточно громоздким [4]. В результате вклад графика рис. 19, а в групповую сумму 5; равен

(-!)/+■ (j_i )i

2-2 G}'+V , Р; q'z, Р')>

а соответствующий групповой интеграл есть

Выпишем окончательный результат для вклада системы двойных кольцевых диаграмм, соответствующих рис. 19, а

173

(АИ"), и для модифицированных кольцевых диаграмм, изобра­ женных на рис. 19, б (АО"'):

вых в первую очередь, более подробно. При выводе выраже­ ний, полученных выше, было использовано пока единственное ограничение: требование малости параметра вырождения. Что же касается остальных характерных параметров плазмы (//го и ft/f), то формально в указанных соотношениях их ма­ лость не предполагалась. В дальнейшем, однако, ограничимся исследованием случая, когда эти параметры малы.

В формулах (15.33) аналитически не удается выполнить суммирование по к и интегрирование по р. Однако если ввести величину v= (рр2/2т)ч=, то с помощью непосредственного

174

Для простоты будем считать, что массы всех ионов одина­ ковы и равны 1П{. Это эквивалентно рассмотрению плазмы в случае, когда все ионы образованы из атомов одного сорта. Тогда

Параметры %еуц и йех(>характеризуют отношение дебройлевской длины волны электрона к дебаевской длине, которое в рассматриваемых условиях мало. Тогда в выражении, полу­ ченном выше, можно провести разложение по этим парамет­ рам. Если выполнить это с точностью до членов второго поряд­ ка включительно, то

175

сделанных допущений вклад от кольцевых диаграмм в термо­ динамический потенциал системы. Нетрудно видеть, что послед­ нее из этих выражений менее существенно, поэтому основной вклад в Д£У дает дебаевский член. Оценим порядок членов, стоящих в фигурных скобках формулы (15.37). Если для двух­

^0,1, а (9/10) (хА ) 2[1—х е/ х ) 2] —0,007. Таким образом, в тер­ модинамике плазмы с плотностью вплоть до Ю20 можно пре­ небречь квантовыми поправками, если ограничиться учетом кольцевых диаграмм.

Отметим, что использование с самого начала больцмановской статистики приводит к неправильной поправке обменного характера. Если корректно учесть эту поправку, то

Из этого выражения видно, что интеграл по г логарифмически расходится на малых расстояниях. С таким положением мы уже сталкивались ранее. Физически это обусловлено тем, что рассматриваемый класс диаграмм учитывает в первую очередь коллективные эффекты, связанные с малыми передачами им­ пульса, вклад же от индивидуального поведения частиц как раз на малых расстояниях описывается неправильно. Наиболее

176

простой способ учета парных столкновений состоит в ограниче­ нии полученного интеграла на расстояниях порядка кулонов­ ской амплитуды рассеяния /0ь ~ е аег>|3. Это не внесет большой ошибки, поскольку зависимость от параметра ограничения ло­ гарифмическая, т. е. достаточно слабая. Тогда

— PQ"7V = —(я/3) V е\ е\ РэпапьIn (xfab). 1<а ,Ь<М

Напомним, что когда вклад квантовых эффектов при рассея­ нии частиц является существенным, т. е. когда ^ ^ \ аь, ограни­ чение рассматриваемого интеграла на малых расстояниях определяется дебройлевской длиной волны.

Модифицированное лестничное приближение

При рассмотрении вклада в термодинамический потенциал системы диаграмм, типа представленных на рис. 16, видно, что возникают трудности, связанные с расходимостью выражений на малых расстояниях. Учитывая логарифмический характер расходимости, эти трудности были' преодолены с помощью ог­ раничения интеграла на разумном нижнем пределе. При по­ пытке же рассмотрения сумм подобных диаграмм более высо­ кого порядка, т. е. при учете графиков с большим числом вол­ нистых линий, возникают более сильные расходимости, для устранения которых указанный способ ограничения неприго­ ден. Оказывается, однако, что при суммировании таких диа­ грамм для термодинамического потенциала получается конеч­ ное выражение. Введем величину

177

Используя ранее описанные правила подсчета диаграмм, найдем, что диаграмме (15.43) соответствует величина

где

U (Р) = I Ф( I Ч I . 6. Р) ехР (ipq) dq.

соответствующая выражению (15.29), и эффективная двухча­ стичная диаграмма (15.43) дают эквивалентные вклады в тер­ модинамический потенциал.

Попытаемся теперь заменить диаграмму, изображенную на

178

т. е. слева мультипликативная величина по переменным Pi и р2,

пликативное выражение и

жение для последнего при больших и малых импульсах можно получить просто. Так, при малых р

Наоборот, при больших импульсах частиц (малые расстояния)

Для любых расстояний эффективный потенциал можно запи­

q j P ^ '+ ^ p0’)

Ранее было показано, что именно «нулевые» члены рас­ смотренных порядков дают основной вклад в термодинамиче-

179