книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

Первые три члена в правой части совпадают с подынтеграль­ ным выражением в формуле (16.10) и приводят к полученному уже выше выражению для квантовой поправки к бинарной функции корреляции Кпъ{г), остальные члены характеризуют обменное взаимодействие.

После интегрирования по k получаем окончательное выра­ жение

r/%

Первый член описывает обменную корреляцию двух одинако­ вых частиц в идеальном газе, а второй — обменные поправки, учитывающие взаимодействие. При r^> &эти члены экспонен­ циально малы, а при г-^О оба они конечны и вносят существен­ ный вклад в функцию корреляции.

Зная корреляционную функцию, можно вычислить любую термодинамическую величину и получить уравнение состояния системы (см. § 4). Представим термодинамический потенциал П слабо неидеальной плазмы в виде

среднее от гамильтониана взаимодействия, записанное в выра­

190

то нетрудно видеть, что

у < £ в з > = - f - J у (K,i (г) + к ее (г) - 2к е1(Г)}, (16.20)

причем выражение в фигурных скобках, согласно сказанному выше, равно

Второй член можно назвать чисто обменной поправкой, не за­ висящей от заряда, а последний член содержит рассматривае­ мые в этом параграфе квантовые эффекты. Подставляя в фор­ мулу (16.22) явные выражения для бинарных корреляционных

(16.25)

191

После интегрирования в выражении (16.22) по заряду по­ лучим

циентами от соответствующего выражения, полученного в ра­ боте [2], в которой допущены некоторые неточности. Эти не­ точности исправлены в приведенной формуле для й [9]. Отме­

ционных функций, поскольку последние вычислены лишь с точ­ ностью до а. Выражение для этой поправки АЙ, однако, мож­

где второй член порядка а2. Тогда вклад в термодинамический потенциал, обусловленный К'кл (г), равен

Выражение K lin можно определить, воспользовавшись тем фак­

том, что на малых расстояниях (r<^lD) взаимодействие двух рассматриваемых частиц практически не искажается присутст­

Если в экспоненте дописать дебаевский экранирующий множи­ тель, то выражения (16.29) и (16.27) будут совпадать с точно­ стью до членов первого порядка по а. Тогда с точностью до членов второго порядка по а можно записать

бее особенности типа г-2, ибо лишь в этом случае выражение

192

Подставляя это выражение соответственно для взаимодейст­ вий ее, ei, и в формулу (16.28), можно видеть, что первый член, пропорциональный г~2, приводит к логарифмически расходя­ щимся при г-*-0 интегралам, тогда как члены с функциями Ф(г), не содержащими особенностей типа г~2, конечны. Огра­ ничиваясь логарифмической точностью, последние можно не учитывать, и тогда получим

Нижний предел интегрирования следует выбирать по-разному в зависимости от типа взаимодействия. Так, ион-ионное взаи­

которое совпадает с результатом работы [2].

В заключение этой главы отметим следующее. При вычис­ лении термодинамического потенциала частично ионизованной плазмы используют два подхода. В первом из них плазма рас­ сматривается как трехкомпонентная система, состоящая из электронов, ионов и атомов. Этот подход не является последо­ вательным, поскольку приходится прибегать к ограничению статистической суммы атомов с помощью той или иной модели, а также задавать взаимодействие атома с заряженными части­ цами. Второй подход основан на рассмотрении частично иони­ зованной плазмы как многочастичной системы электронов и ионов с помощью теории возмущений по константе взаимодей­ ствия. При этом в качестве невозмущенной рассматривается система свободных частиц. Если степень ионизации мала, т. е. плазма содержит значительную концентрацию атомов, которые образуют подсистему с сильным взаимодействием, описание

Г л а в а в о с ь м а я

ВВЕДЕНИЕ В ТЕРМОДИНАМИКУ

ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ

§ 17. УМЕРЕННО ПЛОТНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ПЛАЗМА

Под у м е р е н н о п л о т н о й плазмой будем понимать си­ стему частиц, для которой параметр взаимодействия близок к единице:

Последнее условие означает, что в дебаевской сфере находится мало частиц (в случае точного равенства единице одна части­ ца). Если плазма квантовая, то система является умеренно плотной, когда параметр rpm — 1.

Если г)<С1, термодинамические функции можно вычислить с заданной точностью. В другом предельном случае г|3>1 за­ дача тоже решается «точно», так как возможно разложение термодинамических величин по обратной величине этих пара­ метров. Это решение, которое будет рассмотрено в десятой гла­ ве, соответствует очень плотной системе частиц. Для системы фермионов, как было показано в первой главе, случай сверхвы­ соких давлений описывается выражениями, соответствующими идеальному газу, поскольку для rinn^l потенциальная энергия взаимодействия на частицу мала по сравнению с кинетической, т. е. взаимодействие является слабым. Особенно труден для теоретического рассмотрения случай, когда сравнимы потенци­ альная и кинетическая энергия, приходящиеся на одну частицу. При этом говорят, что задача не содержит малого пара­ метра. Выход из положения состоит в том, чтобы продвинуться

поляцию.

Рассмотрим подробно весьма интересный подход в термоди­ намике умеренно плотной плазмы, показывающей, как далеко можно продвинуться при анализе классической плазмы со сто­ роны малого параметра. Этот подход построен на диаграмм­ ном методе в классической статистике [7], который является обобщением изложенной в третьей главе графической техники Майера.

195

Рассмотрим для простоты однокомпонентную плазму (части­ цы с зарядом q на фоне равномерно распределенного компен­ сирующего фона). Отметим, что такая модель имеет не только академический интерес. Известны физические условия, когда

зике существуют условия, когда в водородной плазме электро­ ны вырождены, причем энергия Ферми велика по сравнению с

классическая механика описывает их движение с хорошей точ­ ностью. Ранее упоминалось, что рассмотрение электронного га­ за на фоне положительного зарядового фона является извест­ ным приближением при описании поведения электронов в ме­

для среднего межчастичного расстояния г0. В этой записи энер­ гия взаимодействия двух частиц

ы(1, 2) = e/R.

Итак, если рассматривается система N одинаковых куло­ новских частиц в объеме V при температуре р-1, удобно ввести так называемый п о т е н ц и а л с р е д н и х с ил ш( 1,2) сле­ дующим образом:

ехр[— w (1,2)] = ZN'V2j . . . Jd3, d4, . . ., clNX

196

где Х(1,2) выражается через бесконечную сумму многократных интегралов, а каждый многократный интеграл соответствует 12 неприводимым диаграммам специального вида, подробно опи­

Если в достаточно мало, то кустовые диаграммы сводятся к известным уже нам кольцевым диаграммам в классической ста­ тистике и представляют последовательность членов по степе­ ням в. Порядок диаграммы, содержащей I линий и к точек, есть г’~к, так как каждая линия вносит множитель, пропорцио­ нальный в, а каждое интегрирование дает множитель порядка

серьезных трудностей и можно разложить Г в ряд по степеням е (первый член разложения Г0), но для /?^в этот подход не­ правомерен и необходимо модифицировать теорию. Ниже будет показано также, что Г сравнительно просто вычислить с точ­ ностью до второго порядка по в, включая область R ^ i в. Ока­ зывается возможным оценить также Г при в=1, привлекая численный счет.

Прежде всего покажем, что решение уравнения (17.4) мож­ но выразить в замкнутом виде через однократный интеграл для любого значения параметра в. Это уравнение легко преоб­ разуется по Фурье и совсем просто выглядит в к-представле- нии для однородной системы:

197

представлен на рис. 21. Для малых к можно написать разло­ жение

Отсюда нетрудно получить с помощью почленного обращения Фурье асимптотическое представление функции Г (R ):

Это разложение по обратным степеням R является хорошим приближением, если R^>e и R^> 1. Интересно, что в отличие от

= exp (— e/R) — l -f (e/R).

Тогда согласно общему выражению (17.7) имеем

т0(к) = Ш [ \ - п Ш Г 1;

Гх(К) = Г(к) — Го (к) = h (к) [1 - я/ (К)Г1 [1 - /о (к)]-1.

198

Используя тождество

Этот ряд быстро сходится.

Подставляя У (к) в виде (17.12) в формулу (17.13), выпол­

держат интегралы по двум или большему числу пространствен­

199