книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

п, п2 т

Рис. 9. Схема переходов для линии Нр атома водорода в неод­ нородном электрическом поле.

изменения интенсивности в максимумах Д /= (/Син—/кр)//син и соответствующие экспериментальные значения, а также сдвиг максимумов относительно центра линии (АХ) [7].

Зависимость А/ от плотности я* в интервале 1016—1017 см~3 оказывается удобной для практического использования моно­ тонной функцией. Следует отметить, что относительное измене­ ние интенсивности в максимумах крайне слабо зависит от спо­ соба усреднения. Поэтому метод измерения плотности по асим­ метрии линии Нр может оказаться более перспективным, чем метод диагностики плазмы по ширине линий, учитывая неточ­ ность измерения последней и несовершенство существующих теорий для ширины линий при умеренных плотностях плазмы. В работе Грима [15] делается попытка объяснить асимметрию водородных линий с помощью квадратичного штарк-эффекта. Очевидно, что квадратичный штарк-эффект дает вклад следую­ щего порядка по отношению a0IR0 по сравнению с квадрупольным членом и не является основным эффектом.

Изложенная теория не позволяет судить о центре линии, но это нас не интересует, поскольку максимумы интенсивности рас­ положены достаточно далеко от ее центра, так что отношение

В только что рассмотренной теории возмущающими «агентами» являются ионы водорода. Обобщение на случай других плазм, представляющих смесь водородной плазмы с другими газами, не представляет труда. Можно использовать небольшую при­ месь водорода в «чужой» плазме для ее диагностики.

Двухчастичная функция Грина и ширина спектральных линий атомов и ионов в плазме

В настоящем разделе распространим метод функций Грина на случай вычисления ширины спектральных линий в плазме с учетом корреляции заряженных частиц [8]. Такой подход, повидимому, наиболее корректен. Удобство метода состоит в воз­ можности суммирования бесконечного числа существенных чле­ нов, необходимость учета которых обусловлена наличием дальнодействующих кулоновских сил.

Уширение атомных спектральных линий. Рассмотрим систе­ му, состоящую из электронов, ионов и пробного атома А, нахо­ дящуюся в единичном объеме при температуре р-1. Гамильто­

ниан плазмы Нпл можно записать в представлении вторичного квантования в виде

121

ской энергии электронов и ионов соответственно.

Энергия взаимодействия атома с заряженной частицей +2с, находящейся на расстоянии R от атома, в дипольном прибли­

= e/R — кулоновский потенциал. Для дебаевской плазмы U мож­ но считать возмущением. Вероятность безрадиационных перехо­ дов атома А при его взаимодействии с плазмой вычислим в борновском приближении, критерий применимости которого имеет вид [9]

| и (R) | < hv/R.

В случае дипольного взаимодействия атома с плазмой это нера­ венство можно записать следующим образом:

e2/hv < R/ant

где R — характерное расстояние между частицами; ап — размер

вательно, борновское приближение можно использовать не только для высокотемпературной плазмы, но и для низкотемпе­ ратурной дебаевской плазмы в случае, когда возмущение обусловлено действием электронов.

Вероятность того, что под действием возмущения плазма пе­ рейдет из состояния п в т , а атом из состояния к в / , есть

w = — |< т , / | и | п, к> |2 б (Ет— Еп -| - ек — + e6g'), (11.15)

П

122

где б-функция выражает закон сохранения энергии; egg' — изме­ нение движения центра масс.

Матричный элемент перехода

Г . dU

М = <ш , / I и I п, k > = J фг -Q^V/-4i — ne]mindr,

4>к

где ф* и фк — волновые функции атома в состояниях / и k; d —

дипольный момент атома. Записывая плотность п во вторичном квантовании, получим в ^-представлении

где й — термодинамический потенциал плазмы; цг-, ц ,— химиче­ ские потенциалы ее ионной и электронной компонент. Тогда ве­ роятность перехода можно представить в виде

При интегрировании W q по q получаем полную вероятность пе­ рехода к-»-/ или обратное время жизни в состоянии к по отно­ шению к такому переходу, что и определяет ширину линии

(к—>- /):

Соотношения (11.18) и (11.20) определяют вероятность безрадиационных переходов атома в плазме в борновском прибли­ жении. При температуре, значительно меньшей потенциала иони­ зации атома, борновское приближение несправедливо для ионов и их действие на этом следует учитывать квазистатически. Тогда

123

члены, учитывающие изменение состояния ионов, в выражениях (11.16) — (11.20) следует опустить и можно пренебречь изме­ нением энергии поступательного движения атома egg' вследст­ вие электронного удара. Для нахождения функции Фч(со) можно выразить ее через двухчастичную временную функцию Грина

ражается через корреляционную двухчастичную функцию, ко­

которой координаты и времена операторов ф и ф+ попарносовпадают. Вместо К удобно рассматривать запаздывающую функцию ^(q, о)), аналитическую в верхней полуплоскости пе­ ременной (о. Тогда [10]

Функция К является аналитическим продолжением темпе­ ратурной корреляционной функции /С(q, т) на верхнюю полу­ плоскость переменной и. Зная ^(q, со) на действительной оси, можно по формуле (11.21) найти Фд(со). Отметим, что способ вычисления вероятности перехода, при котором взаимодействиеатома с плазмой рассматривается как парные столкновения электронов с атомом, соответствует тому, что при вычислении функции К учитывается лишь простейший график типа петли

где Hp=exp[p(p—ep)] в случае статистики Больцмана.

Для правильного учета «парных» взаимодействий в случае кулоновских сил следует суммировать бесконечную цепочку из

124

сравнению с q2. Это соответствует приближению чисто парных

членом, пропорциональным л2, в случае дебаевской плазмы мож­ но пренебречь. Поэтому

Для получения полной ширины уровня ук следует просумми­ ровать выражение (11.29) по всем конечным состояниям I, для

которых матричные элементы Мг_к отличны от нуля:

что согласуется с известной формулой Эльверта [14].

В обратном предельном случае, когда Йсок, г'Ср-1, выраже­ ние (11.29) логарифмически расходится и следует учитывать экранирование заряженных частиц в плазме, т. е. корреляцию

125

заряженных частиц. Математически это выражается в учете це­ почки из электронных петель

(q* + »2»y

При cok,iC(oP, где coP — ленгмюровская частота,

yk ; = — 4h~2 (2лпфпе*)'и \ Mk, , |2 {1 + C -f 2 In (fto>pP) — 3 In 2} (11.33)

(C = 0,5772 — постоянная Эйлера).

Формула (11.33) в отличие от имеющихся в литературе фор­ мул для ударной ширины атомов в плазме дает точное выра­ жение обрезания под логарифмом на плазменной частоте м,,.

мической точностью согласуется с известным выражением для сечения неупругого рассеяния быстрых электронов на атоме, в котором величина под логарифмом является неопределенной [9]. Формула (11.33) может быть использована при расчете ударной электронной ширины отдельных штарковских компонент в низко­ температурной плазме, когда штарковское расщепление вызыва­ ется квазистатическим действием ионов. При этом заселенность штарковских компонент можно считать равномерной и при под­ счете полной ширины ук больцмановский фактор [в отличие от

быть использовано, например, в задаче вычисления проводимо­ сти частично ионизованного газа.

Уширение спектральных линий ионов. Если рассмотреть си­ стему, состоящую из электронов, ионов и излучающего иона А с зарядом Zb находящуюся в единичном объеме при заданной температуре р_|, то эту задачу можно решить столь же строго. Однако вычисления более сложны по сравнению с изложенными выше, поскольку плазма находится в кулоновском поле выделен­ ного иона А. В связи с этим возникает трудность, обусловлен­ ная тем, что двухчастичная функция К уже не является функ­ цией разности координат. Однородность же функции К по вре­

126

мени, т. е. зависимость К от t\—12 остается в силе. Не будем выписывать здесь достаточно громоздких формул, получающихся при вычислении ук, Читатель может познакомиться с этим вы­ числением в Приложении IV.

Атом водорода во вращающемся электрическом поле

Оказывается, что важную роль в уширении спектральных линий играют эффекты вращения возмущающего поля. Инте­ ресно рассмотреть эти эффекты отдельно на модельном приме­ ре излучения атома водорода, помещенного во вращающееся по­ стоянное электрическое поле F. Решение этой задачи с исполь­ зованием свойств четырехмерной симметрии атома водорода (так называемой симметрии Фока) позволяет выявить влияние эффектов вращения на характер штарковского уширения водо­ родных линий в плазме, ибо возмущающая атом заряженная ча­ стица является источником поля F.

Пусть поле F вращается вокруг оси oz в плоскости хоу с постоянной угловой скоростью Q. Если рассматривать ансамбль атомов, излучение которого изотропно, то для интенсивности

{. . . .}Ср означает усреднение по ансамблю излучающих атомов. Введем вращающуюся систему координат x'y'z' (z'=z), ось ох' которой в любой момент времени направлена вдоль F. Вол­

Видно, что во вращающейся системе координат имеются элект­ ростатическое (dxF) и «магнитное» (hLzQ) взаимодействия.'По­ следнее следует из очевидной аналогии между взаимодействием атома с внешним магнитным полем и взаимодействием hLzQ, так что третье слагаемое в гамильтониане (11.36) можно рас-

127

сматривать как взаимодействие с эффективным магнитным по­ лем напряженностью Яэфф, возникающим во вращающейся си­ стеме координат:

на к нахождению уровней энергии и волновых функций атома водорода во взаимно перпендикулярных электрическом и маг­ нитном полях.

Возможность точного решения этой задачи основана на ис­ пользовании специфического для водорода вырождения по ор­

За эффекты уширения линий ответственны состояния с фикси­ рованным главным квантовым числом п. Но, как известно, имен­ но для таких состояний и возможно использование свойств сим­ метрии атома водорода (отвечающих группе вращений 0 4). Вве­ дем новые операторы момента:

Дальнейшее решение состоит в построении волновых функ­

обычных «параболических» функций и п, ц, i2(ir, i2— квантовые

128

АЕ = (п' + п") П | со, ,2 | = (п' + п") (1 + Х 2)'и П(о7е) F. (11.44)

Таким образом, результаты (11.42) и (11.44) позволяют опреде­ лить волновые функции, не прибегая к решению секулярного уравнения, а именно:

X (t) = un> n\ n"exp [i (гГ + n") (1 + X2)1/s] (a'/e) Ft. (11.45)

Полученные результаты позволяют записать выражение для /(со). Действительно, переходя в выражении (11.34) к вращаю­ щейся системе координат с помощью соотношения

где D^J (фь 0, ф2) — неприводимые представления трехмерной группы вращений; d{ — сферические компоненты вектора ди-

* Соответствующим ударному и квазистатическому пределам теории уши рения линий.