Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

5) найти предел отношения при Ах—•(); этот

предел H дает искомую производную.

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих общее правило дифференцирования. Условимся значение функ ции у, соответствующее значению аргумента х — с, обо

значать СИМВОЛОМ		ух=с-		производную				функции	у =	х2
П Р И М Е Р	1.	Найти
при значении	х =	3	(в точке х =			3).
Р е ш е н и е . 1)				# х = з = 32			= 9 ; '
	2)	Ух=3 +		Ау =	(3 +		Ах)2;
	3)	г/л.=з +		А// =	9-г-6А.ѵ + (А.ѵ)2
			-'4=з	=	9
				Ay =	6 Ах + (Ал;)2;
	5)	у'	=	lim (6 +		Ах) =		6.
	2.	Найти		Дх->0				функции	у =	хъ
П Р И М Е Р				производную
в любой точке X (при любом значении								аргумента х).
Р е ш е н и е . Так			как значение			функции у при			любом
значении аргумента			х определяется				равенством		у —	х3,

то первая операция сводится к тому, что мы просто на пишем

1)	у	=*3;
2)	у + Ау = (х +		Ах)*;
3)	у-\-Ау	— хг-\-	Зх2 Ах - f ЗА: (АХ)2 + {Axf
	У

	Ау — Зх2	Ах +	Зх (Ах)2 + (Ах)3 ;
4 ) й£.=	з*д + з(д)*+(д^ ^ + з л Д л : +			*);
5)	lim 4 ^ =	I'm	[Зх2 + Зх Ax + (Ax)2 ] =	Зх2 .

*) Сокращение на Ах здесь вполне законно, так как в пятой опе^ рации предел отношения - ^ - ищется при Длг->0, а тогда, как из вестно, значение Ах — 0 из рассмотрения исключается (см, § 30). НО

П Р И М Е Р 3. Найти производную

функции у =

Зх2

в любой точке

= Зх2 + 5;

Р е ш е н и е. 1)

г/ +

Ау =

3(х

Ах)2 +

у + Д г / =

Зл;2 +

6л:Дх +

3(Ал;)2 +

Зх2

Ау — 6х Ах

-\- 3 (Ах)2;

4) ! f - =

6x +

3A*;

у' =

lim

4 ^ - =

(6А: + 3 Ах) —

6*.

П Р И М Е Р 4. Продифференцировать

функцию

у—-^-

Р е ш е н и е .

у = - ^ " ' .

У +

ЬУ=

{ Х

+ \

Х ) 2

с Ах (2х

ах)

аУ~~

(х +

Ах)2

X2 (х +

Ах)2

л\

—

А*

Н>

Ах ~

(х +

Ах)2

е\

Ау

2х

2с

у'=

hm - ^ - =

— с - г =

— - г .

П Р И М Е Р 5. Продифференцировать функцию г/=&л:+о.

Р е ш е н и е .

г/

—kx-\-b;

у +

Дг/ =

k (х + Ах) +

Ь;

</ +

Дг/ = /ел: +

е Ах + Ь

—kx

+ &

Ay =

Ах;

4 ) £ = «;

5)lim | f — « ,

так как k — величина постоянная.

141

В § 38 мы установили, что скорость изменения ли
нейной функции определяется величиной		коэффициента
k и поэтому есть величина	постоянная	для любого х.
В § 40 мы дали истолкование	производной любой функ

ции, как скорости ее изменения при данном значении х. Таким образом мы видим, что найденный сейчас резуль

тат

вполне

согласуется

заключением,

полученным

38.

Найти

/'(2)

/'(—-3)

для

функции

П Р И М Е Р

/ (.ѵ) =

З.ѵ2 - j -

5 (т. е. найти

производные

данной

функции

в точках X =

2 и .ѵ =

— 3 ) .

Р е ш е н и е . В примере 3 мы нашли выражение,

опре

деляющее производную данной функции при любом

зна

чении

х:

Я' = / ' ( * )

= 6*.

Символ

(2)

выражает

значение

производной

функ

ции f(x)

при X =

Следовательно,

Г(2) =

6 - 2 = 1 2

и П — 3 ) =

6-(—3) =

—18.

3. В

последнем

примере

мы

нашли

производные

функции /(А") =

З Х 2

+ 5 в

точках

х =

и х =

— 3, под

ставляя

вместо

X сначала

число

затем

число

—3

выражение,

которое

определяет

производную

функции

f (х) =

Зх2 -(- 5 в

любой

точке

х.

Различным

значениям

отвечают

различные

значения

производной

f'(x)

б.ѵ;

значит, производная

f'(x)

функции

f(x)

Зх2

есть,

в свою

очередь,

ф у н к ц и я

от

х.

Таким

образом,

разыскание

о б щ е г о

выражения

для

производной

f'(x)

данной

функции

f(x)

при любом

значении х приводит к образованию по данной

функции

І(х) н о в о й

ф у н к ц и и

f'(x)

того же аргумента. В от

личие

от производной в данной точке, т. е. от производ

ной

п р и

д а н н о м

ч и с л е н н о м

з н а ч е н и и

а р г у

м е н т а

X эту новую

функцию f'(x)

называют

производ

ной

функцией.

Дадим

точное определение производной

функции.

О п р е д е л е н и е .

Пусть

функция

f(x)

определена

на

отрезке

[а, Ь] (или в

промежутке

(а, Ъ) ) и

имеет

каждой

точке этого

отрезка

(или

промежутка)

произ

водную.

Функция

f'(x),

значение

которой

при

каждом

данном

значении

х =

х0

равно

производной

f'(xo)

в точ

ке

X =

л'о

от данной

функции

f(x),

называется

произ

водной

функцией

от функции

}(х).

142

Отсюда		вытекает,	что п р о и з в о д н а я		в т о ч к е
есть	частное	значение	п р о и з в о д н о й	ф у н к ц и и .		На
ходя	производную при		любом значении	х,	мы тем	са

мым находим производную функцию от данной функ

ции. Выше,	в примерах 2, 3, 4 и 5	мы нашли	именно
производные функции от функций
у = х\	y = Sx2 + 5, у = ~ ,	y = kx + b.
Следует	заметить, что на практике всегда		бывает
ясно, о чем	идет речь: о производной	в точке или	о про

изводной функции. Поэтому при рассмотрении того или иного вопроса обычно говорят просто о производной данной функции.

§	42.	Наклон кривой. Касательная к кривой. 1. Угло
вой	коэффициент k		прямой, заданной уравнением у	=
— kx-\-b,		называют	еще наклоном прямой, потому	что

этот коэффициент определяет наклон прямой к оси абс цисс.

Понятие производной позволяет	определить	также
н а к л о н к р и в о й л и н и и . Но так	как подъем	кривой

изменяется от точки к точке, то, очевидно, определение наклона кривой не может быть отнесено к кривой в це лом, а установлено лишь применительно к данной точке

кривой.
Под	наклоном		кривой	в данной	ее точке понимают
угловой	коэффициент касательной,				проведенной	к	кри
вой в данной		точке.
Таким образом, для определения наклона						кривой
надо уметь по заданному ее уравнению y = f(x)						и	ко
ординатам		(х; у)	данной	ее точки	определить	угловой

коэффициент касательной, проведенной к кривой в этой точке.

Но что такое касательная к кривой?

2. В элементарной геометрии касательную к окруж ности определяют как прямую, имеющую с окружностью лишь одну общую точку. Однако это определение не яв ляется общим для произвольных кривых. В самом деле,

если, например,	попытаться	применить	это определение
к параболе у =	х2 (см. рис.	50), то в	начале координат

О обе координатные оси будут удовлетворять этому определению. Между тем очевидно, что на самом деле лишь ось Ох служит касательной к параболе в начале координат. Таким образом, указанное определение

143

касательной к окружности не может быть применено к произвольной кривой, и нам нужно дать общее опре

деление

касательной.

Для определения касательной в точке М0

данной

кривой

поступим следующим образом: возьмем на кри

вой

кроме

точки

.Wo

еще

точку

(рис. 48)

H проведем

секу

щую

МаМ.

Когда

точка M

пере

мещается вдоль по кривой, се

кущая

М 0

М вращается

вокруг

точки М 0 .

Рис. 48.

ке

Касательной

к кривой

в точ

М0 называется

предельное

по

ложение

М 0

Т секущей

М0М,

когда

точка

М,

переме

щаясь

вдоль

по

кривой,

стремится к

совпадению

с М 0 .

Если

кривая

задана

уравнением

= f{x),

то

для

проведения касательной к

ней

в точке M0(xG;y0)

доста

точно

знать

угловой

коэффициент

касатель

ной.

Посмотрим,

как

можно

найти

угловой

коэффициент

каса

тельной

кривой

точке MQ.

х0

Придав

абсциссе

точки

приращение

Ах,

перейдем

от

точки

М0

точке

аб

Рис.

49.

сциссой

х0

-f- Ах

ор

= {(xo'-fAx)

динатой

уо 4- Ау

(рис. 49).

Угловой

коэффициент t g a

се

кущей MQM определится из прямоугольного треуголь

ника

MQNM.

нем катет

M0N

равен

приращению

Ах

абсциссы

х0

точки

М 0

, а

катет

NM—

соответствующему

приращению ординаты

у:

Значит,

f(x0

Ах)

(х0).

T f T

„ _

д а

f (*о "Ь А*) — f (Хо)

Когда

точка

М,

перемещаясь

по

кривой,

стремится

к точке Mo, приращение Ах стремится к нулю. Поэтому для нахождения углового коэффициента касательной

144

нужно найти предел отношения при Ах —>0. Обо значая угол наклона касательной к оси Ох через ф, мы приходим, таким образом, к результату:

Ä«=tgq> =

-lim

4 ^ =

lim fto

**)-f(x4)m

Дх-»0 А

Дх-»0

ù x

Так

как

lim -^т

есть

производная

Г(х0 )

функции

у —

— f(x) при

значении

х — х0,

то

заключаем,

что

угло

вой

коэффициент

касательной

кривой,

заданной

уравнением

у — f(x),

точке

М0(х0;уо)

кривой

равен

значению

производной

(х)

функции

у =

f(x)

при

зна

чении

X =

XQ, T. е. k =

f' (Х0) .

коэффициент

касатель

Другими

словами,

угловой

ной

есть производная

точке

х0

от ординаты.

y*=f{x)

по

абсциссе

х.

Вместе с тем

мы решили

вопрос- и о нахождении на

клона кривой в данной ее точке, так как наклоном кри вой мы назвали угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке.

П Р И М Е Р	1. Найти наклон		кривой у =		х3	в точ
ке (2; 8).
Р е ш е н и е . В		примере 2 § 41 мы		нашли	производ
ную функцию от		функции у =	X 3 ,	а именно: у' =• Зх2.
Чтобы найти	наклон кривой в		точке,	абсцисса		которой

равна 2, подставляем в выражение, определяющее про

изводную функцию, вместо х число 2 и таким							образом
получаем
			е = г/' = 3 . 2 2 = 1 2 .
П Р И М Е Р	2.	Найти		уравнение	касательной		к	пара
боле у = X2	а)	в	точке	М 0 ^ - ;	б) в	начале		коор
динат.
Р е ш е н и е ,		а)	Уравнение касательной			как	прямой,

проходящей через точку М 0 ( - ^ ; - j j , напишем в виде

где k — наклон кривой, т. е. угловой коэффициент каса тельной. В силу геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной есть производная от

145

функции у = х2 в точке х — -^. Дифференцируя функ

цию у = X 2

по общему

правилу,

находим

производную

функцию: у'

2х. Следовательно,

k =

\ =

2 • \

= 1.

Таким

образом,

каса

тельная

параболе в

ее

точ

ке

Мо(д5

т )

определяется

уравнением

пли

4х -

Ау -

1 = 0.

Рис.

50.

Так

как

угловой

коэффи

циент касательной

равен

то

касательная

параболе

у=х2,

проведенная

точке (^,

~ j ,

образует

с осью

Ох

угол

в 45° (рис. 50).

б) В этом случае касательная, как прямая, прохо

дящая	через	начало координат,	определяется	урав
нением		у = kx,
		у = kx,
где k	найдется	как производная от функции у =		х2 в
точке	X = 0. Беря производную от		функции у = х2 , по
лучаем		г/ ' = 2 х .
		г/ ' = 2 х .

Положив здесь х = 0, определяем угловой коэффициент касательной

/г = 0.

Следовательно, касательная выражается уравнением

У = 0.

Отсюда видим, что касательной к параболе у — х2 в ее вершине является ось Ох.

3. В § 41 (пример 5) мы нашли, что производная

линейной функции у — kx	+	b	равна	коэффициенту k
при любом значении х: у'	=	k.	Этот	результат вполне
ясен с геометрической точка ^зрения:				производная есть

146

угловой коэффициент касательной к графику функции. Так как графиком функции y — kx-^-b является пря мая с угловым коэффициентом k, а касательная к пря мой, проведенная в любой ее точке, совпадает с самой прямой, то и угловой коэффициент касательной оказы вается в данном случае величиной постоянной, равной угловому коэффициенту k прямой.

§ 43. Связь между существованием производной и непрерывностью функции. Изучая понятие производной, мы до сих пор оставляли в стороне вопрос о том, при каких условиях с у щ е с т в у е т производная в данной точке. Оказывается, что функция может иметь произ водную при данном значении аргумента только в том случае, если она н е п р е р ы в н а при этом значении ар гумента. Это утверждение вытекает из следующей тео ремы.

Т е о р е м а .		Если функция		у =	f (х)	имеет		производ
ную f'(x0)	при	данном	значении		х =	х0,	то в	точке х0
функция	f(x)	непрерывна.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Так	как	f'(x^		— lim	т о >
по определению		предела,	разность

есть величина бесконечно малая при Ах—*0. Определяя из этого равенства приращение Ау, получаем

		Ay — ff(x0)	Алг-f-a	• Ах,		(15)
где	а -> 0, когда Ах —*• 0.		При значении х =		х0	произ
водная f'(xo)		есть величина		постоянная.	Значит,
f'(xQ)	• Ах-+0,	когда Ах—*0.	Таким	образом, при		Ах-+0

оба слагаемых правой части формулы (15) стремятся к

нулю. Следовательно,	и Д(/->0	при	Д х - * 0 . А это и зна
чит, что при данном	значении	х	функция	непрерывна
(см. определение непрерывности функции в				§ 37).
О б р а т н о е предложение		оказывается		неверным:

функция, непрерывная в данной точке, может не иметь производной в этой точке. В § 61 мы встретимся с та кого рода случаем. Однако на практике мы будем иметь дело главным образом лишь с такими непрерывными функциями, которые во всех точках имеют производные.

1 47

У П Р А Ж Н Е Н И Я

К § 37. Найти:

1. lim	Ѵх-2х	+	3
* - > 4	У~25 -	х2 +	I

п2 cos (л — х)

3.	lim	* 2 ~	1
4.	lim	*" ~	^ Х .

Ѵх - \

К§§ 39 и 40.

Отв. — V2-

Отв. 4.

Отв. 3.

5. Определить скорость движения точки в конце третьей се кунды, если путь в s метров, пройденный точкой в t секунд, выра

жается

так: &=

2t3 — 3.

Ore.

м/с.

— 4t + 5,

Когда скорость точки, движущейся по закону s =

равна

нулю?

Отв. При t =

Определить скорость изменения функции

у = Зха -

4х +

при

х =

— .

Ore.

Определить

среднюю

скорость

изменения

функции

= ха — 3

при

изменении

от х =

до х =

3,5

и найти

скорость

изменения

функции

при X =

2 и X =

3,5.

Отв. 5,5;

§§

42.

10. / ( х ) = 4 г .

Найти

П О ) ;

Г О ) ;

(-2);

Г ( ^ 2

Ore.

f (0) = 0;

(1) =

f ( - 2 ) =

( / F )

•= 2.

11.

/ (X) =

1 .

Найти

(2);

( -

± ) ;

( / 2 ) .

Ore.

f ( 2 ) = - l ;

Г (~

-j)

f 0^2 ) =

- 1 .

12.

Найти

производную

функцию

от функции

^ =

х2 + 1.

Ore.

^ =

2х.

148

13.	Найти		производную	функцию	от	функции
			у =	2х2 — Ах+		2.
Отв.	у'	=	4х — 4.
14.	Найти		производную функцию		от	функции # = —
Отв.	/	=

Применяя правило дифференцирования, найти наклоны ниже следующих кривых в указанных точках и построить в этих точках

касательные			к	кривым:
15. у		—	хг	— 4 в точке, абсцисса			которой		равна		2.
Отв. 4.
16. у		=	6 — хг		в точке, абсцисса		которой		равна		1.
' Ога.		—2.
	у =		2							—2.
17.			—	в	точке, абсцисса которой равна
			X
Отв.		-	- .
18. у =			X — X2		в точке, абсцисса		которой		равна		0.
Отв. 1.
19.	у =		— — -		в точке,	абсцисса которой равна 3.
Отв.		—	—.
20.	у =		-£ X2		в точке, абсцисса		которой		равна		4.
Отв.		4.
21. у =			X2	— 2х + 3 в точке, абсцисса				которой		равна 1.
Отв. 0.			9 — я 2		в точке, абсцисса		которой		равна		— 3 .
22. у		=
Отв.		6.		на	кривой у =	Зх3 — 4х2		точку, в		которой касатель-
23. Найти

пая к кривой образует с осью Ох угол — радианов.

24. К кривой, уравнение которой есть у = — 2 х 2 + 8х— 9, про ведена касательная, параллельная оси абсцисс. Определить коорди наты точки касания.

Отв. (2; —1).						у =	Ах2	+	Ах — 3
25. Найти	уравнение		касательной	к	кривой	у =	Ах2	+	Ах — 3
в точке, абсцисса		которой	равна — 1 .
Отв. Ах +	у +	7 = 0.	'
26. Найти	уравнение		касательной	к	гиперболе	у =	—	в	точке,

абсцисса которой равна 1,

Отв. X + у — 2 = 0.

149

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 4415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf