книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

резка обозначать

так же, как и сам

отрезок.

У'

У

Мг(хг;у2)

У fr/W

1

0

о

І

0 \

9

A>(xt;0)

0)

б)

6)

Рис. 6.

MtM2

= — хх

+ х2 —х2

— Х \ .

(1)

на

При

расположении точек М\

и М2,

представленном

рис. 6,6, получим

М{М2

= М2Мі

= М20

—

М , 0 =

— х2

— {— ж,) —

=

-

Х2

+

X , =

—

(Х2 — * , ) .

(1*)

Из

определения

абсолютной

величины

числа

следует,

что

— \ х 2 — х \ ) =

\х2

— хі\.

Заметив,

что

в равенстве

(1)

разность

х2

— Хі

положительна,

и

потому

х2

— х\

=

=

\х2

— х\\,

заключаем,

что формулы (1) и

(1*) могут

быть объединены одной

формулой

М,М2

=

\ х 2

-

х^.

'

(2)

Нетрудно

убедиться

(предоставляем

сделать

это

чи­

но

друга и относительно

начала

координат

точки

Мі

и

'М2

(при условии у2 = і/і =

0).

На

рис. 6, в изображен

случай, когда точки М1

и

М2

лежат

на прямой параллельной

оси Ох (в

этом

случае

Уі = £/г¥= 0).

Из

указанного, рисунка

следует,

что

MlM2

= N1N2

= \ х2

—

Х І \ .

Очевидно,

что

расстояние

между

точками

М\

и

М2,

лежащими на

оси

Oy

или

на

прямой,

параллельной

ей,

и имеющими соответственно ординаты уі

и

у2,

выра­

зится формулой

ЛГі'ЛГ2 =

| Уг — Уі |.

(2*)

2. Если х2

ф Х\ и у2ф

у и то

прямая,

проходящая

через точки М\ и М2,

не

параллельна

ни одной из

осей

координат (рис. 7).

Мі

и М2

Проведем

через точки

прямые,

параллель­

этих

прямых

обозначим

через

R; координаты

ее,

как

это

легко

видеть,

будут

(х2;у[).

По формулам (2) и (2*) най­

дем .

M{R

=

\ х2

— Xi I,

RM2

= \ г/г - у, |.

Из

прямоугольного

тре­

угольника

MiRM2

имеем

MlM2=V(MlR)i

+

(RM2f;

Рис.

7.

подставляя

сюда

значения (Л^/?)2 и

{RM2)2,

выражен­

тельно

получаем

М\М2

=

Ѵ(*2 -

*і)2 +

(У2 -

УІ)2-

(3)

Под радикалом в формуле (3) вместо суммы квад­

ратов

а б с о л ю т н ы х в е л и ч и н

разностей х2

— Х\ и

у2 — у\

мы поставили

сумму

квадратов

с а м и х

р а з н о ­

с т е й ,

так как квадрат абсолютной величины числа ра­

вен квадрату самого

числа.

В

формуле

(3) радикал

берется со

знаком

'+', так

xi

=

Уі =

Ö, x2

=

X, y2

=

у ,

получим

П Р И М Е Р .

Найти точку, отстоящую на одинаковых расстоя­

ниях

от трех

данных

точек: Мі (1;2);

М2 (—1;—2); ЛІ3 (2;—5).

е е

Р е ш е н и е .

Найти точку — это

значит о п р е д е л и т ь

к о о р д и н а т ы .

Обозначим искомую точку через M и ее коорди­

наты

через

X, у.

Значит,

нам

надо

определить два

неизвестных:

X

и

у, для

чего

требуется

составить

два

уравнения,

которые

мы

и найдем, используя условия задачи.

Эти

условия дают два

ра­

венства

МіМ = М2М

и

М2М =

МЬМ.

По формуле

(3)

имеем

Ѵ{х - I ) 2 + (у - 2)2 = Ѵ(х + I ) 2 + (У + 2)2 ,

Ѵ(х

+

I ) 2 +

(у +

2)2

= К ( д : - 2 ) 2

+ (// +

5)2 .

Решив

эти уравнения,

найдем

х

8_

4_

Следовательног

3 '

3"

искомая точка

есть

M I

§

4. Деление отрезка в дан­

ном отношении. Под этим по­

нимается

следующая задача.

Даны

две точки:

М\{х\\у\)

и М2{х2\у2)

(рис.

8).

Третья

точка

М,

координаты

которой

неизвестны,

делит

отрезок

М\М2

м,м

так, что отношение м м •

равно данному числу X. Требуется

найти

точку

М(х,у),

т. е. требуется найти ее координаты х,

у.

Из элементарной геометрии мы знаем, что отрезки

М\М,

ММ2,

N\N

и NN2,

заключенные

между

параллель­

писать, учитывая условия

задачи,

ММг —

NN2 ~ А '

Но по формуле

(1) имеем

NiN

=

I

X —

X, I,

NN2

=

I

х2 —

X \.

-

Так

как

искомая точка

M

лежит

на

отрезке

М\М2

между

точками Мх

и М2, то

при

любом

положении

то­

чек

Мі

и М2

разности х — хх

и х2

— х либо одновремен­

но

о б е

п о л о ж и т е л ь н ы ,

либо

о б е о т р и ц а т е л ь -

н ы. Поэтому

отношение

МіМ

N^N

x - x i

ММ2

NN2

Х2 — Х

откуда найдем абсциссу х точки М:

X, +

Хх2

(4)

1 4 - Я '

В частности,

е с л и т о ч к а

M д е л и т о т р е з о к

М ( М 2

п о п о л а м ,

то

^ — • ^ ^ • =

Ь

и

формулы (4) и (5)

при­

нимают вид

x = £ l + £ l ,

(4*)

у=^±У^.

(5*)

П Р И М Е Р

1.

Найти точку

M

(х;

у), делящую отрезок

между

точками Мі (2; 3)

и

М2 (3; —3)

в отношении 2

Р е ш е н и е ,

В

данном случае

% =

-^,

xt

«= 2,

#2 • = 3,

# і = 3 ,

1/2 = — 3.

Формулы

(4)

и

(5)

дают

2 + -

16

3 + у . ( - 8 )

X =

•

1 + 2 .

7 .»

7*

1

+

^

5

Итак,

искомая

точка есть

П Р И М Е Р

2.

Доказать,

что

прямая,

соединяющая

середины

двух

сторон

треугольника,

параллельна

третьей

стороне.

Р е ш е н и е .

Расположим

оси

координат

так,

чтобы

начало

координат совместилось с одной из вершин

треугольника, а

ось

Ох

совпала

с

одной

из

его

сторон,

прилегающих

к

этой

вершине

(рис.

9). Вершины

треугольника

будут:

О (0;0),

A

(*і; 0),

В

{хц

уг).

Прямая

CD

соединяет

середины

сторон OB и AB. Требуется дока­

зать,

что

CD

параллельна

OA,

т. е. параллельна оси Ох, а для

этого достаточно показать,- что ор­

динаты точек С и D равны. Орди­

наты .ус

и уо

точек С и D

опреде­

лятся

по формуле (5*)

„

— J L ± J L =

у*

УС

2

2

Рис.

9.

„

0 +

Иг

_

Уг

yD

2

2

Следовательно,

у с —

уо,

т.

е.

прямая

CD

параллельна

сто­

роне О fi.

M , (дг,; у,)

уі),

П Р И М Е Р

3. На

две материальные

точки

и ЛМЗД

массы

которых

равны

соответственно

m t

и

Шг,

действуют

силы

тяжести. Найти координаты центра тяжести

этой системы.

. .

Р е ш е н и е .

Как

известно

из

механики,

центр

тяжести

нахо­

дится

на

отрезке

JMS AJ2

В

точке

М(х;у),

делящей этот

отрезок

тяжести, т. е.

в отношении

X =

- O T 2 g

= - ^ - ,

где

g — ускорение

mig

mi

силы

тяжести. Принимая это

во

внимание,

находим

по формулам,

(4) и

(5)

X

—

У 1 +

^ Г У

г

1 + J Ï Ï L

m,

mi

или

У _

пііуі

+

т2уг

У П Р А Ж Н Е Н И Я

1. Построить точки, заданные координатами:

у = — 4;

Х = 3, // = 5; х = — 2 ,

г / =

0; х = 2,

х = 0,

у =

3;

х =

3,

у =

— 3;

х = Ѵ~2,

tj=\.

2.

Дана

точка

с

координатами

х

=

4, у = —3.

Найти

коорди­

наты

точки,

симметричной

с

данной

относительно:

1) оси

абсцисс;

2) осп

ординат.

Отв. I)

(4;3); 2)

( - 4 ;

- 3 ) .

Отв.

(0;

0);

(3;

0);

(3;

3);

(0;

3);

или

(0;

0);

(0;

3);

( - 3 ; 3);

( - 3 ; 0);

или

(0;

0);

( - 3 ; 0);

( - 3 ; - 3 ) ;

(0; - 3 ) ;

или

(0;. 0);

(0;

- 3 ) ;

(3;

- 3 ) ;

(3;

0).

Отв. ( 2 / 1 ;

0);

(О;

2 / 1 ) ;

( — 2 / 1 ; О); (О; — 2 / 1 ) .

в. Дан ромб, сторона которого

равна 5 единицам длины, а одна

вз

диагоналей — 6

единицам. Найти координаты вершин этого ром­

ба, если за оси координат принять его диагонали.

Отв. (3,0);

(0;

4); ( - 3 ; 0);

( 0

; - 4 ) ;

или

(4, 0);

(0;

3);

( - 4 ; 0);

(0;

—3).

7. Найти координаты вершин правильного шестиугольники, Сто­

рона которого

равна

а,

при условии', что начало координат поме­

8.

Найти

периметр треугольника,

вершинами которого являются

точки

(3;

4),

( - 2 ^ 4 ) ,

(2; 2).

Отв.

5 +

3 / 5 .

9.

Найти периметр четырехугольника, вершинами которого яв­

ляются

точки

(2;

(—2; 8), (—6; 5),

(—2j —2).

Отв.

1 0 +

2 К 65.

10.

Найти

периметр четырехугольника, вершины которого лежат

в точках

(—а;

0),

(0;

Ь),

(а;

0),

(0;

—Ь).

Отв.

aVa2+b2.

11. Доказать, что треугольник, имеющий своими вершинами точ­

ки

(—3;

—2),

(1; 4), (—5; 0), равнобедренный.

12.

Показать,

что

треугольник,

вершинами

которого являются

точки (—1; 1),

(1; 3),

(—ѴЗ;

2 +

К з ),

равносторонний.

13.

Показать,

что

треугольник,

вершины

которого

расположены

в точках

(1; 2),

(3; 4), (—1; 4),

прямоугольный.

14.

Показать,

что

точки

(8;

0),

(0; —6), (7; —7), (1; 1) лежат

на

окружности,

центром

которой

является

точка

(4;

—3).

Чему

равен радиус

окружности?

Отв. 5.

15.

Найти

точку, равноудаленную от точек (0; 0), (1; 0), (0; 2).

16.

Найти

точку,

равноудаленную

от точек

(—4;

3),

(4;

2)t

° Т в -

( і 8 ;

Щ-

17.

Найти

точку,

равноудаленную от точек

(1;3),

(0;6),

(—4;

1).

п

(

7

3

1 2

3

\

° Т в - { - 34 ;

- S T ) '

18.

Найти

центр

окружности,

проходящей через

точки

(0;

0),

(4; 2), (6; 4).

Отв. (—3; И ) .

Ох

(4;

19.

Найти

на

оси

точку,

равноудаленную

от

точек

(0;

5)

и

2).

20.

Найти точки,

отстоящие одновременно на

5 единиц

длины

от точки ( I ; 3)

и на 4 единицы

от оси Oy.

Отв. (4; 7);

(4; - 1 ) ; ( - 4 ;

3).

21.

Точка,

двигаясь

прямолинейно,

переместилась

из

точки

А(—3;

—2) в точку

ß ( 4 ; 5). Определить величину

пройденного пути

и угол ф наклона траектории точки к оси абсцисс.

—

Отв. AB =

7 VI,

<р =

45°.

22. Определить

положение

точки,

которая,

выйдя

из

точки

Отв. [9; 2 ( 1 + 3 Ѵ ъ ) \ [ - 3 ;

2 ( l - З Ѵ Т ) ] .

23. Найти

точку, делящую

отрезок между точками Рі (—2; 3)

и Рг (4; 6) в отношении 2 : 3.

<*«• ( ! • •

f ) •

25.

Точка

(1;

1)

делит пополам

отрезок, заключенный

между

' точками

5)

и

(—2;

у).

Найти эти

точки.

Отв. (4; 5); ( - 2 ;

- 3 ) .

26.

Разделить

отрезок,

заключенный между точками (Oj

2) и

точек от начала координат.

Отв. (0;

6).

А (3;

28. Две

вершины треугольника лежат

в

точках

7)

и

В (—2; 5). Найти координаты третьей вершины

треугольника

при

условии, чтобы середины проходящих через нее

сторон лежали

на

осях координат.

Отв. (—3; —5) или (2; —7).

29. Даны

точки

А (1; —1) и В (4; 5).

До какой

точки

нужно

продолжить

отрезок

AB (в направлении

от

А

к В),

чтобы

полу­

отрезка

AB?

Отв. (10;

17).

30. Найти

длины медиан треугольника, вершины которого лежат

в точках

Л(3;

4), В(—1;

1), С(0; —3).

Ога.

±Vb\

у / 2 6 ;

\ѴШ.

31. Вершинами

треугольника

служат

точки Р і ( 1 ; 2), Рг(3;

—4),

•Рз(5; 5)

. Найти точку пересечения медиан этого треугольника.

Отв. (3; 1).

32.

Найти точки, разбивающие на три-равные части отрезок, за­

ключенный между точками Мі(—3; —7)

и Мг(10;

2).

0 г а .

_ 4 ) ,

( » , - , ) .

33.

Вершины треугольника

лежат

в точках

(5; 0), (3;

—8),

пендикулярны к стороне ОС. Серединой

стороны

AB служит

точ­

ка D. Доказать, что

OD = CD.

36. В точках А(4; 6). и

В(—2; 7)

помещены

грузы

соответ­

ственно в 60 и 40

г. Найти

координаты

центра тяжести

этой

си-,

стемы.

метрии.- Решение этой задачи мы

начнем применительно

к простейшей линии, именно, к прямой.

2. Рассмотрим точку М(х;у),

перемещающуюся по

плоскости хОу; будем

называть

такую точку перемен­

ной. Ясно, что при каждом определенном

положении

точки M на плоскости

ее координаты (х; у)

будут иметь

зом, координаты переменной точки являются

величи­

нами переменными; поэтому их называют

текущими

координатами.

3. Построим биссектрису угла хОу (рис.

10). Бис­