книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

Если импульсы Pi и координаты г,- отдельных частиц независи­ мы, то можно проинтегрировать по импульсной части фазового пространства. Тогда в выражении (10.2) нужно сделать сле­ дующую простую замену:

мы. Получающееся при этом выражение является достаточно сложным, и обращаться с ним, конечно, совсем нелегко.

Рассмотрим классическую дебаевскую плазму. Если считать,

Тогда вместо распределения (10.2) можно написать следующее

Поэтому обычно рассматривают более простые модели для рас­ пределения микрополя в плазме. Очевидно, что если известно распределение для «агентов», создающих поле, то можно вычис­

ке нахождения атома обусловлено близко расположенным ионом. Если ион представляет собой массивную частицу и тем­ пература плазмы не слишком высока, то действие иона на атом является адиабатическим, поскольку скорость движения этого иона мала по сравнению с атомной, т. е. мала по сравнению со скоростью орбитальных электронов атома. Действие иона на атом не является просто статическим, поскольку скорость иона отлична от нуля. Поэтому говорят не о статическом поле, дейст­ вующем на атом, а квазистатическом возмущении. Пренебрежем экранированием возмущающей частицы и в первом приближе­ нии будем считать, что силовая связь атома с ионом отсутствует.

100

вычислить вероятность нахождения иона на некотором расстоя­ нии г от атома. Зная W(r), легко найдем и распределение для возмущающего поля Е, действующего в начале координат, т. е.

W( Е):

Пусть W (г) ■—вероятность того, что внутри сферы радиуса г находится по крайней мере один ион, a W-(r) — вероятность того, что внутри этой сферы нет ни одного иона. Тогда

ность присутствия одной или большего числа частиц внутри сфе­

Каждый из следующих за единицей членов в правой части характеризует вероятность присутствия в сферическом слое од­ ной, двух, трех и т. д. частиц соответственно. Поскольку рас­ сматривается случай ближайшего соседа, то члены, квадратич­ ные по щ, а также члены более высоких порядков по плотности ионов необходимо опустить. Тогда

Это и есть искомое распределение ближайшего соседа, опре­ деляющее вероятность найти возмущающий ион на расстоянии г от атома при заданной плотности ионов в плазме. Если ввести некоторое среднее поле напряженностью

и безразмерную величину а = Е/Е0, то с учетом (10.7) получим: распределение, соответствующее решению (10.13):

W (a) d(a) = — exp (— а- ’/*) da~s^ (1,50/ал/*) ехр (— .~3Е) da. (10.15)

101

Как показал Хольтсмарк [16], нетрудно написать несколько бо­ лее общее распределение для №(а), если не ограничиваться од­ ной возмущающей частицей, а рассмотреть их ансамбль, считая, что пет корреляции как ион — атом, так и отдельных ионов ме­ жду собой. Распределение Хольтсмарка имеет вид

Интеграл, к сожалению, не берется в элементарных функциях. Однако в предельных случаях малых и больших а можно напи­ сать приближенные выражения вида:

WH (а) = — а2(1—0,4б28а2+0,1227а4—0,0238а8 + . . .)

(/)и распределение ближайшего

жайшего соседа не является «плохим» по сравнению с распре­ делением Хольтсмарка. Оба распределения справедливы и для достаточно разреженной плазмы, когда на малых расстояниях осуществляется парное столкновение медленного иона с ато­ мом, вероятность же трехчастичного взаимодействия мала.

Если учесть взаимодействие атом — ион с энергией и (г), то вместо выражения (10.10) можно написать

до_ = 1— 4лп(г2ехр(— P«)dr — [4яп/г2ехр(— ри) dr]2— . . .

102

Тогда с помощью рассуждений, аналогичных приведенным вы­ ше, получим выражение для распределения ближайшего соседа с учетом ион-атомной корреляции в виде (8.39). Это выражение является естественным обобщением формулы (10.13) [6]. Харак­ тер и (г) для водородной плазмы был подробно обсужден в пре­ дыдущей главе.

Можно достаточно просто рассмотреть эффект вырывания атомного электрона под действием квазистатического микро­ поля. Если плазма достаточно разрежена, т. е. Го^ йо, то элек­ трическое поле, обусловленное ближайшим соседом (ионом), можно считать однородным. Рассмотрим потенциальную энер­ гию орбитального электрона атома в электрическом поле, на­

соответствующим невозмущенной орбите атома. На достаточно большом расстоянии от атома по направлению к «аноду» (z от­ рицательно) существует область с еще более низким значением потенциала. Если существуют две потенциальные ямы, то воз­ можен переход из одной ямы (атом) в другую («анод»). Это типичный туннельный переход. Если электрон преодолел потен­ циальный барьер, то дальше он будет двигаться к возмущающе­ му иону. Эго и есть ионизация атома квазистатическим внутриплазменным полем. Экспериментально этот эффект проявляется в исчезновении спектральных линий, соответствующих перехо­ дам с атомных уровней, начиная с некоторого значения главного квантового числа пмакс (см. четвертую главу).

Разумеется, для ионизации необходимо достаточно сильное внешнее поле, т. е. поле, сравнимое с внутриатомным. Сущест­ вует, однако, заметная вероятность ионизации атома даже в раз­ реженной плазме, поскольку вероятность больших значений а отлична от нуля. Наиболее просто оценить критическую напря­ женность внешнего поля £цТШТ> при которой возможна иониза­ ция атома, с помощью полуклассических соображений. При этом удобно работать в параболических координатах:

£ = г + г, т] = r z, cp = arctg (у/х).

Координаты Г1 велики при больших отрицательных z (вблизи «анода»). Если записать кинетическую энергию электрона в на­ правлении ц в виде (подробнее см. в работе [2])

(10.19)

* Для простоты пользуемся атомными единицами.

103

то эта функция, вообще говоря, имеет три корня: щ, г\2, т]з, при­ чем в интервале (тр, т]2) осуществляется «нормальное» движе­ ние электрона, а при п > т^з наступает ионизация вследствие туннельного эффекта (рис. 7). Если электрическое поле доста­ точно велико, то барьер сглаживается и, наконец, при некото­

ром критическом значении £ = £ крит исчезает. На рис. 7 этот случай демонстрируется пунктирной кривой. Формально условия исчезновения барьера можно записать в виде

ский расчет дает завышенное значение, ибо ионизация при та­ ком подходе возможна лишь при отсутствии потенциального барьера. С учетом чисто квантовомеханического туннельного эффекта значение £ крит получается существенно меньшим.

Вернемся теперь к распределению внутриплазменного поля. До сих пор рассматривалось распределение микрополя в неко­ торой точке (начале координат). Если при этом пренебречь кор­ реляцией частиц в плазме, то совершенно безразлично, какая частица находится в начале координат — ион, электрон или атом. Интересно, является ли внешнее поле для ионов и ней­

тральных атомов одинаковым?

Рассмотрим для простоты плазму, состоящую из нейтраль­ ных атомов, однократно заряженных конов и электронов (чис­

104

ло последних равно друг другу). Фиксируем ион. Вокруг иона образуется облако зарядов, которое создаст некоторое поле с потенциалом <р. Пусть в этом поле образуется нейтральный атом в процессе рекомбинации. В каком поле необходимо рассмат­ ривать движение связанного электрона? После образования ней­ трального атома начальная неоднородность в распределении зарядов меняется и стремится к однородному распределению. При этом «внешний» потенциал для атома стремится к малому значению, близкому к нулю. Если ионизация произойдет не скоро, то потенциал, в котором движется атомный электрон, близок к кулоновскому. Если же ионизация произойдет раньше релаксации зарядов облака, то электрон будет двигаться в поле с потенциалом <р. Следовательно, условием того, что атомный электрон движется в поле, близком к кулоновскому (а не де­ баевскому), является неравенство

Это можно понять несколько иначе. Пусть имеется атом, во­ круг которого плотность зарядов (в среднем) близка к нулю. Допустим, что произошла ионизация. Успеет ли до образования

где Трек — средний промежуток времени между двумя актами рекомбинации.

Сделаем грубую оценку характерных времен для реального случая. Поскольку трел вследствие большой подвижности элек­ тронов определяется движением электронов, а не ионов, можно написать

где /г,., < v e> — плотность и средняя скорость электронов соот­ ветственно. Пусть р-1 около нескольких электронвольт, а давле­

~10 - 14 сек. Следовательно, для дебаевской плазмы в принятых условиях Трек^>Трел, и можно утверждать, что имеет смысл рас­ сматривать экранирование ядра атома. В зависимости от физи­ ческих условий атом и ион следует рассматривать в разных по­

105

лях. Это обстоятельство почему-то редко принимается во внимание.

Имеется большое число работ, посвященных вычислению функции W (а) с учетом корреляции частиц в плазме. Большая часть из них содержит нестрогие модельные представления, и поэтому полученные результаты весьма не похожи друг на друга. Обсудим в качестве примера работу Гофмана и "Гейме­ ра [17], которая не очень последовательна, но зато построена на разумных, как нам кажется, физических представлениях.

Если размеры системы (плазмы) достаточно велики, т. е. Е » / в, то граничными эффектами можно пренебречь, а форма и энергия поляризационного дебаевского облака не зависят от координаты центра заряда, вокруг которого это облако обра­ зуется. Тогда вероятность о(х, у, z)ДЕ найти центр облака в элементе объема ДЕ пропорциональна ДЕ и не зависит от по­ ложения г(х, у, z ) элемента объема ДЕ. Более того, эта вероят­ ность практически не зависит от конфигурации зарядов, находя­ щихся вблизи ДЕ. С другой стороны, если рассматривать тот же точечный заряд в качестве представителя некоторого облака, об­ разующегося около другого заряда, то вероятность обнаружить его в объеме ДЕ зависит от знака заряда и расстояния до этого центра.

В первом приближении электрический потенциал ср и поле Е в данной точке наблюдения могут быть представлены в виде суммы двух членов, один из которых обусловлен действием бли­

Рассмотрим эффект, обусловленный действием системы многих зарядов. При этом оказывается, что аппроксимация ближайше­ го соседа более удовлетворительна при рассмотрении «экрани­ рованных» кулоновских сил, а не чисто кулоновских. Это при­ ближение, конечно, неудовлетворительное, когда г велико, т. е. когда точка наблюдения (в которую помещается пробный заряд) находится на примерно одинаковых расстояниях от нескольких создающих поле зарядов. В этом случае необходимо помнить о двойной роли точечного заряда в плазме, ибо каждый точеч­ ный заряд входит в экранирующее облако и также создает экра­ нирование. Поэтому можно считать, что поле в произвольной

106

точке наблюдения является векторной суммой полей, образуе­ мых всеми другими зарядами:

среднее по времени поведение плазмы, т. е. флуктуациями в ука­ занном приближении полностью пренебрегают.

Если нужно вычислить распределение микрополя W(E)dE, то необходимо рассмотреть вероятность того, что n-й точечный заряд находится в объеме ЛК на расстоянии г„ от начала коор­ динат. Хольтсмарк исходил при этом из предположения, что ст„(г„) не зависит от гп и конфигурации других зарядов. Поэто­ му он мог положить <т„=1 /К, где V — объем плазмы. Это пред­ положение справедливо для системы невзаимодействующих ча­ стиц, но неправомерно при учете межчастичного взаимодейст­ вия. Однако, если взаимодействие в плазме не является силь­ ным, можно по-прежнему считать, что сгп~1/К . Физически это следует из предыдущего рассуждения, показывающего, что сг„(Гц) практически постоянно, если п-й точечный заряд рас­ сматривать как центр облака, а следовательно, и как источник экранирующих кулоновских сил. Тогда при вычислении можно воспользоваться модифицированной теорией Хольтсмарка. При

При этом поправочная к распределению Хольтсмарка функция WH(a) под интегралом может быть вычислена без особого тру­ да (см. работу [17]). Результат вычисления указывает на силь­ ное отклонение распределения W(a) от распределения Хольт­ смарка. Качественно эффект корреляции, введенный изложенным способом, приводит к сдвигу максимума распределения в об­ ласть малых напряженностей полей и к уменьшению ширины распределения.

Если температура плазмы не слишком низка ((З-1 1 эв), распределение Хольтсмарка искажается не только за счет кор­ реляции, но и в результате теплового движения заряженных ча­ стиц. Этот эффект оказывается не малым, если к тому же плот­ ность плазмы не слишком мала ( ~ 1015—1017 слг3). В условиях мощных импульсных разрядов, как известно, осуществляются

107

термодинамически неравновесные условия неизотермической плазмы, когда температура ионов превышает температуру элект­ ронов 7’»>Ге. В этом случае, как показал В. И. Коган [4], влияние теплового движения ионов при вычислении W(E) ока­ зывается более существенным, чем влияние корреляции. Интерес представляют, конечно, не только предельные в этом смысле условия импульсного разряда, но и случай термодинамически равновесной достаточно горячей плазмы.

Пусть Е (/)— векторная сумма электрических полей, созда­ ваемых совокупностью электронов и ионов плазмы в фиксиро­ ванный момент времени t в точке наблюдения, в которую поме­ щен атом. Пусть атом находится в начале координат. Тогда Е(^) можно представить в виде:

где индексами / и к нумеруются соответственно ионы и элект­ роны; N — полное число заряженных частиц того и другого знака в объеме V.

Разбивая отрезок времени [0, т] на М одинаковых достаточ­ но близких участков, можно получить нормированное на еди­ ницу статистическое распределение (Ei, Е2...... Еп) значений напряженности поля в последовательные М моментов времени

распределение нетрудно найти методом А. А. Маркова, обобщая его с трехмерного на ЗМ-мерный случай. Считая, как и при выводе формулы Хольтсмарка, что распределение электронов и ионов является случайным при заданной плотности частиц п (т. е. распределение есть распределение Пуассона), и переходя

/i(v). M v) — нормированные на единицу максвелловские рас­ пределения ионов и электронов.

108

Вычисление функции (10.31) в общем виде не представляется возможным. Однако при наличии малого параметра можно по­ лучить не очень сложные аналитические выражения для W(a). Так, если рассматривать адиабатическое приближение при вы­ числении действия микрополя на атом водорода или водородо­ подобный атом, то малым параметром задачи можно считать величину

где v0i= (2/^пц)112; п,-— плотность ионов; а' — штарковская по­ стоянная:

а' — q (0 — — — ,

выраженная через мгновенный адиабатический сдвиг частоты рассматриваемой штарковской компоненты * q(i).

Тогда обобщенное распределение'Хольтсмарка, учитывающее тепловое движение ионов, можно представить в виде

L(x) и T ( x ) — функции, введенные Чандрасекаром. При хЗ>1:

Функция S(x) табулирована в работе В. И. Когана [5] и при­ ведена на рис. 8. Отметим, что по самому смыслу вывода форму­ лы (10.34) второй член в ней является малой поправкой к ос­ новному (хольтсмарковскому) члену. Легко видеть, что эта по­ правка на тепловое движение возмущающих ионов пропорцио­

нальна температуре.

Асимптотика распределения Хольтсмарка, соответствующая случаю распределения ближайшего соседа, есть

Как видно из рис. 8 и формулы (10.36), поправка, вносимая в распределение ближайшего соседа при x ~ 2-f-3, составляет ощутимую величину. Отметим, что рассмотренное выше прибли­ жение Гофмана и Теймера тоже по сути дела построено на рас­ пределении А. А. Маркова.

* Напомним, что в электрическом поле термы атома водорода расщеп­ ляются на штарковские компоненты, причем величина расщепления пропор­ циональна напряженности внешнего поля Е (линейный штарк-эффект).

109