Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

		2<Л	_j_ 3 ï 3
П Р И М Е Р	2. Найти Hm	—	;—'•—.
P e ш e и и е.	Здесь предел	знаменателя равен нулю. Поэтому

теорему 3 непосредственно применить уже нельзя. В подобных слу чаях путем предварительных преобразований данного выражения

приводят

его

виду,

который

уже

позволяет

применить

теоремы

о пределах. В рассматриваемом случае поступаем так.

Так как значение х =

0 из числа значений, принимаемых пере

менной дг при ,ѵ-*-0, исключается, то

данную в

примере дробь

мож

но сократить на

-Vs; тогда

получаем

lim

, 2

д '

З л ' 3

l i m

(2.v + 3 ) =

lim

( 2 * ) +

lim 3

X->0

X-+0

X-*0

lim 2 • lim к +

3 =

2 • 0 +

3 =

X-+0

x->0

П Р И М Е Р

Найти

х->\

примере

(§

30)

мы, исходя

из

предположения,

что

перемен-

пая

у —

—

.имеет своим пределом число 5, показали,

что

число

действительно

является

пределом

этой

переменной.

Теперь

же

задача

ставится

по-иному: требуется найти

неизвестный

предел

„

А-2

ЗА- -

при х —> 1.

переменной

Р е ш е н и е .

Решить

этот

пример

непосредственным

примене

нием

теоремы

нельзя

(предел знаменателя

равен

нулю),

по

тому следует прибегнуть к предварительным преобразованиям. Имеем

,.	ДГ2 +	З А - - 4		,.	хг + 4 х	:	- х - 4	..	х{х + 4) —	(х+4)
lim	x—l	:	=	lim	x—ï	:		= um	=	=»
Х-Ц	x—l			х->1	x—ï			x-*l	x—\

			«= lim - — • —			=	lim (a: + 4) = 5.
			x-+i	x—l			я - >1
Сокращение на разность x—1				здесь допустимо в силу того, что
значение	х = 1 из	числа значений, принимаемых				переменной х,			и с-
к л іо ч а е т с я.
§ 32. Бесконечно большие величины.						І . О п р е д е л е -
н и е. Переменная			величина	у называется				бесконечно
большой,	если	при	своем	изменении	она		становится		и
в дальнейшем остается по				абсолютной	величине			больше
любого	наперед	заданного		положительного				числа	N
(как бы велико оно ни было) :

\y\>N.

П О

Таким образом, бесконечно большая величина заве домо не является величиной ограниченной.

Примером бесконечно большой величины может слу жить переменная у = tgx при х - > у .


Если		X стремится к у ,		оставаясь		меньше у (и
больше		нуля),	то значения tgx		неограниченно		возрас
тают,	оставаясь		положительными. Если			х - > у ,	оста-
ваясь	больше у		(и меньше я),	то	значения tgx,		будучи

отрицательными, возрастают неограниченно по абсо

лютной величине. Наконец, если переменная								х,	стре
мясь к у , принимает как значения,					меньшие			у ,	так и
значения,	большие	у ,	то	переменная		tgx,		возрастая
по абсолютной величине,				принимает	как		положитель
ные, так и отрицательные значения.
Термин	«бесконечно	большая		величина»	так	же	неудачен, как
и термин «бесконечно малая			величина» и о		нем	можно повторить

все сказанное в пункте 1 § 28 о термине «бесконечно малая вели чина».

2. Бесконечно большая величина у не может стре миться ни к какому пределу А, так как при своем из менении переменная у по абсолютной величине пере

растает	абсолютную величину		\| Л \|	всякого числа А,	я
разность	у —А,	увеличиваясь	по	абсолютной величине
при дальнейшем		изменении у,	не	может оказаться	ве

личиной бесконечно малой.

Несмотря на это, ради краткости часто говорят, что предел положительной бесконечно большой величины у равен плюс бесконечности (lim г / = - f - o o ) , предел отри цательной бесконечно большой величины у равен минус бесконечности (\іту = — со) и предел бесконечно боль шой величины у, не сохраняющей при своем изменении определенного знака, равен со (lim у = со).

Таким образом, когда х - > у , оставаясь меньше у ,

то l i m t g x = + oo, а когда х — >у, оставаясь больше у >

л•

лн > 2

1 1 1

то lim tg л: = — со; наконец, когда х стремится к |

произвольным образом, то lim tgx— со *).

§ 33. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами. 1. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами устанавливается сле

дующими двумя	теоремами.
Т е о р е м а	1. Если	у— величина бесконечно		боль
шая, то -— бесконечно		малая,
у
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть	е — сколь угодно	малое
положительное	число. Так как		у — величина бесконечно

большая, то наступит момент, начиная с которого при изменении у будет выполняться неравенство

l l M > f .

отсюда (согласно свойствам неравенств) вытекает, что вместе с тем будет оставаться справедливым неравен ство

Д т < е, или	—
Ы	У

а это и значит, что — есть величина бесконечно малая.


			У
Т е о р е м а		2.	Если		у — величина			бесконечно			малая,
то у	— бесконечно		большая			(при этом			предполагается,
что переменная		у	не	принимает			значений,			равных	0).
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Возьмем сколько					угодно	боль
шое	положительное			число		N.	Так	как	у — бесконечно

малая, то, начиная с некоторого момента, при измене

нии у		будет выполняться неравенство
			\У\<-ТГІ
	*)	Именно в этом	смысле следует	понимать	применяющуюся
в	некоторых учебниках		тригонометрии	не совсем	точную запись:
i g	— =	± оо-

.112

тогда вместе с тем будет оставаться справедливым не равенство

-Дт > N	или	7 І > "
\у\		7 І > "

а это и значит, что — есть величина бесконечно боль

шая.
	2. Теорема		1	часто используется ' при нахождении
пределов переменных величин.
					X + 1
	П Р И М Е Р	1.	Найти lim		— ' — .
				X-J-+0O X
	Р е ш е н и е .	Для		нахождения предела данного выражения мы
не	можем применить			теорему	о пределе частного, так как числитель
и	знаменатель	дроби		- £ ±	каждый в отдельности, — будучи

величинами бесконечно большими, не имеют пределов. Поэтому мы

предварительно		представим эту дробь в следующем					виде
			• £ ± 1 - 1		+	1 .
				X	X
Тогда будем			иметь
lim	х+	1	lim ( l + - ) =		l	+ lim - 1 = 1 +		0 = 1 ,
lim			lim ( l + - ) =		l	+ lim - 1 = 1 +		0 = 1 ,
			•*+oo \	X J		x-> + oo X
так как дробь		1	при безграничном			возрастании	х есть	величина

бесконечно малая и, следовательно, предел ее равен нулю.

П Р И М Е Р	2.	Найти	lim	З^з		ßx
П Р И М Е Р	2.	Найти	lim		— = — г .
			X-t+oo	*х	— IX
Р е ш е н и е .	Разделив		числитель и знаменатель на х3, получаем
			ЗА-3 — 8*			о	JL
	Зх3	— 8х		X3			X1
	2хг	— 7х3	2х2	— 7х3		_2 _ 7		'
				X3		X
				8		2
При X -> +	оо	отношения		- ^ - и — суть			величины		бесконечно
малые. Применяя		теперь теорему о пределе					частного,		находим
	Зх3	— 8х		3	-	1 -	з	я
	Зх3	— 8х		°		ѵ2	з	я
lim •„ ,—=—=- =з lim

§ 34. Об отношении двух бесконечно малых величин.

Как мы увидим из дальнейшего, в дифференциальном исчислении постоянно приходится встречаться с необхо-

113

димостыо исследовать отношение двух бесконечно ма лых величин.

Обратим внимание на то, что среди теорем о свой ствах бесконечно малых отсутствует теорема об отноше-. нии двух бесконечно малых величин. Объясняется это тем, что об изменении такого отношения ничего опре деленного сказать нельзя: тот или иной характер изме нения отношения зависит от того, как изменяются бес конечно малые, составляющие это отношение.

Пусть,	например, а есть бесконечно малая			величина.
Тогда а 2	и 2а -f- а 2 — суть также величины			бесконечно
малые.
Теперь (предполагая, что а не принимает значений,
равных 0)	имеем
	— = а—величина	бесконечно	малая;
	а
	-а^2 - = -а— в е л и ч и н а	бесконечно	большая;'
Of, 4_ «2
^ —	= 2 + а — величина	ограниченная.

Заметим, что имеют место и более сложные случаи отношения двух бесконечно малых величин, но уже и приведенные примеры вполне подтверждают, что изме нение отношения двух бесконечно малых величин зави сит от характера изменения этих величин.

У П Р А Ж Н Е Н И Я

Найти следующие пределы:

1.	lim	(х2-4х				+	5).			Ога.	2.
2.	lim	(х2		— 4х +			5).			Отв. с2 — 4с + 5.
		2х2			4- 1
3.	lim				, , .					Оте.	—9.
. ..		X2		-	2х	+		3	.	_		11
4.	hm	—;		—	„	,			.	Отв.			—.
	*-М	X3		—	X2	+	1					49
				2*						Л _ _	j	2	.
	l i m	л	я — X							Отв.	j		.
	х+1	л	я — X
	х+1			З^з л_ X2									1
				З^з л_ X2									1

114

7. lim		4А:2	— 9	Отв. G.
7. lim	3	-TT	g - .	Отв. G.
	3	tX	— о

V*	1R	Отв. —32.
8. lim	- - г - .	Отв. —32.

„ ,.		x2	+ x~Q					„	^
9.	lim		•	я — .				Отв.	5.
			X4 — бх2				27
„	,.	ЗАГ" -		4л:3	+	1		Отв.
1 Ь	lim	—	j	—	ГТО		•	Отв.		6.
			(X — I ) 2
, „	,.	А:2	+	ЗЛ:				Отв. +
12.	hm		j .					Отв. +		оо.
	х-»0		X
,„	,.	Зх 3 -		Зх 2	+	2л: — 2		Отв. +
13.	hm			j	r u		•	Отв. +		оо.

17.	hm	—		O		r		e	.	-=-.
іа	г	2А:3	-	ЗА:2 +		4				.	2
1 8 - х	^ 5 х - х * - 7 х > -									0 т в -	' Y '
		Іх1	— 4х		+	8
20.	hm	4 * ' ~ * *			+	8 .				Ore.	+ оо.
	Х^ + оо	ОХ*		+	1
21.	,.	4 А : 3 - 2 А : + 8					.			Ore.	— оо.
21.	lim		2				.			Ore.	— оо.
	л-» — сю		ОА: -f- 1

ГЛАВА V

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 35. Функция. Область определения функции. Обо

значение функциональной зависимости. Геометрическое изображение функции. 1. Понятие функции — важнейшее понятие математики вообще и центральное понятие выс шей математики. Читатели уже встречались с понятием функции в курсах алгебры и геометрии. Поэтому здесь достаточно будет лишь напомнить и уточнить основные черты этого понятия, важные с точки зрения высшей математики. Вместе с тем нам нужно будет ознако миться и с некоторыми новыми понятиями, необходи мыми для изучения дифференциального и интеграль ного исчисления.

Прежде всего сформулируем точное определение функции.

Совокупность всех значений переменной, которые она может принять в условиях рассматриваемого во проса, называется, областью изменения этой перемен ной. Например, расстояние точки от центра круга ра диуса г, перемещающейся по радиусу данного круга, есть величина переменная; ее областью изменения яв ляется совокупность всех вещественных чисел от 0 до г. При последовательном разбиении отрезка единичной длины на 2, 3, 4, п, ... равных частей, длина / каж

дой	части отрезка есть величина переменная; ее об
ластью изменения		служит	бесконечное множество чи
сел:	у , -J' ~4~*	и"* " "	областью	измене
ния	переменной	является	всегда некоторая	совокуп
ность	чисел.

Основным вопросом математического анализа яв ляется не изучение изменения одной переменной самой

116

по себе, а изучение зависимости			между	двумя	или не
сколькими	переменными	при их	с о в м е с т н о м		и з м е
не н и и.
Если	между двумя	переменными		имеется	такая

связь, что значения одной из них определяются значе ниями другой, то говорят, что эти переменные связаны между собой функциональной зависимостью.

Обычно, по условиям вопроса, одной из переменных могут быть приписываемы произвольные значения из ее области изменения. Например, как известно, путь s (в метрах), пройденный падающим телом за время t с при

отсутствии сопротивления среды,			определяется		фор
мулой
где	g =	9,81 м/с2 есть ускорение	силы	тяжести.	Фор
мула	(1)	определяет зависимость	между	t и s.

Допустим, что нас интересует длина пути s, прохо димого телом за тот или иной промежуток времени t. Тогда, приписывая переменной t те числовые значения, которые нам требуются, мы будем определять из равен

ства	(1) интересующие нас	с о о т в е т с т в е н н ы е зна
чения	переменной s. Значит,	равенство (1) устанавли

вает такую связь между переменными s и t, в силу ко


торой величина	s может		изменяться	не произвольно,
а лишь в зависимости		от	изменения	переменной t. Та
кай образом, в	указанной		постановке	задачи	характер
изменения переменной		s отличен от характера			измене

ния переменной /. Различие в характере изменения пе ременных влечет за собой и различие в наименованиях самих переменных. Та величина, которой мы можем приписывать произвольные значения из ее области из менения, называется независимой переменной или ар гументом. Переменная, принимающая определенные чис ловые значения в зависимости от значений, приданных

аргументу, называется	зависимой переменной	или функ
цией.
Отвлечемся теперь	от конкретного	физического

смысла рассматриваемых величин и дадим общее опре

деление	понятия	функции — одного из	основных	поня
тий математического анализа.
Пусть	даны две переменные х и у; предположим,
что по	условиям	вопроса переменной	х могут	быть

117

приписываемы произвольные значения из ее области из

менения.

Тогда,

если

в силу

некоторого

правила

каж

дому

значению

переменной

из

ее

области

изменения

соответствует одно

определенное

значение

переменной у,

то переменная

называется

функцией

переменной

х.

Область

изменения

аргумента

называют областью

определения

функции

у.

Наиболее часто встречающиеся области определения

функции — это промежуток

отрезок.

Промежутком

(или интервалом)

называется

сово

купность

всех

вещественных

чисел

х, заключенных

ме

жду

данными

числами

а и Ь, исключая

сами

числа

а и Ъ:

а<х<Ь.

(2)

Отрезком

(или сегментом)

называется

совокупность

всех

вещественных

чисел

х,

заключенных

между

дан

ными

числами

а и

Ь, включая

сами

числа

а и Ь:

а <

X <

Ъ.

(3)

Промежуток

(2)

обозначают короче символом

(а,Ь),

а отрезок

(3) — символом

[а,Ь].

Промежуток

(а, Ь)

на

числовой

оси Ох

можно

изо

бразить отрезком с исключенными концами, что обычно

указывается

стрелками

остриями

точках

и b

•+

* -

1—

с;

ÖJ

Рис.

42.

(рис.

42,a),

отрезок

[а,Ь] — обыкновенным

отрезком

оси

Ох (рис. 42,6).

П Р И М Е Р

1. Областью определения функции

у = aresin X

служит

отрезок

[—1, 1], т. е. совокупность

значений

х,

удовлетво

ряющих соотношениям —1 ^

П Р И М Е Р

Областью

определения функции

= / 4

— X2

является

отрезок

—2 < ; х sg: + 2

(для

значений

х <

—2

х>2

разность

4 — X2

0, а потому Ѵ^ — хг

есть

мнимая

величина).

П Р И М Е Р

3. Область определения

функции

118

представляет		собой промежуток			'(—2, 2)		(так	же,	как в	преды
дущем примере,			V 4 — х2 для х <		— 2	и х > 2		есть	величина		мни
мая, ио	теперь		нельзя	рассматривать		и	значения х — — 2 ,			х — 2,
•потому	что	при	этих	значениях	4 — х2		— 0, а	деление на			нуль
невозможно).
Когда		областью		определения		функции являются					все

вещественные числа, то говорят, что функция опреде лена на всей числовой оси или в промежутке «от минус бесконечности до плюс бесконечности»; эту область

определения	функции символически обозначают так:
( — о о . + о о ) .	Например, функции y = sinx и у = х2

определены в промежутке (—оо,-|-оо). Относительно

функции y = \gx		можно сказать,			что она		определена
на положительной		полуоси		абсцисс,		т. е. в	промежутке
. ( 0 . + О О ) .			того, что у есть
2. Для	указания					функция		независи
мого переменного х,			пишут
y — f{x),	или	у = ц>(х),		или	y = F(x)		и	т. п.

Эта запись читается следующим образом: «игрек равно
эф	от икс», «игрек равно	фи от икс» и т. д. Буквы /, Ф,
F,	.. . символизируют то	правило, по которому опреде

ляется значение переменной у, соответствующее задан


ному	значению		х. Если	одновременно			рассматривается
н е с к о л ь к о		функций,		характеризуемых				р а з л и ч н ы -
м и законами,		определяющими изменение функции								в за
висимости от		изменения		аргумента,		то перед			скобками
с обозначением			аргумента следует			ставить			р а з л и ч
н ы е	буквы.				y =		f(x),
Если, рассматривая				функцию				хотят		отме
тить	ее частное		значение, которое		отвечает			выбранному

частному значению х, равному с, то для этого приме

няют символ	f(a).
Например,	если
	y = f(x) = 3x2-8x		+ 2,
то при х — 2 получим
	/ (2) = 3 • 4 - 8 • 2 +		2 =	- 2 ;
при X = а получим
	f(a) =	3 a 2 - 8 a +	2;
при х — Ъ — 1 получим
/ {b - 1) = 3 {b - I ) 2 -		8 (& - 1) +	2 =	3&2 - 146 + 13.

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
23.10.20235.06 Mб27Тарасевич Р.М. Методы и средства проверки герметичности узлов, отсеков и систем летательных аппаратов учеб. пособие.pdf
#
29.10.2023956.29 Кб8Тарасов А.Г. Новое в расчетах и эксплуатации червячных фрез.pdf
#
29.10.20238.6 Mб7Тарасов А.И. Газы нефтепереработки и методы их анализа.pdf
#
22.10.202313.04 Mб9Тарасов, В. П. Загрузочные устройства шахтных печей.pdf
#
19.10.20232.65 Mб1Тарасов, Г. М. Памятка-пособие аппаратчика-отливщика основы кинофотопленки.pdf
#
22.10.202312.62 Mб63Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
20.10.20237.86 Mб6Тареев, Б. А. Динамика бароклинных возмущений в океане.pdf
#
23.10.20235.37 Mб8Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf
#
20.10.20238.68 Mб4Тарлинг, Д. Движущиеся материки.pdf
#
19.10.20234.2 Mб5Тарновский, Ю. К. Механизированная разработка грунта в зимнее время.pdf
#
29.10.20233.46 Mб36Тарусов Б.Н. Сверхслабое свечение биологических систем.pdf