книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

бразить сплошной линией. Две невзаимодействующие частицы изображают так:

Если они взаимодействуют, например, обмениваясь плазмоном, то это соответствует рисунку:

Если обмен плазмоном двухкратный, то:

Возможно взаимодействие и такого типа:

------- ,------- У

6

--------i—

Это означает, что частица (электрон) испустила квант (плаз­ мой), который породил еще две исчезающие частицы, а плаз­ мой поглотился частицей 2. Аналогично можно рассмотреть и более сложные процессы. При этом блоки графиков между частицами / и 2 могут быть очень сложными. Оказывается, что такие графики имеют не только иллюстративный, но и коли­ чественный смысл. Например, график

р-Ч

Р

описывает амплитуду перехода электрона с импульсом р в ко­ нечное состояние с импульсом р—q и плазмоном с импульсом q. Полная амплитуда перехода и является функцией Грина. Для установления количественных -соотношений пишут графи­ ческие уравнения и ставят в соответствие простейшему гра­ фику аналитическое выражение.

Рассмотрим простой пример — установим связь амплитуды рассеяния двух частиц с потенциалом взаимодействия и. Пусть Г — блок эффективного взаимодействия. Изобразим эту вели­ чину блоком диаграмм:

70

где пунктирные л'инии символизируют потенциал взаимодейст­ вия и, а сплошные — одночастичные свободные функции Грина. Если записать символически

Отметим, что это уравнение представляет собой символическую запись известного из квантовой механики уравнения для ам­ плитуды рассеяния:

и (Pi — Р2 ) / (pj , Ра) dp[

/ (Pi, Ра) = и (pi — р2)

(еР, — V + ‘V) (2я)3

Сравнивая Г и f, можно установить строгую связь графиче­ ских и аналитических выражений.

Итак, сплошной линией будем изображать свободную одно­

частиц G2=G 0G0 изображается двумя сплошными параллельны­ ми линиями. Реальная двухчастичная функция Грина в так на­

* Это выражение для Go примем пока на веру.

71

зываемом лестничном приближении имеет вид

1_____

2 *7

Вернемся к выражению (7.26) и попробуем вычислить хотя бы первую поправку к термодинамическому потенциалу по кон­ станте взаимодействия. Как видно из этого выражения, графи­ ки, описывающие ДО, должны быть замкнутыми, что следует также из законов сохранения. Физически это можно понять еще и так: система находится в термодинамическом равновесии, т. е. должна после различных возмущений возвращаться в исходное состояние. Представим ДО в виде:

которая характеризует эффективный потенциал взаимодействия. Если этого не сделать, то ряд в фигурной скобке выражения (7.33) будет соответствовать прямому разложению подынте­ грального выражения (7.26) в ряде по е2. Действительно, графи­ ки а и г дают вклад, пропорциональный е2 (графики первого порядка). Диаграммы б являются графиками второго порядка

0-2-0 + Г с>5-0 + о-ю = ••

е е е L i L

Если последовательно вычислить вклад от графиков б, в и т. д., то можно убедиться в том, что эти вклады расходятся при ма­

72

лых q. Природа расходимости, очевидно, совершенно та же, что и в случае расходимости второго вириального коэффициента на больших расстояниях при кулоновском законе парного взаимо­ действия частиц.

Поэтому необходимо использовать жирный пунктир, т. е. эффективное взаимодействие [см. цепочку (7.34)]. Графическое уравнение для цепочки имеет вид

и представляет ряд (7.34), в чем легко убедиться методом по­ следовательных приближений. Тогда аналитическое выражение уравнения (7.35) есть

При этом петля (7.37) зависит, вообще говоря, от четвертой компоненты д4.

Отметим, что введение цепочки перестроило ряд теории воз­ мущений. Так, график б, например, с включением жирного пунк­

плазмы, то графики г и б, которые описывают квантовомехани­ ческие эффекты, следует опустить (они просто малы при/i—>-0). Тогда при q->0

т. е. эффективное взаимодействие, введенное в виде цепочки, представляет собой просто дебаевский потенциал. Жирный пунктир следует вставлять в графики k-то порядка лишь вме­ сто одного кулоновского пунктира. Это физически отражает тот факт, что кулоновское взаимодействие отнюдь нельзя подменять эффективным дебаевским потенциалом. Ранее уже отмечалось, что экранирование не приводит к замене системы кулоновских

73

частиц системой заэкранированных зарядов с короткодействием. Сейчас мы убедились в этом еще раз.

Рассмотрим вклад в Ай графика б:

Наблюдается аналогия с классическими диаграммами Майера. Продолжая вычисление АЙ, получаем

1

1

ДЙ = 2 (2я)3 р f Т " f ^ КП°Ыч)2+ (П0ич)3+ (П0ид)' +

Получена, таким образом, уже знакомая дебаевская поправка к термодинамическому потенциалу однокомпонентной плазмы. От­ метим, что ДЙ выражено через |, а не через реальную плотность частиц п. С этим связан и коэффициент ’/з вместо 2/3 в прежних выражениях, а также и противоположный знак дебаевской по­ правки.

Легко можно убедиться в том, что учет графика в приводит в ДЙ к следующей за дебаевской логарифмической поправке, причем под логарифмом стоит малая величина е2Рх— отношение кулоновской амплитуды рассеяния f к дебаевской длине lD=%~1.

74

уже будет стоять вместо /х отношение й/Д>. Если дебройлевская длина волны X не мала по сравнению с амплитудой рассеяния, то движение частиц следует описывать квантовомеханически. Если же ft становится сравнимой со средним межчастичным расстоянием г0, необходимо учитывать вырождение с привлече­ нием статистики Ферми.

Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда плот­ ность плазмы достаточно велика, чтобы уравнение состояния слабо отличалось от идеального. Это случай вырожденной плаз­ мы, притом с малым параметром т)кв (см. первую главу). При увеличении fte вырождение становится существенным прежде всего для электронов. Рассмотрим случай, когда электроны уже вырождены, а длина волны для ионов еще достаточно мала, чтобы можно было пренебречь их вырождением. Тогда поправ­ ка к термодинамическому потенциалу идеальной плазмы AQ, возникающая в результате взаимодействия зарядов, состоит в рассматриваемом случае из двух членов, которые можно на­ звать условно дебаевским и обменным.

Дебаевский член обусловлен взаимодействием зарядов на больших расстояниях (больших по сравнению с амплитудой рассеяния). Как и в классической кулоновской системе, дебаев­

где /э уже определяется квантовыми эффектами экранирования. При этом

(7.43)

В случае полностью вырожденного электронного газа /э совпа­ дает с длиной экранирования Ферми lF (см. первую главу).

Обменную поправку к термодинамическому потенциалу си­ стемы можно получить, усредняя выражение для энергии элек­ тростатического взаимодействия электронов между собой, при­ чем усреднять можно по состояниям идеального газа, посколь­ ку рассматриваются малые поправки к термодинамическим функциям:

где Ио — гамильтониан системы свободных частиц; wq — потен-

циальная энергия кулоновского взаимодействия; а^.и ар — опе­ раторы рождения и уничтожения частиц в импульсном прост­

75

скую. Напротив, когда ^<Сг0, основной вклад в Ай вносит де­ баевская поправка. Обменная поправка при этом уменьшается и по порядку величины равна е2%г~3.Таким образом, наряду с

уменьшением энергии плазмы, связанной с дальнодействующим характером взаимодействия (дебаевская поправка), в кванто­ вой плазме возникает дополнительное уменьшение энергии об­ менного типа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Веденов А. А. В сб.: Вопросы теории плазмы. Под ред. М. А. Леоптовича.' Вып. 1. М., Г'осатомиздат, 1963, с. 68.

2.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Изд. 2. М., «Нау­

ка», 1964.

3. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1952.

4.Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. Пер. с англ.

М., «Мир», 1968.

5.Matsubara Т. Progr. Theor. Phys., 1955, v. 14, p. 351.

6.Mayer J. E. J. Chem. Phys., 1950, v. 18, p. 1426.

7.Montroll E., Ward J. Phys. Fluids, 1958, v. 1, p. 55.

Г л а в а ч е т в е р т а я

НЕЙТРАЛЬНАЯ КОМПОНЕНТА

ПЛАЗМЫ

§ 8. ОГРАНИЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СУММЫ

До сих пор рассматривалась заряженная компонента частич­ но ионизованной плазмы. Перейдем к обсуждению нейтральной компоненты. В одной из предыдущих глав подчеркивалось, что такое деление плазмы на нейтральную и заряженную подсисте­ мы довольно условно и не всегда правомерно. В некоторых ус­ ловиях, которые будут оговорены строго, такое рассмотрение возможно. Например, в предельном случае идеальной газовой плазмы подсистемы ионов, электронов и нейтральных атомов статистически независимы и термодинамические функции стро­ го экстенсивны.

В одной из дальнейших глав обсудим последовательный под­ ход к термодинамике плазмы, а именно: частично ионизованную плазму будем рассматривать как систему многих кулоновских частиц. Связанные состояния в такой плазме (т. е. атомы и мо­ лекулы) должны возникать естественным образом. Однако та­ кой подход не всегда возможен из-за больших математических трудностей. Поэтому имеют смысл разумные модели, дающие приближенное решение многочастичной задачи. Эти модели, как правило, не являются строгими, часто они спорны, но с их по­ мощью можно понять физику явлений. Модель есть модель, и она не всегда приводит к правильному количественному резуль­ тату. Однако качественный результат в сложной задаче помимо самостоятельного интереса часто служит отправным пунктом для ее строгого решения.

Выделение в плазме отдельных компонент, нейтральной и заряженной, при наличии сильного взаимодействия является, конечно, грубой моделью. Но когда задача содержит малый па­ раметр, такая модель дает понятные физически и удовлетвори­ тельные количественные результаты. Если рассматривать пол­ ностью идеальную плазму, то никаких трудностей не возникает и модели не нужны: термодинамические функции вычисляются с заданной точностью при p- 1<cl. Если же взаимодействие су­ щественно, хотя и мало, то рассмотрение нейтральной и заря­ женной компонент с известными оговорками вполне разумно. В слабо неидеальной частично ионизованной плазме нейтраль­ ная компонента уже не является просто «непорченой» нейтраль­ ным газом (если речь идет о газовой плазме), она «испорчена»

77

наличием заряженной компоненты. Статистическая сумма ато­ мов, например, искажается внутригтлазменными микрополями. Таким образом, свободная энергия нейтральной компоненты за­ висит от характеристик заряженной компоненты, например от плотности электронов и ионов.

где суммирование ведется по отдельным компонентам, так что каждый член суммы описывает парциальное давление отдель­ ной компоненты. Физически уравнение (8.1) следует из того обстоятельства, что статистическая сумма идеального газа яв­ ляется лишь функцией температуры (%7’=1/р), а свободная энергия системы аддитивно складывается из свободных энер­ гий отдельных компонент, поскольку они являются статистиче­ ски независимыми подсистемами.

При подсчете статистической суммы атомов в микроскопиче­ ском подходе к задаче о вычислении термодинамических функ­ ций делают некоторые допущения, которые отнюдь не всегда оправданы. Рассуждают обычно так [4]: пусть плазма полностью идеальна и частично ионизована, тогда при не слишком боль­ ших температурах (т. е. 1/|3<С/, где / — потенциал ионизации) плазма уже достаточно ионизована, статистическая сумма по связанным состояниям может быть вычислена грубо и к боль­ шой точности при ее вычислении не следует стремиться. Дейст­ вительно, если температура мала, то подавляющий вклад в статистическую сумму вносит основное состояние атома, а ос­ тальные члены экспоненциально малы. Более того, уровни ато­ мов, если не говорить об очень сложных атомах, устроены так, что энергия первого возбужденного состояния атома сравнима с потенциалом ионизации. Поэтому атомы либо ионизованы, либо все находятся в основном состоянии. Это рассуждение демонст­ рирует правдоподобный путь, дающий возможность уклониться от трудностей, связанных с расходимостью статистической сум­ мы атомов в полностью идеальной системе. Действительно, как быть, если температура не очень мала по сравнению с потен­ циалом ионизации атомов? Тогда возбужденные состояния за­ метно заселены по Больцману и их следует учитывать.

Рассмотрим, например, статистическую сумму атома водо­ рода (считаем при этом, что часть статистической суммы, отве­ чающая поступательному движению атомов, уже выделена в ви­ де множителя). Тогда статистическая сумма атома по связан­ ным состояниям, которую обозначим Zn, имеет вид

78

где ga — статистический вес, учитывающий вырождение уровней в атоме водорода:

энергию от основного состояния атома, то статистическая сумма

основным, а каждый из последующих членов мал по сравнению

1/Р=1 эв, то начиная с главного квантового числа п= У" 13,59 — =^4 члены ряда возрастают. Таким образом, с т а т и с т и ч е ­ с к а я с у м м а п р е д с т а в л я е т с о б о й а с и м п т о т и ч е ­ с к и й р я д и д л я и з о л и р о в а н н о г о а т о м а б е с к о ­

Следовательно, неудовлетворительной является теория. Нель­ зя принципиально считать атомы изолированными, необходимо вводить взаимодействие между атомами, которое приводило бы к конечному результату при вычислении статистической суммы. Поэтому, строго говоря, приближение полностью идеальной си­ стемы не имеет физического смысла.

Легко видеть, что конечность выражения для ZN, т. е. огра­ ничение статистической суммы каким-то максимальным значе­ нием главного квантового числа пмакс, является вместе с тем и введением конечного размера атома, поскольку п = оо соответст­

Очень изящно, на основе чисто комбинаторных соображений Э. Ферми показал, что введение конечного размера атомов при­ водит к экспоненциальному ограничению статистической сум­ мы ZN. Приведем этот вывод [8]. Пусть имеется система из N

79