книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

(ао — боровский радиус).

Отсюда следует, что вырожденная плазма тем более идеаль­ на, чем выше ее плотность. Это легко понять качественно, так как кинетическая энергия (на одну частицу) растет с увеличе­ нием плотности быстрее, чем потенциальная *. По порядку ве­ личины амплитуда рассеяния

f ~ Ze^/zp.

Поэтому в случае квантовой плазмы можно написать критерий

На рис. 1 представлена заимствованная из работы [3] удоб­ ная диаграмма, на которой указаны характерные области изме­ нения введенных выше физических параметров для водородной

* Наряду с плотной электронно-ионной плазмой к числу вырожденных реальных систем принадлежат электроны в металлах, металл-аммиачных ра­

И

ванному состоянию, в котором электроны образуют вырожден­ ный газ со слабым взаимодействием; III и IV — твердому телу.

Хорошо известно, что понятие температуры Т имеет смысл лишь в случае т е р м о д и н а м и ч е с к о г о р а в н о в е с и я си­ стемы. Изучение свойств плазмы в термодинамическом равно­

это легко показать, можно оперировать с термодинамическими функциями, рассчитанными в предположении полного термоди­ намического равновесия, хотя плазма и не является изотерми­ ческой.

Если в объеме V плазмы устанавливается стационарное рас­ пределение температур, обусловленное постоянно действующим источником тепла и стоком тепла, связанным с теплопровод­ ностью плазмы (как «материальной», так и лучистой), то гово­ рят, что плазма находится в локальном термодинамическом рав­ новесии, если на длине L, составляющей несколько длин сво­ бодного пробега, изменение температуры АТ мало по сравнению со средней температурой Т на участке L: А7/Г<С1. Это озна­ чает, что реальное распределение температур можно аппрокси­ мировать ступенчатой функцией, а для каждого_ участка рас­ сматривать термодинамические функции при Т = Т. Если источ­ ник тепла выключен и распределение температур начинает мед­ ленно деформироваться, то с известными оговорками понятием локального термодинамического равновесия можно пользовать­ ся в течение времени т, определяемого неравенством:

£ — V ax <#i>

где а — коэффициент температуропроводности; R\ — характер­ ный размер плазменного слоя.

В термодинамике плазмы существует еще понятие ч а с т и ч ­ ног о т е р м о д и н а м и ч е с к о г о р а в н о в е с и я . Если плаз­ ма живет не очень долго после перехода в ионизованное состоя­ ние, то температура электронов Те> Т { (где Ti — температура ионов), так как обмен энергией между электронами и ионами происходит гораздо медленнее, чем соответствующий обмен между частицами, близкими по массе. Поэтому при не слишком больших плотностях в течение конечного времени т может су­ ществовать н е и з о т е р м и ч е с к а я двухтемпературная плазма.

Если частицы приобретают энергию под действием электро­ магнитного поля или ударной волны, то может не быть и частич­ ного равновесия. Теряет смысл само понятие температуры.

12

Однако в этом случае пользуются иногда понятием эффективной температуры, равной средней энергии, приходящейся на две сте­ пени свободы частицы. В ударной волне все частицы набирают одинаковую скорость и, следовательно, эффективная температу­ ра возрастает с их массой.

ный слой является оптически тонким, если оптическая толщина слоя t мала, т. е.

где I — средняя длина свободного пробега фотона в плазме; R [ — толщина плазменного слоя. В случае обратного неравенст­ ва плазма является оптически плотной. Отметим, что сущест­ вует некоторая определенная связь между оптической толщиной плазмы и степенью ее термодинамической неидеальности.

§ 2. СТЕПЕНЬ «УПОРЯДОЧЕННОСТИ» ПЛАЗМЫ

Вдостаточно большом объеме V плазма электронейтральна.

Впротивном случае она неустойчива. Условие электронейтраль­ ности имеет вид

ронейтральности нарушается. Точнее, характерный размер элек­ тронейтральности плазмы определяется радиусом экраниро­

говорят не о нейтральности плазмы, а о ее к в а з и н е й т р а л ь ­ ности.

До сих пор мы обсуждали плазму как систему точечных за­ ряженных и нейтральных частиц. В реальной плазме всегда имеется взаимодействие между частицами, которое усложняет само понятие частицы. Пусть в некоторой точке объема, содер­ жащего плазму (лучше сказать, области), имеется неоднород­ ность в распределении заряда, например избыток положитель­ ного заряда. Тогда электроны, которые весьма подвижны, будут стремиться попасть в эту область для восстановления электро­ нейтральности. В результате положительный заряд экранируется электронным облаком. Медленно движущийся ион с электрон­

частицами ослаблено. Характер экранирования и его эффект зависят от состояния плазмы — ее температуры и плотности.

Оценим эффект экранирования в случае системы медленных частиц. Характерную длину экранирования можно оценить, рас­ сматривая реакцию системы электронов на статический положи­

13

тельный заряд q. Пусть этот заряд находится в начале коорди­ нат. Тогда можно написать уравнение Пуассона для электро­ статического потенциала ф(г), действующего на заряженные частицы вдали от начала координат и обусловленного наличием заряда q, а также изменением плотности плазмы в окрестности этого заряда:

Рассмотрим два случая:

1) реакцию системы, представляющей собой квазиклассическую разреженную плазму, которую в дальнейшем будем назы­ вать д е б а е в с к о й ;

2) реакцию вырожденной плотной плазмы, для которой мал

Во втором случае параметр г|кв также мал [см. условие (1.14)], тогда, записывая плотность электронов в приближении Тома­ са — Ферми, имеем:

где по — равновесное значение плотности электронов.

Подставив формулы (2.5) и (2.7) в уравнение Пуассона (2.2), получим уравнение

14

величину для квантовой плазмы lF можно назвать д л и н о й э к р а н и р о в а н и я Ферми.

Отметим, что в электронном газе, плотность которого близка к значению, характерному для металлов, потенциальная энергия на частицу е2/г0 сравнима с кинетической энергией на частицу, так что lF~ r Q. Следовательно, экранирование очень эффективно в представляющей физический интерес квантовой плазме.

Для простоты выкладок выше рассмотрена реакция системы электронов на положительный заряд q. Обобщение задачи на случай реакции многокомпонентной плазмы не представляет ни­ какого труда. Так, для многокомпонентной дебаевской плазмы

Для практических расчетов удобно пользоваться следующей простой формулой:

где Т — температура, °К; tii — плотность, см-3.

Предыдущее рассмотрение может вызвать ряд естественных вопросов. Почему, например, была рассмотрена лишь полностью вырожденная плазма при Т = 0 во втором случае? Во-первых, обобщение на конечные температуры в приближении Томаса — Ферми не представляет большого труда. Во-вторых, если инте­ ресоваться низкотемпературной вырожденной плазмой, когда %Т/еР<С 1, то это сделать еще легче. Но для низкотемпературной плазмы уже приближение Т= 0 является достаточно хорошим в таких оценках. Физически это можно объяснить тем, что при тем­ пературах, соответствующих нескольким десятым электронвольта (1 эв~ 11 600°К ), возбуждается лишь малая доля элект­ ронов *.

Далее, имеет ли смысл решать уравнение Пауссона без ли­ неаризации, приводящей к линейному уравнению (2.8)? Кстати, такие работы без линеаризации с численным решением нели­ нейного уравнения Пуассона иногда появляются в печати. Мож­ но утверждать, что такие работы вряд ли имеют физический смысл. Дело в том, что уравнение для потенциала ср (г) есть уравнение для среднего значения потенциала. Нелинейность же уравнения для <р(г) означает, что в левой части его проводится усреднение ср(г), а в правой — функции от <р(г). Поскольку среднее от функции отнюдь не равно функции от среднего, то указанные выше работы неверны, если при этом нет специаль­ ного доказательства малой роли флуктуаций.

* Отметим, что температура вырождения для электронов в металлах по­ рядка нескольких электронвольт.

15

Наконец, хотелось бы предостеречь также от довольно рас­ пространенной ошибки, заключающейся в том, что в некоторых работах как по термодинамике, так и по кинетике плазмы по­ тенциал ф(г) рассматривается как потенциал парного взаимо­

/ г

г\ ч.

\ч^ /

0<V<VT

ленно меняется в пространстве. Если заряд покоится, то поля­ ризация сферически симметрична. При рассмотрении экраниро­ вания прямолинейно и равномерно движущегося заряда со ско­ ростью у< с, где с — скорость звука в плазме (vT~ c , где vT— тепловая скорость частицы), качественно картина остается прежней, но меняется форма поляризационного облака, которое движется вместе с зарядом (рис. 2). Форма поверхностей рав­ ных плотностей представляет собой сплющенные в направлении движения заряда эллипсоиды вращения с соотношением осей

1 :1 /1 / (vT/v)2—1 (v<vT). При v > v T характер поляризации резко меняется: появляется возбуждение продольных волн, т. е. объемных колебаний плазмы. Эффект напоминает эффект Вави­

продольных, а не поперечных колебаний, как это имеет место в эффекте Вавилова — Черенкова.

Поляризация при v > v T знакопеременна и обладает в конусе периодической структурой (рис. 3). Если перейти к системе ко­

16

Г л а в а в т о р а я

ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННАЯ ПЛАЗМА.

ЗАРЯЖЕННАЯ КОМПОНЕНТА

§ 3. ПОЧТИ ИДЕАЛЬНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ПЛАЗМА (ЭЛЕМЕНТАРНОЕ РАССМОТРЕНИЕ]

Задача вычисления термодинамических функций может быть решена точно лишь для полностью идеальной плазмы, когда можно пренебречь взаимодействием частиц в системе. Тогда плазму можно рассматривать как смесь идеальных газов: элек­ тронов, ионов и нейтральных частиц. При этом свободная энер­ гия полной системы аддитивно складывается из соответствую­ щих значений свободной энергии для отдельных компонент плазмы. Система хорошо описывается элементарной кинетиче­ ской теорией газов.

При достаточно высоких температурах и низких давлениях (разреженный газ) система проявляет обычные свойства клас­ сического газа: теплоемкость Cv не зависит от температуры, в случае газа фермионов (частиц с полуцелым спином) спиновая восприимчивость обратно пропорциональна температуре, т. е. подчиняется закону Кюри и т. д. При увеличении давления и понижении температуры до известных пределов (см. первую глйву) плазма остается в состоянии, близком к идеальному, од­ нако относительная роль потенциальной энергии возрастает и плазма становится почти идеальной или слабо неидеальной.

Если взаимодействие еще несильное и выполняется крите­

возможно с заданной точностью. При этом неидеальность плаз­ мы можно учесть в виде поправок к термодинамическим функ­ циям идеального газа. Согласно § 1, неидеальность частично ионизованной плазмы начинает проявляться раньше по заря­ женной компоненте, чем по нейтральной (при пропорциональ­ ном увеличении плотности) из-за дальнодействующего характера кулоновских сил. Если плазма слабо неидеальна, то свободную энергию по-прежнему можно считать аддитивной и исследовать заряженную и нейтральную компоненты как две статистически независимые подсистемы.

Рассмотрим сначала подсистему заряженных частиц в де­ баевском приближении. При рассмотрении дебаевской плазмы, определенной в § 1, будем учитывать лишь первую поправку в термодинамических функциях по малому параметру т], которую

18

получим путем простых рассуждений. В дальнейшем найдем и следующие члены разложения по параметру ц, но это уже не столь простая задача.

Итак, разность введенного в § 1 потенциала <р (г) и куло­ новского потенциала для частицы с зарядом Ze на малых рас­ стояниях (заряд находится в начале координат)

Высшие члены разложения по малой величине кг исчезают при /■-*-0. Таким образом, электростатическое взаимодействие соз­ дает в точке, где находится частица, добавочный отрицательный потенциал, равный —Zex. Если умножить эту величину на за­ ряд частицы и просуммировать по всем частицам в единице объема, то в результате получим

(1/2 появляется ввиду того, что каждую пару взаимодействую­ щих частиц следует учитывать один раз). Полученная плот­ ность электростатической энергии Екул такова, как если бы все частицы притягивались друг к другу на расстоянии 1в ==к~'. Отметим, что знак Екул отрицателен, так как каждая частица создает вокруг себя облако зарядов противоположного знака. Величина к2 определяется формулой (2.11), тогда

где е — внутренняя энергия системы. Тогда для свободной энер­ гии системы в единице объема получим

(3.5)

где F ид •— свободная энергия идеального газа в единичном

объеме. За нижний предел принято значение р=1/%Г = 0, что физически соответствует бесконечному отношению кинетической энергии на частицу к потенциальной энергии на частицу, т. е. случаю идеального газа. Для полной свободной энергии системы объема V имеем

19