книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

независимых атомов конечного размера. Разместим их в гр.уппы по Ni к одинаковых атомов, что можно сделать g способами:

Пусть Ni *— число атомов, обладающих кинетической энер­ гией Е к и энергией внутреннего движения WK. При этом второй индекс характеризует набор квантовых чисел, относящихся к внутренним степеням свободы атомов. Возьмем ЛГц атомов и вы­ делим из них один атом. Тогда число состояний, которое может

поэтому количество возможных состоянии, которое может за­ нять группа атомов Nи, равно

При этом неявно предполагается, что V/un — целое число, что достаточно точно, поскольку V/ttn^l. Если это тем не менее не нравится читателю, то всегда можно записать факториал в виде Г-функции:

бодным объем V—Л'пИц, а число ячеек, доступных ему в фазо­ вом пространстве, равно ( V■—Nnun)y2 - Для второго атома из

80

Далее аналогично рассмотрим группы атомов, относящихся к уровням Е3, Д4, ... Число возможных размещений N\ атомов (т. е. атомов, отвечающих уровню W\) вследствие независимо­ сти атомов в рассматриваемой системе можно записать в виде произведения:

(8. 12)

Теперь перейдем к рассмотрению группы атомов N2, относя­ щихся к уровню W2. Для первого из них соответствующий объем равен (V—N\U\2), где «12 — объем защитной сферы при столк­ новении атомов группы N\ с атомами группы Л/2. Соответствую­ щий объем для второй частицы, очевидно, равен (V—N\U\ 2 —«22)-

Можно теперь повторить все рассуждения, относящиеся к выводу выражения для р\. Тогда

Дальнейший подсчет для других уровней Wi не может вызвать затруднений. Общее число возможных состояний есть произве­ дение

которое следует еще домножить на величину N\/ll(NiK)\ и раз-

1К

делить на N\, поскольку атомы тождественны, а два атома не могут находиться в одной ячейке. Тогда

81

Следовательно,

\“kk

i

Таким образом получено полное число возможностей, соответ­ ствующих распределению заданного числа частиц N по груп­

пам NiK.

Нетрудно видеть, что если положить uiK = 0, то

5^3*0=ПК*П(NtKV (8.17)

что соответствует записи ZN в виде (8.2).

Учет конечного радиуса взаимодействия при выводе выра­

Вычислим теперь А = ]п$°. Тогда для Ак имеем:

=(In 1/ , — l) + ( j V , - ^ - ) l „ ( l - - ^ 5 - ) .

разлагая в ряд In VK, получим приближенное выражение l

Тогда

Первый член в этом выражении нас не интересует, так как он характеризует статистическую сумму, связанную с 3й 0, т. е. соответствует случаю нулевого радиуса взаимодействия. Таким образом, экспоненциальный множитель для числа возможных состояний изменился благрдаря введению конечного размера атома на величину

Эта запись требует некоторого пояснения. Если N)^>NK («одноквантовость состояния» системы), то дополнительный к обыч­ ному распределению Гиббса экспоненциальный множитель в выражении (8.23) приближенно можно записать в виде

Отметим, что статистическая сумма (8.25) представляет со­ бой сходящееся конечное выражение. Так, если суммировать начиная с некоторого достаточно большого п= Пь то

У 1 п2 exp (— an2) - j1п2 ехр (— ап2) dn =• - у Г (1/2) (1/а)’/г.

В табл. 1 видно, насколько существенным является ограничение статистической суммы, обусловленное конечным радиусом взаи­ модействия.

8.3

Т а б л и ц а 1

Зависимость фактора G от п

Конечно, приведенное рассмотрение не может претендовать на точное вычисление статистической суммы, поскольку из фи­ зических соображений ясно, что ограничение статистической сум­ мы должно быть связано не только с геометрией, но и, напри­ мер, с температурой системы. Однако такое рассмотрение четко показывает, что даже геометрический фактор (имеющий тот же смысл, что и в уравнении Ван-дер-Ваальса) говорит о несовер­ шенстве записи статистической суммы в виде (8.2) или (8.5). Как это видно из табл. 1, основное состояние атома практиче­ ски не меняется с введением конечного радиуса взаимодейст­ вия. Мало сказывается это и на нескольких первых членах ста­ тистической суммы. Однако для достаточно высоких возбужден­ ных состояний действие фактора G настолько сильное, что вклад этих состояний практически равен нулю. Возможность выделения статистической суммы ZN по внутренним степеням свободы (уровням атома) в идеальной системе связана с тем, что по поступательным степеням свободы можно выполнить простое интегрирование. Статистическая сумма системы, состоя­ щей из N атомов,

Если система идеальна, то удобно в качестве отсчета энергии

Z/v = 2 £пехр(— 8пр).

П

Вычисление статистических весов gn можно упростить, если пользоваться схемой Рассела — Саундерса, согласно которой уровни, отличающиеся только ориентацией спина и орбиталь-

84

дебаевском потенциале нетрудно оценить. Действительно, если рассматривать достаточно большие квантовые числа п, то дви­ жение электрона на далеких орбитах можно считать квазиклассическим. Пусть электрон движется в центральносимметричном поле и (г). Тогда число состояний электрона, приходящееся на объем фазового пространства [г, r + dr, 0<р(г) ^ р 0(г)], где Ро(г)— импульс в точке поворота:

дискретных уровней водородоподобного атома в такой дебаев­ ской плазме должно составить тысячи. Эта величина неправдо­ подобна и противоречит эксперименту. На самом деле число членов статистической суммы по дискретным состояниям в та­ кой плазме оказывается существенно меньшим. Следовательно, существует механизм, приводящий к более радикальному огра­ ничению статистической суммы атома в плазме.

Наиболее простая мысль, которая при этом возникает, за­ ключается в том, что атом не может занимать большего объема, чем это ему позволено межчастичным расстоянием. Если рас­ смотреть ту же дебаевскую плазму, что и в предыдущем при­ мере, т. е. плотность заряженных частиц в плазме порядка 1018 см-3, то легко видеть, что максимальное квантовое число, на котором следует ограничить суммирование,

Это уже разумное значение, не противоречащее эксперименту.

86

Отметим, кстати, что такой простой подход, который, конеч­ но, не дает точного значения пма1;с, оправдан в связи с тем, что статистическая сумма слабо чувствительна к точному значению Пмакс, так как каждый член экспоненциально мал в случае 1/р<С/ и взять 12 или 14 членов не столь уже важно. Важно лишь, чтобы это было разумное число, а число членов суммы было бы не слишком большим. В разное время и разными ав­ торами предлагались различные модификации описанного выше способа ограничения статистической суммы. Все они по сути дела похожи на результат (8.34), и авторы спорили лишь о чис­ ленном коэффициенте. Например, Унзольд предложил выра­ жение

Однако такой подход не является принципиально правильным: можно сильно ошибиться, если температура плазмы достаточно велика и больцмановская заселенность возбужденных уровней не мала. Физически очевидно, что пмаКс обязано зависеть от со­ стояния возмущающей атом среды, а следовательно, от плотно­ сти заряженных частиц и температуры плазмы.

Разумный подход к ограничению статистической суммы ато­ мов был предложен Инглисом и Теллером в 1939 г. [2]. Если рассматривать водородоподобный атом в поле иона, то вследст­ вие взаимодействия собственного дипольного момента атома с квазистатическим зарядом происходит штарковское расщепле ние уровней, которое по порядку величины равно

того что возмущающий ион движется, происходит уширение штарковских компонент, что эффективно приводит к конечной ширине уровня п, обусловленной действием виутриплазменного микрополя. Разумеется, столь простая запись выражения для штарковской ширины справедлива лишь для достаточно разре­ женной плазмы, когда г ^ а о и действие возмущающего иона можно рассматривать как действие однородного поля. Кроме того, выражение (8.35) справедливо лишь для водорода и водо­ родоподобных атомов, т. е. для атомов, обладающих собствен­

то можно считать с известными оговорками, что дискретный спектр переходит при соответствующем п в непрерывный. Во всяком случае, в спектроскопии плазмы этот эффект прояв­ ляется достаточно четко: начиная с некоторого значения пмакс

87

линейчатый спектр исчезает и переходит в континуум. Прирав­ нивая выражения (8.35) и (8.36), получаем

П _ п 2^1Ь

‘‘макс '»

Более аккуратный расчет, выполненный Инглисом и Теллером, позволяет написать формулу [4]:

стояние атома, до которого следует распространить суммирова­ ние в статистической сумме,. является, конечно, лишь правдопо­ добным предположением.

Одним из возможных подходов к определению пмакс является следующее рассуждение. Будем считать, что возбужденные уровни с данным главным квантовым числом п полноправно входят в статистическую сумму атома ZN до тех пор, пока дан­ ный уровень п не исчезает вследствие ионизации под действием возмущающего внутриплазменного поля. Пусть электрическое микрополе, обусловленное действием многих кулоновских ча­ стиц, образует векторную сумму:

где х= (г®/Зр)-1/2— обратная дебаевская длина. При этом счи­

таем, что возмущающее поле создается системой заэкранирован­ ных по Дебаю зарядов (ионов). Для поля Е можно написать функцию распределения, определяющую вероятность воздейст­ вия на атом данной величины < Е > в зависимости от плотности заряженной компоненты и температуры плазмы. Вопрос о рас­ пределении микрополей в плазме кратко обсудим в следующей главе. Пока примем на веру, что в дебаевской плазме не слиш­ ком низкой плотности п вероятность найти возмущающую ча­ стицу (ион) на расстоянии г с хорошей точностью описывается выражением [3]

мом.

При расчете эффекта Штарка в сильном электрическом поле определяется напряженность критического поля Еа, при которой наступает ионизация атома, находящегося в состоянии п. В ре­ зультате расчета порога ионизации получается следующая фор­ мула [2]:

Е0 Ze,/(16n4aj;) .

88

Сопоставление с квантовомеханическим расчетом и с экспери­ ментом показывает, что с достаточной степенью точности можно написать значение Е0, вдвое отличающееся от классического:

С учетом экранирования возмущающего иона поле, действую­ щее на атом *:

где г — расстояние между ядром атома и возмущающим ионом. Приравнивая, выражения (8.40) и (8.41), получаем квантовое число для ограничения статистической суммы:

Для оценки пма,;с можно подставить вместо г в формуле (8.42) среднее расстояние между ионами г0.

Статистическая сумма атома зависит от г, и необходимо про­ водить соответствующее усреднение выражения

статистической суммы атома ZN. Выражение (8.5) удобно раз­ бить на несколько частей. Если 1/(5<С/ (плазма является низко­ температурной), то достаточно учесть несколько первых членов суммы, например до «точки перевала» [см. рассуждения после

денные состояния заметно заселены, большой вклад в статисти­ ческую сумму дают состояния Еп ^1. Тогда

Zn — 2 + exp (— р/) V gn ~ 2 + (пмакс— 1) ехр (— р/), (8.44)

П

Если нужна несколько более аккуратная оценка, то можно написать следующее приближенное равенство:

где значение N2 очевидно.

* Рассмотрим для определенности водород (Z—1).

89