книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

получим следующую систему уравнений для корреляционных функций («боголюбовские цепочки»):

ложении малой корреляции между частицами. Это означает, что в первом приближении в корреляционной функции /(„ комплекса s частиц можно,учитывать лишь парные корреляции. Тогда

+ Uab + 2 j 2 Kdcucbdrc + 12 ncndKac■Ucddrcdrd = 0, (4.26)

C/jj c cd

Тогда для компоненты Фурье функции Каъ(г, р) получаем урав­ нение

ч

которое соответствует физически предельному случаю идеаль­ ного газа, так как при бесконечной температуре взаимодейст­ вием можно пренебречь. В результате получим

g ( k , Р) = — х 2/(/г2 + у.2),

где х определяется выражением (2.11).

30

Следовательно,

Если считать, что одна из частиц, например а, находится в на­ чале координат, то выражение (4.30) совпадает с первыми дву­ мя членами разложения (4.20).

Связь между функциями корреляции различной кратности можно описать системой уравнений, отличной от системы (4.23). Простой вывод этой «зацепляющейся» системы уравнений мож­ но найти, например, в работе [7]. Именно в таком виде эта система уравнений была впервые получена Н. Н. Боголюбовым [1]. Не будем выписывать последовательную систему уравнений Боголюбова («боголюбовские цепочки»), а приведем лишь урав­

функции корреляции, что можно делать в случае достаточно разреженной квазиклассической плазмы. Действительно, прене­

В том же приближении можно считать, что даже пары частиц не находятся настолько близко друг к другу, чтобы Каъ было существенно отлично от единицы. Тогда, вводя малые величины

в правой части член, содержащий лишь f ac. Остальные же чле­ ны обращаются в нуль вследствие изотропии газа. В первом

31

Если взять дивергенцию от обеих частей этого уравнения, помня, что

uab = ZaZ„e2/r, г = | г„ — га |,

которое является уравнением типа Дебая — Хюккеля для само­ согласованного поля, уже рассмотренным для однокомпонент­ ной плазмы в § 1. Подставив решение для f(г) в формулы (4.37) и (4.33), опять получим выражение (4.30) для бинарной корреляционной функции в дебаевском приближении.

Метод корреляционных функций Боголюбова является, если можно так выразиться, обходным путем для получения термо­ динамических функций и уравнения состояния, минуя вычисле­ ние статистической суммы. Оперировать с корреляционными функциями иногда удобнее, ибо для прямого вычисления ста­

спектр системы). Кроме того, извлечение двухчастичной и трех­ частичной функций корреляции из эксперимента, по-видимому, является более простой задачей, чем экспериментальное опреде­ ление статистической суммы. Известны эксперименты по опре­ делению бинарной функции корреляции частиц в жидкости по дифракционной картине, обусловленной рассеянием света на «кристаллической решетке жидкости». Имеются (правда, мало­ численные) эксперименты и для плотной плазмы, но это будет обсуждено в одной из следующих глав.

§ 5. МЕТОД КОЛЛЕКТИВНЫХ КООРДИНАТ

Одним из интересных подходов к описанию поведения систе­ мы кулоновских частиц явился развитый Пайнсом и Бомом [9] в 50-е годы метод коллективных координат, который сыграл большую роль в понимании многих явлений, имеющих место в низкотемпературной плазме, а также в квантовом электронном

32

газе, являющемся, как известно, моделью для системы электро­ нов проводимости в металлах. В последнее время часто говорят, что этот метод изжил себя. С этим отчасти можно согласиться, так как появившийся несколько позже строгий и изящный ап­ парат функций Грина получил широкое применение в теории многих частиц, и в теории плазмы в частности. Однако очень на­ глядная и физически понятная теория Пайнса и Бома до сих пор помогает теоретикам, занимающимся физикой плазмы, по­ нять даже те результаты, которые они получают с помощью диаграммной техники. Поэтому вряд ли можно утверждать, что метод коллективных координат, или метод лишних переменных, следует забыть и заниматься лишь функциями Грина. Введен­ ное в теории коллективных переменных фундаментальное при­

работах по полевым методам теории многих частиц в плазме (о которых речь пойдет в следующих главах).

Для простоты по-прежнему будем рассматривать одноком­ понентную систему —электронный газ. Коллективное описание кулоновской системы дает возможность выявить многие общие свойства системы, которые чрезвычайно трудно понять лишь на основе одних уравнений движения для отдельных заряженных частиц. Вследствие дальнодействующего характера кулоновских сил фактически каждая частица взаимодействует со всеми ос­ тальными частицами в системе. При этом представление о пар­ ных столкновениях частиц в плазме становится довольно услов­ ным. Примером такого рода являются упорядоченные колебания системы как целого — плазменные колебания. Коллективный характер взаимодействия кулоновских частиц проявляется, ко­ нечно, и в термодинамике. Изучение термодинамических свойств электронного газа при таком подходе и является нашей целью.

Рассмотрим газ электронов как систему точечных зарядов при наличии однородного компенсирующего фона положитель­ ных ионов. Это, конечно, модель. Но в задачах, где периодич­ ность ионной решетки не сильно сказывается (если речь идет о металлах), многое можно понять, базируясь даже на такой про­ стой модели. В дебаевской же плазме обобщение на случай мно­ гокомпонентной системы представляет простую задачу.

Итак, вместо того чтобы изучать движение каждой отдельной частицы, опишем электронный газ в терминах фурье-компонент плотности электронов в каждой точке пространства. Физически это означает, что рассматриваются флуктуации плотности элект­ ронного газа, так как указанные фурье-компоненты пропорцио­ нальны флуктуациям плотности. При этом будет показано, что флуктуации плотности можно представить в виде суммы двух компонент: одна из которых соответствует колебаниям плазмы с характерной частотой, а другая обусловлена хаотическим теп­ ловым движением отдельных частиц и не проявляет коллектив-2

ных особенностей в своем поведении. Компонента, связанная с индивидуальными частицами, описывает хаотическое движение как собственно кулоновских частиц, тик и сопутствующих им электронных облаков, т. е. отражает короткодействующий харак­ тер взаимодействия, связанный с экранированием.

Прежде всего рассмотрим вопрос о движении совокупности частиц в методе коллективных координат и выясним область применимости теории при таком подходе. Для простоты, как и раньше, объем системы положим равным единице. Тогда в слу­ чае точечных частиц их плотность

где гг— координата i-го электрона.

Отметим, что во всех дальнейших выражениях члены, содер­ жащие к= 0, должны быть опущены, так как п0 соответствует средней плотности системы электронов и компенсируется соот­ ветствующим членом ионной составляющей вследствие квази­

и выберем в дальнейшем коэффициенты а к так, чтобы г) к описывало только флуктуации плотности электронного газа, обусловленные хаотическим движением частиц. Дифференцируя выражение (5.2) последовательно по времени и учитывая, что фурье-представление для энергии взаимодействия имеет вид

При этом символ S' означает, что член с к = 0 следует опустить.

Выразив v ,= п через уравнение движения для t-й частицы и подставив получившееся выражение

к. /

34

в формулы (5.4), получим уравнение, описывающее изменение «к во времени, т. е.

Разобьем вторую сумму на две части, соответствующие об­ ластям суммирования с к = к' и к^=к'. При этом сумма с кт^к' содержит фазовые множители exp[i(k'— к)г*], которые зависят от положения данной частицы. При усреднении эти фа­ зовые множители должны быть малы, так как в отсутствие сильного взаимодействия имеется большое число частиц, распре­ деление которых в пространстве близко к хаотическому. Если считать, что результат такого усреднения равен нулю, то члены с кф к ' следует опустить, что соответствует приближению хао­ тических фаз, или RPA (Rand Phase Approximation). Тогда вместо уравнения (5.6) имеем

чезать и в отсутствие взаимодействия между частицами. Он учитывает тепловое хаотическое движение частиц. Однако при малых k (т. е. на больших расстояниях) этим членом можно пренебречь, так как он учитывает короткодействующую часть взаимодействия в плазме. Строго говоря, критерием примени­ мости указанного приближения является неравенство

где усреднение проводится по максвелловскому распределению, если можно считать плазму термодинамически равновесной.

Из неравенства (5.10) следует более наглядное выражение

Лк —1~Ыр Лк —0

2 35

приводит к описанию коллективных продольных плазменных ко­ лебаний с характерной частотой юр (ленгмюровской частотой). Однако из уравнения (5.8) следует также, что уравнение для пк описывает не только ленгмюровские колебания. Нетрудно по­ казать, что если выбрать коэффициенты а к в выражении (5.3) так, чтобы выполнялось дисперсионное соотношение

/'

то можно записать

(5.14)

При этом для части флуктуаций плотности, вызывающих хаоти­ ческое движение частиц, получим

Отметим, что для малых к дисперсионное соотношение (5.13) выглядит совсем просто:

Итак, приближение хаотических фаз позволяет в явном виде разделить флуктуации плотности пк на две части — qк и Цк» связанные соответственно с коллективными и индивидуальными движениями частиц в плазме. Подобное описание приводит к экранированию заряженных частиц в плазме. В частности, если рассматривать дебаевскую плазму, то получается экранирова­ ние с характерной длиной lD, которое приводит в термодинамике к дебаевской поправке к свободной энергии идеального газа. В этом нетрудно убедиться читателю. Рассмотрим качественно эффекты, связанные с динамическим экранированием; дебаев­ ское экранирование войдет в полученные результаты в качестве предельного случая (как статическое экранирование).

Исследуем вклад в распределение плотности, вносимый s-й частицей [5]. Имея в виду выражение (5.14), можно написать

где использована дисперсионная формула (5.15); vs— скорость выделенной частицы. Если vs<.vT~c, где с — скорость звука, то, использовав распределение (5.16) в уравнении Пуассона, полу­ чим обычное выражение для дебаевского потенциала ср.

36

Представим теперь, что частица s (электрон) движется по

окружности радиусом а с постоянной скоростью v0^> ]/" < п 2> = г ==иг в плоскости (х, у). Тогда, выделяя в выражении (5.16) 6-функцию, получим

Решая уравнение Пуассона с плотностью заряда (5.17), найдем потенциал, действующий на электрон в точке, где он находится. Не будем проводить здесь нетрудных, но громоздких выкладок. В результате оказывается, что основной член в разложении по­ лученного выражения по степеням vT/v0 для любого фиксиро­ ванного момента времени t имеет вид

в плазме электрона. Действительно, такое же значение потен­ циала на малых расстояниях получилось бы при разложении потенциала вида ехр(—х\г)/г, где xi —kvtIvo. Имея в виду, что для вычисления поправки к энергии необходимо знать по­

Представим себе, что рассматриваемый электрон — это свя­ занный электрон атома, находящийся на достаточно далекой орбите. Пусть электрон движется вокруг ядра с зарядом Ze. Этот заряд также поляризует плазму. Для нахождения эффек­ та, обусловленного зарядом Ze, находящимся в начале коорди­ нат, можно написать обычное уравнение Пуассона:

Оба эффекта, как от электрона, так и от ядра, следует рас­ сматривать совместно. Добавляя в правую часть уравнения (5.20) плотность заряда, обусловленную поляризацией плазмы электроном, и плотность заряда самого электрона, имеем

Точное граничное условие в нуле в рассматриваемой клас­ сической модели неизвестно. Пренебрегая размером «атома», потребуем, чтобы на малых расстояниях за вычетом собствен­ ной энергии частиц значение ф было конечным и пропорциональ­

37

ным разности (Z—1). Тогда частное решение уравнения (5.21) со вторым членом в правой части дает

Поэтому добавка к энергии «атома» с зарядом Z— 1 имеет вид

Умножая (5.23) на плотность «атомов» па и учитывая, что

VT/V0~ kT/Е0 ~ a0/($e2Z2),

«атомов» представляет собой атомы водорода, эффект отсут­ ствует. Для системы «атомов» типа Неи (однократно ионизо­ ванный гелий) поправка уже отлична от нуля.

Приведенное рассмотрение демонстрирует один из приме­ ров, когда простое качественное описание плазмы с помощью флуктуаций плотности приводит к интересным эффектам. Не будем спорить с теми, кто скажет, что пример рассмотрен не совсем корректно. В одной из следующих глав член типа (5.24) будет получен строго с явным численным коэффициентом на ос­ нове диаграммной техники.

Рассмотрим флуктуации плотности в электронном газе с по­ мощью статистической механики. Вычислим среднюю ампли­ туду флуктуаций фурье-компонент плотности электронного газа «к . Используемые здесь рассуждения являются альтерна­ тивным подходом к проблеме экранирования. При этом будем

38

Разобьем конфигурационное пространство, занимаемое си­ стемой, на ячейки достаточно малого объема е. При этом раз­ мер ячейки должен быть таким, чтобы внутри нее не происхо­ дило существенных изменений физических свойств. С другой стороны, ячейки должны быть достаточно большими, чтобы статистическое рассмотрение не потеряло смысла, т. е. в объе­ ме е должно содержаться по крайней мере несколько частиц. Тогда состояние системы можно описать с помощью чисел ча­ стиц в каждой ячейке N u N2, ..., N{. Как хорошо известно из статистической механики, можно написать:

можно пренебречь взаимодействием частиц внутри элементар­ ного объема. Применяя формулу Стирлинга к выражению (5.28), получаем

W(Nlt Nt............. N„ . . . ) -

~ exp jN In yV- 2 N, In Nt - Щ NtNjU(| гг - Г/ |)j . (5.29)

Пусть No — среднее число электронов в ячейке. Будем рассмат­ ривать малые флуктуации бN{ около этого среднего значения. Тогда

Подставим выражение (5.30) в формулу (5.29) и разложим ар­ гумент экспоненты в ряд по степеням бN/N, оставив члены вто­ рого порядка. Поскольку, как обычно, рассматривается элект­ ронный газ на фоне положительного, равномерно распределен­

ного заряда, то для электростатической энергии можно написать, выражение

Учитывая, что 26iVi = 0, и опуская константы, получаем

W(Nlt

39