книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

где Ni — число частиц данного сорта в объеме V. Зная свобод­ ную энергию F, т. е. термодинамическую функцию системы в переменных Т, V, N, легко получить любое термодинамическое соотношение. Так, для уравнения состояния имеем [8]

и Cv, которые читатель может всегда получить, рассматривая это как легкое упражнение.

Поправка к свободной энергии, учитывающая кулоновское взаимодействие, была впервые, правда несколько иным спосо­ бом, получена в теории электролитов Дебаем и Хюккелем и

тельно в целях экономии времени и места. В дальнейшем ис­ пользуем получение дебаевской поправки разными методами в качестве «пробного камня» для каждого нового подхода в тер­ модинамике плазмы.

* Дебаевская поправка имеет смысл, если она мала по срав­ нению с основным членом термодинамической функции, т. е. если Fd= —х3/(12яр) <СЕИД. Эта поправка мала при малой плот­ ности заряженных частиц п, которую формально можно рас­ сматривать как малый параметр задачи. Если это так, то не является ли дебаевская поправка обычной поправкой, вводимой в термодинамике разреженного газа через вириальное разложе­ ние? Не определяется ли она в уравнении состояния просто вторым вириальным коэффициентом В(Р) в разложении для давления по степеням п?

Для системы частиц с кулоновским взаимодействием это не так. Общее выражение для В(р) в случае центральных сил имеет вид [6]

20

кает соблазнительная мысль: нельзя ли рассмотреть вириальное разложение не для кулоновского, а для дебаевского потенциала ф(г) ~ (е/г)ехр(—кг), который является коротко­ действующим? Иными словами, нельзя ли рассматривать деба­ евский потенциал как потенциал, описывающий парное взаимо­ действие экранированных частиц в плазме? Если это так, то можно попробовать подставить ф(г) в выражение (3.10) и вы­ числить интеграл. Для простоты продемонстрируем это вычисле­ ние в случае однокомпонентной плазмы (система электронов) с плотностью n = N/V. Рассмотрим поправку к давлению, обус­ ловленную вторым вириальным коэффициентом:

где х = фА 4яе2пр. Сделаем в подынтегральном выражении инте­ грала I замену переменных: y.r= t. Тогда

необходимо учесть члены, включая квадратичные по п. Даль­ нейшее разложение нельзя делать, так как второй вириальный коэффициент не может вносить в АРее члены более высокой степени по плотности. Можно легко убедиться с помощью про­ стого вычисления, что члены порядка а-2 при сложении выра­

21

При этом можно написать

РАРее = ----—(ярз)1/г е3/!4 , -----— (е2Р)3 п21п (е2|3х) +

части характеризует дебаевскую поправку к давлению.

Обратим внимание на то обстоятельство, что буквенное вы­ ражение для дебаевской поправки при таком рассмотрении по­ лучается правильным, но численный коэффициент не верен [сравним с выражением (3.7)]. Это доказывает сделанное в § 2 утверждение, что дебаевский потенциал нельзя трактовать как потенциал парного взаимодействия экранированных заряжен­ ных частиц, а плазму нельзя рассматривать как эффективную систему квазичастиц (ион+ электронное облако) с короткодей­ ствующими силами взаимодействия.

Однако такое простое вычисление дает для следующих чле­ нов разложения по плотности (логарифмического и квадратиче­ ского) правильные выражения не только буквенные, но и с пра­ вильными численными коэффициентами. Это будет показано в дальнейшем при более строгом подходе к вычислению поправок к дебаевскому члену. Можно сделать вывод, что дебаевский член не описывается вторым вириальным коэффициентом ни для ку­ лоновского, ни для эффективного парного взаимодействия за­ экранированных частиц в плазме. Учет кулоновского взаимо­ действия в рамках теории Дебая — Хюккеля отражает коллек­ тивное взаимодействие многих кулоновских частиц в плазме в 'приближении самосогласованного поля.

§ 4. СВЯЗЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С КОРРЕЛЯЦИОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ В ПЛАЗМЕ

Рассмотрим классическую систему заряженных частиц, для простоты электронов *, в состоянии термодинамического равно­ весия при температуре Т в большом объеме V. Установим сна­ чала функциональную связь между свободной энергией системы и бинарной функцией корреляции Kz{r\, г2).

Как известно, функция корреляции s частиц в классике оп­ ределяется как интеграл от распределения Гиббса по неполно­ му объему фазового пространства. Так, для системы N частиц

* Каждый раз, когда мы говорим о системе электронов, предполагаем устойчивость системы, т. е. рассматриваем систему электронов на фоне рав* иомерно распределенного положительного заряда.

22

В частности, бинарная корреляционная функция определяет ве­ роятность найти частицу 2 в точке г2, если частица 1 находится в точке Гь

Функции корреляции нормированы, как обычно, на конфи­ гурационный интеграл системы ZN. В случае центральных сил и в отсутствие внешнего поля /С2(Гь г2) зависит лишь от разности координат двух частиц:

Введем внешний термодинамический параметр системы А, который умножается на константу взаимодействия и меняется от 0 до 1. Это очень удобный прием, часто используемый в тер­ модинамике. Случай 1=1 отвечает реальному взаимодействию. При А=0 взаимодействие отсутствует и система является тер­ модинамически идеальной. Тогда вместо выражения (4.2) имеем

а взаимодействие описывается функцией мг-к=АИг к- Для про­ стоты выкладок положим объем систему У = 1, а затем восста­ новим его в окончательном результате из размерных соображе­ ний. Продифференцируем выражение для свободной энергии классической системы

Последнее равенство достаточно очевидно, так как при вычисле­ нии интеграла в числителе можно выделить парное взаимодействне, а две частицы можно выбрать из числа N частиц

(N—l ) N / 2 ^ N2/2 способами.

23

Интегрируя выражение (4.6) по К в пределах от 0 до 1 и вспоминая о конечном объеме системы, получим

О

где г — относительная координата двух частиц. Обобщение на случай многокомпонентной системы не представляет труда. В результате получим

расписать в явном виде лишь в простых случаях. Во многих задачах удобнее пользоваться выражением для бинарной функ­ ции корреляции, о характере которой можно судить, в частно­ сти, анализируя экспериментальные данные. Зная свободную энергию F, можно написать и функциональное выражение для давления, т. е. уравнение состояния. Можно предложить сделать это в качестве упражнения читателю после обсуждения выра­ жения для бинарной функции корреляции Kz{П, г2).

Уравнение состояния можно выразить через K z (t i, г2), исходя и из других соображений. Используем хорошо известную в ме­ ханике теорему вириала, согласно которой

гих частиц); символ < > означает усреднение по каноническо­ му ансамблю.

Теорема вириала определяет отношение средней кинетиче­ ской энергии механической системы к средней потенциальной энергии системы. Эта теорема справедлива как в квантовой, так и в классической механике. Она широко используется, на­ пример, в молекулярной физике при определении межмолеку­ лярных сил и для получения уравнения состояния. Приведем вывод этой важной теоремы.

Рассмотрим одномерное движение классической частицы под действием силы f,:

ib)x = mtxt.

Умножим это уравнение движения на Х{/2:

24

При усреднении этого уравнения по достаточно большому про­ межутку времени т последний член исчезает. Действительно,

\» .2

=[(*М =т — (*М =о] = °>

поскольку Хг±г остается ограниченной величиной (если частица заключена в конечной области пространства), тогда как т мо­ жет быть неограниченно большим. Таким образом,

консервативных сил эту теорему можно записать через среднее значение потенциальной энергии. Если потенциальная энергия системы является однородной функцией координат, т. е.

и (агь аг2, . . ., а » ) = сски (гъ г2, . . . ,ГлД,

где а — произвольное действительное число, а также производ­ ные этой функции непрерывны, то, согласно известной теореме Эйлера:

В этом и состоит утверждение теоремы вириала в классиче­ ской механике. В случае гармонического осциллятора, напри­ мер, для и = — (1/2)хх2 (к = 2) имеем < ы > = < £ кин> . Это единственный в природе случай, когда энергия равномерно рас­

25

где

из теоремы вириала следует:

< 3 ( и а — 2ыг) > = < Е КИН> .

Обобщение этой теоремы на квантовомеханические системы следует, вообще говоря, из принципа соответствия. Ввиду важ­ ности теоремы вириала приведем ее вывод в квантовом случае. Запишем уравнение Шредингера для волновой функции 4я и ее сопряженной величины 4я* для системы N частиц

Подставим сюда величину (и—Е )^* из второго уравнения:

Первый член можно преобразовать к более удобному виду, пользуясь соотношением

26

Если система ограничена, то член в квадратных скобках при подстановке пределов обращается в нуль. Таким образом

Левый член в этом выражении представляет собой математиче­ ское ожидание для кинетической энергии системы. Справа записан квантовомеханический вириал системы. Если потенци­ ал и электростатического происхождения, то

что является выражением квантовомеханической теоремы вириала. Следовательно, теперь можно написать выражение (4.9).

Тогда, применяя эту теорему к системе N взаимодействую­ щих частиц, находящихся в объеме V, имеем

1к

и вириала сил давления на частицы системы со стороны стенок сосуда, ограничивающего систему:

27

Видно, что для сил парного взаимодействия

причем первый член в правой части описывает давление иде­ альной однокомпонентной системы. Второй член учитывает неидеальность системы. Обобщение на случай многокомпонентной системы тривиально. Отметим, что в приведенном выше выводе нигде не отражена специфика кулоновского взаимодействия между частицами. Поэтому уравнение состояния (4.16) имеет в известной степени общий характер, пока не конкретизирован вид бинарной функции корреляции.

Корреляционная функция Кг(т) для малых расстояний меж­ ду частйцами задается распределением Больцмана в поле с по­

Однако, если подставить это выражение в формулу (4.7) или (4.16), чтобы найти поправки на неидеальность плазмы к сво­ бодной энергии или давлению, то получим бесконечно большие величины, что, конечно, бессмысленно. Поскольку для идеаль­ ного газа Кг(г) = 1, то расходимость, обусловленная функцией /(г)=/С 2(г)—1, описывающей взаимодействие, связана с ее чрезвычайно медленным убыванием на больших расстояниях в

случае кулоновской системы частиц:

г

Природа этой расходимости совершенно та же, что и для описанной выше расходимости выражения для второго вириального коэффициента на больших расстояниях при кулоновском законе парного взаимодействия частиц. Поэтому соотношением (4.18) пользоваться нельзя, а нужно построить такую корреля­ ционную функцию, которая учитывала бы коллективный харак­ тер взаимодействия в системе многих кулоновских частиц с си­ лами дальнодействующего характера.

Отметим, что использование в качестве потенциальной энер­ гии парного взаимодействия дебаевской функции

28

не дает правильного выхода из положения, хотя взаимодейст­ вие в этом случае и является короткодействующим. Неправомер­ ность использования функции f(r) вида

где tin дается формулой (4.19), легко понять, если вспомнить вычисление второго вириального коэффициента с парным де­ баевским взаимодействием между квазичастицами (см. § 3). Физически это означает, как было отмечено выше, что дебаев­ ское экранирование не сводится к замене системы кулоновских частиц с дальнодействующими силами системой квазичастиц с короткодействующим дебаевским взаимодействием. В этом лег­ ко убедиться с помощью простого вычисления. Однако при этом дебаевская поправка, т. е. первый член разложения свободной энергии по параметру ц получается правильной, а для более высоких поправок по плотности таким образом верных выра­ жений получить не удается. Это говорит об интересном обстоя­ тельстве: при вычислении бинарной функции корреляции можно пользоваться более грубым приближением, чем при вычислении второго вириального коэффициента. Поэтому при учете функции корреляции трех частиц даже в достаточно грубом приближе­ нии в относительно плотной плазме можно надеяться, что ре­ зультаты будут не столь уж плохими; во всяком случае, они могут оказаться лучшими, чем при достаточно разумном учете третьего вириального коэффициента.

Приведем вывод бинарной функции корреляции для почти идеальной классической кулоновской системы, исходя из распре­ деления Гиббса. Под распределением Гиббса в рассматриваемом случае можно понимать конфигурационное распределение, по­ скольку мультипликативная часть, связанная с кинетической энергией частиц, сокращается при нормировке. Это вычисление имеет, по-видимому, лишь методический смысл, поскольку би­ нарная функция корреляции, которая при этом получается, мо­ жет привести лишь к дебаевской (но не больше) поправке к свободной энергии системы. Итак, конфигурационное распреде­ ление Гиббса запишем в виде

Продифференцируем выражение (4.21) по р и проинтегри­ руем получающееся равенство по drs, drs+\...... drN(s<N). Тогда

29